生活情境引入，概念自然生成

张盛冬 吴小波

数学源于生活，又服务于生活。学习数学，学生可以更好地了解并解决生活中的问题。本文从实际生活中的情境入手，引导学生理解平均变化率的概念。

近日，在一次市级教研活动中，笔者有幸执教选择性必修第一册第5章起始课“平均变化率”一课，学生参与度高，教学效果良好，得到了听课教师的一致好评。这是“导数及其应用”的起始课，对导数概念的形成起着奠基的作用。下面是课堂教学实录，不当之处，敬请指正。

一、课堂实录

（一）生活情境引入

［情境1］

师：同学们，这是某市某种病病例从某月1日到20日的数据图，为了便于研究，我们用平滑的曲线连接得到图1，请问你能发现什么？

生：图象有最大值。

生：图象有上升有下降。

师：你说得很好，请你具体说说哪里上升，哪里下降。

生：AB、BC上升，CD、DE下降。

师：那么刚刚说的信息，我们数学上学过吗？对应数学课本上的什么知识点？

生：最值、单调性。（教师边听边记录在黑板上）

师：大家还能发现什么？

生：AB段上升，BC段也是上升，但是变化的快慢不同。

师：很好，大家观察到变化快慢不同，那么，上升的快慢，反映在图象上还可以用什么语言描述？

生：平缓、陡峭。

师：这位同学说得非常好。同学们想一想，我们研究过变化的快慢问题吗？

学生纷纷摇头。

师：今天我们就来研究这个问题。大家想想看，视觉上的平缓、陡峭在数学上用什么刻画呢？

生：我想用斜率，可是斜率是刻画直线的，而这里是曲线。

师：其他同学的想法呢？

生：是的，我们能否用斜率表示呢？

师：请一位同学把对应的数学式子说一下，并说说你的理解。

生：KAB=，KBC=，比较明显地看出错误，对应图象AB段变化慢，BC段变化快。

师：你能用同样的方法理解其他部分的变化情况吗？

生：KCD＜0，说明对应CD段是下降的。

师：特别棒，给你点赞！BC段更加陡峭，斜率比AB段要大。也就是说我们斜率的正负刻画了上升或下降，用数值绝对值的大小刻画了变化的快慢，即图象的陡峭程度。

评析：教师从生活中的例子入手，让学生自主观察，并记录观察到的信息。学生先观察到学习过的最值和单调性等问题，再发现图象变化快慢不同，而变化快慢学生并没有学过，教师借此激发学生的求知欲，自然地引导学生思考如何刻画快慢。

［情境2］

现有某市3月和4月某几天最高气温记载（见表1）。

师：观察表1和图2（以3月18日作为第一天），你们有什么发现？

生：气温是上升的，而且从3月18日到4月18日上升15.1℃，从4月18日到4月20日上升14.9℃。

生：4月18日到4月20日气温上升快。

师：哦，你是怎样发现的？

生：虽然两段上气温差值差不多，但是时间相差得多，第一段时间更长，斜率更大，也就是比值更大。

师：很好，气温随时间变化而变化，我们把气温差值记做Δy，时间差值记做Δx，你能具体说说吗？

生8：AB段：=≈0.5，AB段==7.4，后一个的比值更大，说明气温变化更快。

师：是的，后一个变化太快，人们在4月20日感叹：“天气热的太快了！”

评析：增加情境2，进一步让学生直观体会气温变化的快慢，引导学生尝试用代数刻画变化的快慢，从生活情境过渡到数学情境。

（二）概念自然生成

师：为了更直观地观察变化情况，我们可以画什么图来表示？

生：函数图象。

师：请大家观察气温随时间变化图，刚才表中发现的气温变化快的，在图中对应的是？

生：BC段更加陡峭。

师：气温一直上升的，BC段比AB段变化快，气温“陡升”。这个比值能反映图象上每一处的变化情况吗？

生：不能，因为我们用的数据是一段曲线的端点值。

师：可以看做函数在一个区间上的比值，不能反映每一处的变化情况，那么可以是？

生：平均变化情况。

师：那你能给刻画变化快慢的比值起个名字吗？

生：平均变化率。

学生口述，教师板书平均变化率的定义。

师：很好，我们既从图中观察了曲线的变化平缓与陡峭，又通过平均变化率这个比值具体地量化了变化情况，这在数学上是什么思想？

生：数形结合。

师：很棒！我们用曲线的端点值精准刻画了曲线在一个区间上的平均变化情况，是把曲线的一段近似看成了线段来研究，这是数学上重要的数学思想——“以直代曲”。

师：请大家思考平均变化率的几何意义？

生：直线的斜率。

师：很好！平均变化率的几何意义就是函数f（x）图象上两点（x1，f（x1）），（x2，f（x2））所在直线的斜率。（边说边板书）

师：同学们可以举出反映平均变化率的例子吗？

生：成绩、身高的变化等。

生：一周内小草的生长高度和一周内大树的生长高度，它们的平均变化率不同。

师：是啊，同样的时间小草的生长高度更大，也就是说平均变化率更？

生：更大。

师：这真是一个很好的例子，小草的生命力多么顽强！

评析：学生在教师的引导下，从一开始尝试使用斜率刻画曲线变化的快慢，逐渐发现斜率这个比值很有代表性，正负可以表示变化的方向，数值的绝对值大小表示变化的快慢，通过情境2进一步确定使用斜率是完全可以的。教师通过启发性的语言，从特殊到一般，从具体到抽象，在直线的斜率等旧知识的联系下，引导学生自然生成“平均变化率”的概念。平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”，曲线陡峭程度是平均变化率的“视觉化”。

（三）例题巩固概念

例1.某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图3所示，试计算该婴儿从出生到第3个月、6个月到12个月体重的平均变化率（见图3）。

例2.已知函数f（x）=3x+1，g（x）=－2x，分别计算在区间［－3，－1］、［0，5］上f（x）及g（x）的平均变化率。

评析：通过让学生板演例1，规范平均变化率解题过程，理解平均变化率的实际意义是刻画函数平均变化快慢的模型；通过例2，让学生发现平均变化率可正、可负、可0，几何意义就是斜率。

（四）活动探究升华

已知函数f（x）=x2，分别计算在下列区间上的平均变化率：

（1）［1，3］

（2）［1，2］

（3）［1，1.1］

（4）［1，1.001］

师：我们把曲线上两点连线的斜率，也称为曲线的割线的斜率，大家以小组为单位，计算以上区间上的平均变化率，并对计算结果进行讨论。（其间教师多走动，多观察）

生：我发现平均变化率越来越小。

生：我发现平均变化率越来越接近2。

生：我画了一下函数f（x）=x2的图象，发现割线的位置趋向于一个确定的位置。

师：特别棒，你是怎样想到画图的？

生：我们刚才学习平均变化率时就运用了数形结合的思想。这个题的计算结果趋向2，2应该是函数f（x）=x2在x=1处的切线斜率。

生：我觉得区间需要双向研究，我又计算了区间［0.9，1］，［0.99，1］，［0.999，1］上的平均变化率，也发现从小于2的方向趋向2，2就是切线斜率。

该生发言完毕，全场报以热烈的掌声，教师使用几何画板演示。

评析：该探究环节也是本节课的一个亮点。由于笔者执教班级的数学基础较好，学生对数学学习有热情、感兴趣，因此，在本节课中，教学任务一是理解平均变化率的意义，二是通过该探究为下节课做铺垫。本环节给学生充分思考（该环节大约用了15分钟时间），意在通过探究，初步体会区间缩小时割线斜率会无限趋向一个常数，为下节课学习导数的概念奠定基础。

二、课堂总评

“平均变化率”是导数及其应用的第一节课，对平均变化率的理解是重点，“平均变化率”概念的生成是难点。在生成概念的过程中，学生不可能准确地说出定义来，本课从生活实例，让学生通过图形感受变化，再进一步感受变化的快慢。旧的知识不能刻画变化快慢问题，学生自然会想到需要学习新的数学模型，这体现了数形结合、从特殊到一般、从具体到抽象的思想方法。学生从生活实际出发，尝试生成概念，参与度高，课堂氛围活跃，体会通过数学模型刻画客观世界的过程，进一步感受数学思想。

教师应当因材施教，由于执教对象基础相对较好，本节课不拘泥于仅仅生成概念，而多开展一些探究活动有利于学生间的合作，提高学生的学习兴趣，为下节课奠定了良好的基础。

（作者单位：南京市第二十九中学）

编辑：陈鲜艳

作者简介：张盛冬（1983—），女，汉族，江苏南京人，研究生，副高级职称，研究方向：高中数学教学。