“反比例函数”单元作业设计例谈

彭敏 路回乡

大单元作业要体现结构性、关联性、实践性特征，关注学生知识建构的整体性、素养培养的全面性和自主学习的过程性。初中阶段，“反比例函数”是学生学习的第一个不连续函数，教材内容涉及定义、图象与性质、图象与性质的应用等。笔者在“反比例函数”单元作业设计中为每个课时设计了基础性、提升性、拓展性三种类型的作业，引导学生进一步体会知识的形成过程和数学思想方法的应用，巩固研究函数的一般方法与路径，发展抽象能力、几何直观等数学核心素养。

一、基础性作业，巩固知识

基础性作业可从教材习题中选择，其设计不能简单地重现基础知识、堆砌基本技能训练，而要将丰富的生活情境融入作业内容中，化解题为解决问题，以丰富学生的学习经验，优化学生的学习体验。

生活中有许多实际量之间是反比例函数关系，教师可利用生活情境设计作业。如以下两道题。

1.列出下列问题情境中相关量的函数关系式，并判断它们是否为反比例函数。

（1）某农场的粮食总产量为1600吨，该农场人数[y]（人）与平均每人占有的粮食量[x]（吨）的函数关系式是什么？它属于什么函数类型？

（2）在加油站，机器显示某种油的单价为每升7.91元，总价从0元开始随着加油量的变化而变化，总价[m]（元）与加油量[n]（升）的函数关系式是什么？它属于什么函数类型？

（3）小华完成400米赛跑时，时间[t]（秒）与他跑步的平均速度v（米/秒）的函数关系式是什么？它属于什么函数类型？

2.下列[y]关于[x]的函数中，是反比例函数的有              （填序号）。

①[y=x2]  ②[y=2x]  ③[y=5x-1]  ④[xy=-3]

⑤[y=x-1]  ⑥[yx=2]  ⑦[y=x2-1]

第1题引导学生用函数的观点分析生活中变量之间的关系，强化反比例函数的定义和意义，巩固反比例函数模型。每个情境涉及的量之间的关系清晰，所有的学生都能理解和掌握。第2题不仅考查反比例函数的形式，引导学生运用反比例函数的概念进行判断，还考查学生对两个变量的乘积为定值这一反比例函数基本特征的掌握情况，能够深化学生对反比例函数的理解。

通过作业反馈，笔者发现学生对反比例函数的定义理解得较好，于是对第1题进行了拓展，设置了包含正比例函数、一次函数、二次函数和反比例函数的生活情境，引导学生从变量之间的数量关系角度区分正比例函数和反比例函数，从次数上区分反比例函数、一次函数和二次函数。这样的题目综合性更强，更能体现大单元作业的特点。

二、提升性作业，提高能力

提升性作业固然侧重挖掘学生潜能，但不能无限制地拓展所学内容，而应着眼于学生的最近发展区，引导学生在完成基础性作业的基础上进行“再创造”。与基础性作业相比，提升性作业弹性更强且具有一定的开放性，需要分层设计。例如，同样是考查反比例函数的定义和形式，基础性作业力求简洁、高效，反馈的是学生大脑对问题的直接反应，提升性作业往往要求学生进行对比、分析、综合等有一定深度的思考。如下题。

3.已知函数[y=（m2+2m）xm2-m-1]

（1）如果[y]是[x]的正比例函数，求[m]的值。

（2）如果[y]是[x]的反比例函数，求[m]的值，并写出此时[y]与[x]的函数关系式。

这道题中的关系式含参数，形式有别于定义式，与同是考查反比例函数定义的基础性作业相比，难度增大，学生既要考虑[x]的指数[m2-m-1=-1]，又要考虑比例系数[m2+2m≠0]。这道题有助于学生把握两个易错点：一是不清楚反比例函数自变量的指数应为1；二是容易忽略比例系数不能为0的限制。

提升性作业应体现递进性，以满足不同水平学生的学习需求。本单元，教师可设置如下作业题目。

4.探究欧姆定律时，小明发现若定值电阻两端的电压保持不变，其电阻越大，通过定值电阻的电流越小。设定值电阻为R（Ω），通过的电流为I（A）。

（1）如果电阻为40Ω，通过的电流为0.2A，求I关于R的函数解析式。

（2）如果电阻小于40Ω，通过定值电阻的电流在什么范围？

这道题借用了物理学科的电学情境，引导学生探究电压为定值的情况下电流和电阻之间的函数关系，可考查学生对反比例函数增减性的掌握情况。题目从方程提升到不等式，循序渐进地渗透建模思想，有利于拓展学生思维，培养学生综合运用知识的能力。

三、拓展性作业，发展思维

拓展性作业应侧重实践性、综合性，并且要有一定的难度。反比例函数在实际生活中有很多应用，教师可结合交通流量问题设计相关拓展性作业，如安排查找资料等实践环节，引导学生了解车流量[f]的含义，学会测量车辆的平均速度[v]和前后两车车头之间的平均距离[d]。

该拓展性作业对初中生来说有一定的难度，学生对研究对象知之甚少，对研究路径比较陌生，对研究方法也不熟悉，需要教师适当引导，为学生选定研究对象、制定变量调查表。笔者选择襄阳市区的一条单向车道作为研究对象，并提供如下助学资料，引导学生观测和记录。

建议以路标P为标志物，分时间段（每5分钟为1个时间段）在表格（表略）中记录某日上午8：00—8：30高峰时段经过该路标的车辆数及车辆型号（建议拍照收集）。

学生可根据表中数据计算该车道在该高峰时段每秒的车流量。教师可引导学生分析数据，探究车流量[f]、平均速度[v]和前后两车车头之间的平均距离[d]之间的关系。表面上看，交通流量会随着车辆速度增加而加大，但是两辆行驶中的车辆需保持适当的距离，我们称这段距离（前车车尾至尾随车车头之间的距离）为“停车距离”，记为[s]，车辆长度记为[l]，则[d=s+l]，所以[f=vs+l]。在交通拥挤的情况下车距往往很小，我们可认为停车距离[s]远小于车长[l]，交通流量[f]近似等于[vl]。在此基础上，教师可设计如下作业题。

5.根据前期调查及数量关系分析，作答如下问题。

（1）若平均车长是4.8m，平均速度为15m/s。根据表中数据计算该车道在该高峰时段每秒的车流量。

（2）小明根据观测结果提出建议：若保持车辆的平均速度不变，在高峰时段应提前对要进入襄城区的车辆进行分流（“分流”指让部分车辆改行其他路段）。你认为他的建议合理吗？请说明理由。

（3）请你给出缓解本市交通拥挤的方案。

问题（1）给出具体的数值，让学生通过计算进一步了解[f]、[v]、[d]之间的关系；问题（2）引导学生根据[f]、[v]、[d]的关系式，预判交通流量；问题（3）是一个开放性问题，引导学生思考缓解交通拥挤的方案。完成此项拓展性作业，学生需要经历设计方案、收集数据、分析数据、解决问题等学习过程，有助于他们深入认识实际生活中的反比例变化规律，体会数学的抽象性，提升综合素养。

此外，教师可布置积累性作业，引导学生自主积累与反比例函数相关的数学文化方面的材料，如最早提出反比例概念的是古希腊数学家泰勒斯，他观察到某些物理量的变化趋势与其相关量的变化趋势呈现相反关系等，以更好地感悟数学文化的魅力。

（作者单位：襄阳市实验中学教育集团）

责任编辑  刘佳