聚焦核心素养，培养数学思维

一、内容解析

“球的表面积和体积”属于“简单几何体的表面积与体积”的内容。“简单几何体的表面积与体积”这部分内容涉及圆柱、圆锥、圆台，还有直棱柱、正棱锥、正棱台以及球的表面积和体积，需要学生从度量的角度认识常见的空间几何体。“球的表面积和体积”是这部分的难点，也是核心内容，球的表面积与体积计算与圆柱部分一脉相承，但是计算方法更加灵活，这部分知识对学生数学运算、模型认知、空间观念都有非常高的要求。学生在了解了柱体、锥体、台体的结构和相互关系后，要进一步认识球的表面积和体积，还需要深入感受极限思维，培养逻辑关联意识。

二、问题诊断

“球的表面积和体积”涉及的参数并不多，学生对公式记忆的难度也不高，其难点在于球的表面积与体积公式推导过程，即需要学生在知其然的同时，知其所以然。只有学生真正理解了参数的含义，才能对内切球、棱切球、外切球有效区分，所以学习这部分知识的一个难点，就是对球体公式的推导，其中蕴含了极限的思想，在分割、近似替代、求和、取极限方面学生理解起来比较困难。所以，在本次课程教学中，重点是让学生在理解棱柱、棱锥知识的基础上，掌握球的表面积与体积公式求解推导方法，并指导学生解决一些实际问题，助力学生突破核心知识点。

三、目标分析

“球的表面积和体积”教学目标可简要概括为让学生了解球的表面积和体积公式，运用球的表面积公式及体积公式进行计算和解决有关实际问题；让学生准确理解公式中的各参数及其含义，对球的表面积与体积公式进行结构化理解，培养学生的空间思维能力和空间想象能力，使其理解公式中蕴含的极限思维，学会一般性问题的解答方法；在这部分知识学习中，学生要结合小实验掌握球体的表面积和体积公式，体会数学的美，结合对球的表面积和体积公式的推导发展理性思维。这是思维层面的综合延伸，是核心素养育人的重要体现。

四、教法研究

本单元授课采用线上线下相结合的方式，对于一些回顾性内容，如圆柱的侧面积计算、圆台的侧面积计算，主要通过线上教学，让学生在课前学习巩固，为新课学习做好准备。线下课堂以小组合作、实践探究为主，需要学生进行公式的推导，理解参数的具体含义。同时，教师配合希沃白板及课件呈现内容，让学生理解球的表面积与体积公式推导。课程教学的重点是借助直观教具以及信息技术交互运用，在学生主体探究、展示研究成果的前提下，教师进行针对性指引，向学生渗透数学极限思维，发展学生学科核心素养。在这部分知识学习过程中，对学生实践探究有非常高的要求，需要学生动手制作球的模型进行实验操作，并引导学生对照视频进行创新探究，在课堂上小组之间、师生之间积极展开讨论，以突破核心知识点。

五、教学过程

（一）情境预设，主题导入

师：这节课我们要学习一个新的知识点——球体。在正式学习之前，我们先来听一位数学家的演讲片段，这位数学家名叫丘成桐，他是央视公开课《开讲啦》的特邀嘉宾，同时还是清华大学丘成桐数学科学中心主任，清华大学求真书院院长，北京雁栖湖应用数学研究院院长。听一听丘成桐先生和他的数学故事，能够让我们知道数学的应用无处不在，而数学之美更吸引着人们不断去探索。

接着播放丘成桐先生的演讲《因为数学》片段。其中涉及很多非常重要的科学家，还讲到了数学与科学界的一些重要发展。譬如高斯和黎曼对电磁学深入研究发展了数学理论，并重点提到了黎曼球面，还有“莫比乌斯变换”这一概念。丘成桐先生的演讲，可以让学生认识到人类对科学技术探索的每一次突破，也伴随着数学发展的一次大跳跃。同时，一般球面在现代工业以及肿瘤学研究领域都发挥了十分重要的作用。

（设计意图：结合数学家精彩的演讲引出课程主题，可以有效吸引学生的目光，激发学生的学习兴趣。）

师：今天我们就研究简单的球面知识，下面我们来看两个问题。

问题1：用相同厚度，相同颜色的颜料，分别给乒乓球、篮球涂色，哪种球需要用到的颜料更多？请说一说为什么。

生：篮球需要用到的颜料更多，因为篮球表面积远比乒乓球大，所以需要用到的颜料较多。

问题2：如果要给足球和一个小皮球打气，假设球内气压相同，忽略内部材料的厚度，那么哪个球需要充入的气体较多？

学生结合自身的生活经验，很容易想到足球需要充入的气体更多。

教师继续引导：球体没有底面，也无法伸展成像棱柱、棱锥一样的平面图形，那么两个不同的球体表面积究竟相差多少呢？大小又是何种关系，应该如何来表述呢？这节课我们将围绕这一问题展开探究。

（设计意图：从直观上学生能发现不同的球体，其表面积和体积都会有差别，而从直观印象向具体数据比对有效分析，就要让学生掌握球体表面积和体积计算的公式。）

（二）理实结合，实践探究

教师让学生拿出在课前制作的球体道具，想一想如何用最简单的方式测出球的体积。很快，学生想到了物理课堂上所学的方法，利用排开水的体积来测量球体的体积。学生以小组为单位进行探究，看看两个不同的球体排开水的体积有何差别，它们之间的差别主要由哪个因素来决定。

结合平面图形部分所学圆的相关知识，学生很容易就能联想到球体的体积差异决定球体的半径。那么，球体的半径和球体体积之间究竟有什么样的函数关系，需要学生进一步来探究。这时候教师拿出提前为学生准备的细沙，让学生以小组为单位，针对一组底面半径和高均为R的圆柱、圆锥、半球进行体积变化规律的探索。各个小组反复尝试，最终得到：圆锥容纳的沙量+半球容纳的沙量=圆柱容纳的沙量。套入学生前期所学的圆柱、圆锥体积推导公式，让学生试着算一下，半球的体积应该如何表示，得到结果如下：

V半球=V柱-V圆锥=πR2·R-πR2·R=πR2·R

V球=πR3

（设计意图：将空间关系向数据运算有效转变，可以进一步启发学生数学思维，并为下一步理论证明奠定良好基础。）

理论证明部分，需要借助学生前期所学的平面几何的相关知识，在球体证明中有效运用。将半球面用相互平行的线段平分成n份，让学生求解每一份的体积，最终累加得到球体体积公式。在这部分计算过程中，涉及球面分割，还有近似替代求和与取极限的重要数学思想。整个推导过程难度不大，重在让学生理解极限思想，并应用到球体体积公式推导中。

突破了球的体积这一难点知识后，教师可进一步追问球的表面积和球的体积之间有什么样的关系。

这时候，教师引导学生借助前面锥体的面积求解公式，将球体想象为无数个锥体紧密排布在一起，所形成无数个半径为R的锥体紧密排布在一起，组成一个组合球体，这些锥体所有底面积相加即得到球的表面积。再次应用极限思维，即得到球的表面积：

S球=4πR2

这两个公式，既类似又相互关联，可以反复推导。教师可让学生在小组内部想一想，如果将半径为R的球面横向切为n份，每份等高，并将每份看作一个圆台，让学生想一想，从上到下这些圆台的侧面积之和为多少？同样应用极限思维可以得到球的表面积，而最终这个值所得结果乘以2就是整个球体的表面积，进一步验证前期表面积公式推导的方法。

（设计意图：让学生用两种方法来推导，进一步验证所得结论，也能增强学生对极限思想的理解。）

（三）当堂学习，加深理解

在掌握了球体表面积和体积公式后，教师可直接给出题目，让学生求解。

（1）已知球体半径R=5厘米，求它的体积和表面积。

（2）已知球的表面积为64π，求它的体积。

（3）已知球的体积为π，求它的表面积。

（4）已知一种浮标由两个半球和圆柱黏合而成（见图1），已知半球的直径为0.3米，圆柱的高为0.6米。现需在该浮标外层涂防水材料，如果每平方米需0.5千克涂料，那么给1000个这样的浮标涂防水漆需要用多少千克涂料？

在学生完成上述几道题目后，教师进一步引出问题，让学生对这部分知识理解实现螺旋上升。

教师在大屏幕上出示三个球（见图2），第一个正切于正方体的各个面，第二个正切于正方体的各侧棱，第三个过正方体的各顶点，请学生对比这三个球，分别确定球体的半径、体积和表面积是多少。

（设计意图：通过对三个球的特点进行分析，求解三个球的表面积和体积之比，可以让学生理解几何体的结构特征，并进一步理清其内切球、棱切球、外切球与半径之间的关系。）

类题训练还可以让学生计算下面的问题：圆柱的底面直径和高都等于球的直径（见图3），求解球与圆柱的体积之比。

这样就将这部分所学内容前后串联，可以让学生进一步熟练公式，并对简单几何体和球的半径关系、体积关系有效捋清。

总之，鉴于这节课是在学生学习了解圆柱、圆锥、圆台、直棱柱、正棱锥基础上进行的综合性教学，所以这部分需结合实践操作，让学生学会推算球的体积，再用极限思想来证明体积计算的方式，进一步与平面几何部分相关联，让学生理解球的表面积计算。这部分反复用到极限思想，还涉及了数与形的综合转化，最后再结合例题进行拓展延伸，让学生数学思维实现螺旋上升，并对一般性规律进行总结。对正四面体内切球与棱切球、外切球分析，其难点在于确定球的半径，可将空间问题转化为平面问题。在这类问题解决过程中，要求学生仔细审题，对其中的一些隐含条件、等量关系有效挖掘。所以在这部分学习中，对学生直观感知、实践操作、识辨理解、度量计算都有非常高的要求。教师要引导学生具备数形结合意识，学会用代数的方法解决几何问题，实现复杂问题简单化。

（作者单位：山东省滨州市阳信县第二实验中学）

编辑：曾彦慧

作者简介：杨龙飞（1971—），男，汉族，山东滨州人，硕士，现职称：中小学一级，研究方向：高中数学。