求取二阶矩阵特征向量的一种方法

朱宇航 史云鹏

摘 要： 在用幂法求取矩阵的特征值时，将已知向量视为特征向量的线性组合，用矩阵对已知向量做左累乘的迭代运算，相邻迭代运算向量分量之商就是特征值中绝对值最大者的近似值。通过对迭代过程的无穷小分析可知，在忽略二阶无穷小时，近似值与精确值之差呈现等比数列规律，依次进而设计了加速算法，但其结果受二阶及更高阶无穷小的影响，其与精确值的差值在迭代运算中仍呈现等比数列规律，再次应用前面的加速算法，明显提高了计算精度，达到了计入二阶无穷小的效果，而计入二阶无穷小的方程组是无解析解的。

关键词： 二阶矩阵 特征值 特征向量 加速算法

中图分类号： O151.21文献标识码： A文章编号： 1679-3567（2024）05-0073-03

A Method for Obtaining the Eigenvectors of Second-Order Matrix

ZHU Yuhang1 SHI Yunpeng2

1.China Machinery Technology （Beijing） Vehicle Testing Engineering Research Institute of China， Beijing， 102100 China； 2.China Productivity Center for Machinery Co.， Ltd.， Beijing， 100044 China

Abstract： When using a power method to obtain the eigenvalues of a matrix， a known vector is treated as the linear combination of eigenvectors， the matrix is used to perform an iterative operation of the left multiplication of the known vector， and the quotient of the vector components of adjacent iterative operations is the approximate value of the one with the largest absolute value in the eigenvalues. Through the analysis of infinitesimals in the iteration process， it can be seen that when ignoring second-order infinitesimals， the difference between the approximate value and the exact value presents a geometric progression rule. In turn， an acceleration algorithm is designed， but its result is affected by second-order and higher-order infinitesimals， and the difference between it and the exact value still presents a geometric progression rule in the iteration operation. The previous acceleration algorithm is applied again， the calculation accuracy is significantly improved， achieving the effect of including the second-order infinitesimals， and the system of equations included in the second-order infinitesimals has no analytical solution.

Key Words： Second-order matrix； Eigenvalue； Eigenvector； Accelerated algorithm

动平衡机中需要精确求取具有正弦波的一次谐波系数时，需要对脉冲干扰信号做滤波处理，传统的低通滤波方法不能在数学上保证求取的一次谐波的精度。因此提出了新的方法：用拟合的数据替代干扰区间的数据进而求取新的一次谐波系数，逐次迭代计算，直至相邻两次的迭代值充分接近为止。本文涉及的迭代计算其本质就是用幂法求矩阵的特征值和特征向量。本文只讨论比较简单的二阶矩阵。其方法亦可推广到高阶矩阵。

1 特征向量的求取

3 求取特征值的二次加速算法

特征方程的次数就是矩阵的阶数，三阶矩阵的特征方程是一个三次代数方程，一般采用卡旦解法[2]，对应于四阶矩阵的四次方程则用费拉里法求解，而五次及以上的方程无一般解法，所以五阶及更高阶的矩阵的特征值只能用数值解法求出近似值而无解析解。

这就是二次加速算法，是对加速算法忽略二阶无穷小的近似补偿。

4 结语

本文中利用特征值和特征向量性质的方法求特征向量，有时能比解齐次线性方程组非零解的方法简单些，并且本方法比较直观，比较适合于编软件。对于本文算例，提出的算法的收敛速度略好于Aitken和威尔金森算法，但比这两种算法简便，在采用幂法求矩阵的特征值时，可以考虑采用本文提出的二次加速算法。

参考文献

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