高中数学中数形结合思想的培养与应用

贺炜

数形结合就是在数学教学中将图形与数据相结合，找出图形与数据之间的关联，从而解决数学中的相应问题。在教学中，数形结合不仅为学生提供了解题思路，还能使学生掌握抽象的理论知识，并运用到实际生活之中。总而言之，数形结合的核心内容就是锻炼学生的思维转化能力，在当前教育形势下提高学生的综合能力，这对学生的知识构架有着正向的引导意义。

一、教学目标

1.学会利用图形“圆”完成三角函数基本公式的推导。

2.利用数形结合思想，考量图形圆与多个角之间的数量关系，明确公式由来的具体过程。

3.参与诱导公式的推导过程，加深对数学知识的理解和记忆，在自主探索中培养创新思维，提升解决问题的能力。

二、教学重难点

教学重点：理解和掌握三角函数诱导公式的具体内容。

教学难点：使用数形结合思想推导出诱导公式，并能够运用公式进行有效的求值和计算。

三、教学过程

◆环节一：温故知新，激趣导入

教师在屏幕上投射问题：

1.三角函数的符号分别是哪些？

2.sin30°=，那么sin210°，sin330°，sin150°的值是多少呢？

教师设问1：我们在初中的时候已经学习过锐角三角函数，即那些涉及0°至90°之间角的函数。但是我们面对大于90°的角时，之前学习的正弦函数概念似乎不再适用。当遇到一个大于90°的角时，该如何处理呢？这就是这节课我们要思考和解决的问题。

（设计意图：复习先前的知识点，引出新的探讨话题：锐角三角函数之外的知识点。这样的问题能够激发学生的思考，让他们自然而然地思考这些角位于哪个象限，为后续利用数形结合理论推导公式奠定思维基础。）

◆环节二：思维延伸，学习新知

教师设问2：如何应对上述挑战呢？我们能否制定出一些策略来逐一克服这些问题？

首先，我们审视第一个问题：如何确定特定角度的正弦值？

明确：在sin210°中提取角度值，将其分成180°和30°。180°即为π，如果能明确任意角α与（π+α）之间的三角函数联系，那么这个问题就能得到解决。

探究1：任意角α与（π+α）之间的三角函数联系。

教师在屏幕上出示图片（如图1）。

图1 角α与（π+α）的位置

教师设问3：请同学们观察图片回答下列问题。

1.角α和角（π+α）的终边有何联系？

2.如图1所示，角α和角（π+α）的终边各自与单位圆相交于点P1和P2，该怎么描述这两点之间的位置关系呢？

3.假设点P1的坐标是（x，y），那么如何表示点P2的坐标？

4.研究三角函数之间的关系：tanα和tan（π+α），cosα和cos（π+α），sinα和sin（π+α），这些函数在α和π+α时的值有何联系？

明确：α与（π+α）在图形中呈原点对称关系。同样，点P1和点P2的位置也呈原点对称。如果点P1的坐标是（x，y），那么点P2的坐标将是（-x，-y）。基于这一点，总结出以下规律：sin（π+α）=sinα，cos（π+α）=-cosα，tan（π+α）=tanα。接下来就可以解决课堂伊始的问题了。

sin210°=sin（180°+30°）=-sin30°=-。

（设计意图：本练习旨在深入探究角与角之间的正弦和余弦关系。鉴于此问题出现于课堂开始，因此学生需要教师的持续指导，逐步揭示这些角度之间的数学联系。因此，在教学过程中，教师和学生应共同协作，教师扮演启发者和引导者的角色，指导学生通过分析图形来发现数学关系，从而实现从直观图形到抽象数值的过渡。）

◆环节三：思维拓展，深化理论

教师设问4：刚才我们已经解决了sin210°的问题，接下来看第二个问题，sin330°。谁来告诉老师如何解决这个问题？

明确：330°=360°+（-30°），即角α与-α的关系。

探究2：任意角α与-α之间的三角函数联系。

教师设问5：接下来我们带着分解式观看大屏幕（如图2所示），小组讨论回答下列问题。

图2

1.角α及其补角-α在单位圆上的终边有什么关系？

2.如何描述点P1和点P2在坐标系中的相对位置？

3.请确定点P2在坐标系中的具体坐标点。

4.探讨sinα与sin（-α），cosα与cos（-α），tanα与tan（-α）的值之间的关系。

明确：角α及其对应角（π+α）在坐标平面上关于x轴呈现镜像对称。点P1和点P2在x轴上呈现对称分布。若点P1的坐标为（x，y），那么点P2的坐标将是（x，-y）。通过分析和推导，可以总结出一系列数学公式。

sin（-α）=-sinα，cos（-α）=cosα，tan（-α）=tanα。

解决课堂问题：sin330°=sin（360°-30°）=-sin30°=-。

（设计意图：在经历了首个问题的启发性指导后，学生可以进一步开展小组讨论与合作，在课堂上营造积极向上的氛围。这种互动不仅增强了师生的参与度，还激发了他们在数学和几何领域的探索热情。通过在数与形的互动中深入研究，学生能够更好地理解概念，并提升解决问题的技能。）

探究3：角α与（π-α）的三角函数值的关系。

教师设问6：接下来我们解决最后一个问题：sin150°，已知sin150°=sin（180°-30°），那么我们就需要知道角α与（π-α）的三角函数值的关系，接下来请同学们看黑板（如图3）继续小组讨论，回答下列问题。

图3 α与（π-α）的位置

1.角α和角（π-α）在单位圆上的终边有什么关系？

2.如何描述点P1和点P2在坐标系中的相对位置？

3.请确定点P2在坐标系中的具体坐标点。

4.探讨sinα与sin（π-α），cosα与cos（π-α），tanα与tan（π-α）的值之间的关系。

明确：角α及其对应角（π-α）在坐标平面上关于y轴呈现镜像对称。点P1和点P2在y轴上呈现出对称分布。若点P1的坐标为（x，y），那么点P2的坐标将是（-x，y）。通过分析和推导，我们可以总结出一系列数学公式。

sin（π-α）=sinα，cos（π-α）=-cosα，tan（π-α）=-tanα

也就是说，sin150°=sin（180°-30°）=sin30°=。

（设计意图：在鼓励学生自主探索和尝试推导公式的过程中，教师可观察学生的进展，并提供及时的反馈和指导。通过这种方式，学生可以从图象中发掘公式的奥秘，同时体验到学习带来的乐趣。这种教学方法旨在培养学生的独立思考能力和解决问题的技能，也加强了师生之间的互动和沟通。）

◆环节四：总结概括，加速记忆

教师布置任务，让学生背诵上述推导公式，同时板书写下公式。

教师设问7：这些口诀十分容易混淆，我们能不能总结一些规律来加速记忆呢？

明确：在分析三角函数的符号特点时，我们注意到，对于函数sin（α），其值前面所加的正负号取决于角α所处的象限。具体来说，当α被视为锐角时，符号的确定遵循一个简单的规则：函数名保持不变，而符号的选取则依据角度所在的象限。综上所述，我们可以概括这些三角函数公式的特点为“奇变偶不变，符号看象限”。这一原则有助于我们快速判断函数值的正负，简化解题的过程。

（设计意图：采用“十字口诀”法，根据角所处的象限来判定函数符号的变化，从而深入理解公式的含义。通过这种逐步解析的方式，学生能够更好地把握三角函数在不同象限的符号规律，进而在实际问题中灵活运用这些公式。）

◆环节五：课堂练习，实际应用

教师出示习题一

利用诱导公式计算：

1.cos225° 2.sin

3.sin（-） 4.cos（-2024°）

教师引导：在审视这些数学题目时，同学们可能会发现给定的角度值超出了0到2π的标准范围。因此，我建议大家在计算过程中，将这些角度值转换至0到2π区间内。如何进行转换呢？这就需要我们运用今天所学的诱导公式来完成。

教师出示习题二

利用诱导公式化简。

（设计意图：学生应将诱导公式概念应用于实际问题中。在解决这些题目时，教师引导学生建立单位圆协助运算，帮助其将每个角转换为熟悉的锐角，从而利用数形结合的方法来体会题目背后的逻辑。这样的思考方式有助于构建解题思路，使问题变得更容易理解。）

◆环节六：课堂小结，巩固提升

在这节课中，你有什么收获呢？

（学生回答，教师总结）

明确：经过这节课的深入学习，我们掌握了以下几个关键点：

诱导公式的应用：学会如何使用诱导公式来转换角度。

数形结合的策略：在解决三角函数问题时，结合数形结合的策略可以更直观地理解问题，构建解题思路。

问题解决的步骤：通过实例学习，逐步理解在面对复杂的三角函数问题时，如何通过将问题分解成更小的、可管理的部分来解决。

实践与理论相结合：认识到理论知识与实际问题解决之间的联系，通过练习将所学的诱导公式应用于具体题目，加深了对概念的理解。

总之，这节课学生不仅学习了三角函数的诱导公式，还学会了如何将这些抽象的概念应用于实际问题中，培养了数学思维能力和解决问题的能力。

（作者单位：陕西省安康市汉滨区江北高级中学）

编辑：赵文静