解题反思孕思维，尺规三定见真知

田梅

尺规作图，即有限次使用直尺和圆规，解决平面几何的作图问题.史宁中教授指出：尺规作图教学要教想法，要教想象力，而非作图技巧.2023年南京市联合体二模的尺规作图题，对初中数学加强尺规作图教学进行了很好的评价引领.现将本题的教学实践及教学价值呈现如下.

（2023年南京联合体二模第24题）如图1，P为∠AOB外一点，用两种不同的方法过点P作直线l交OA，OB于点M，N，使得PM＝MN.

（要求：用直尺和圆规作图，保留作图痕迹，写出必要的文字说明.）

1 特色解读

1.1 关注核心知识，形成解题基本技能

本题所求作的是等线段即线段中点，而中点能够关联初中阶段大部分几何核心知识和基本图形，如：等腰三角形、中位线、平行四边形、直角三角形斜边中线、平行线、全等（倍长中线等）、相似、圆中垂径等.因此，本题能充分考查学生基础知识、模型思想和发散性思维水平.从答题情况来看，学生在关联核心知识和基本图形的能力上存在较为明显的差异，不同层次的学生均能从本题获得经验，形成解题基本技能.

1.2 洞察规律本质，发展数学核心素养

本题条件集中，图形简洁，实则内涵丰富.本题既能通过一题多解，引导学生系统化地探寻规律本质，也可提炼通性通法，即“三定”（关联定形、弱化定轨、量化定长）策略，实现多题归一.通过本题的解决，学生能够看到尺规作图的全貌，经历从“怎样想”到“怎样作”的过程，发展讲道理、有条理的思维品质，培养数学核心素养.

2 教学实践

2.1 反思先行

笔者课前将典型错误作法（图2）示以学生并布置学生进行点评，引起学生对图形的关心，反思先行.

图2作法描述：以O为圆心，OP长为半径画弧交OB于点N，连接PN，与OA交于点M.

学生反思错因：连接定点P和定角∠AOB的顶点O时，形成的

∠AOP也是确定的，因为∠AOP和∠AOB不一定相等，所示将OA当成角平分线使用是不合理的.

教学说明：揭示错误的根源，实现自我矫正与反思，积累确定性分析的经验.

2.2 关联定形

问题1在课前反思中，我们将中点M与等腰三角形的“三线合一”进行关联.你还能将中点与哪些图形关联起来？

学生讨论后归纳：中点还可以与中位线、平行四边形、直角三角形斜边中线、平行线、全等（倍长中线等）、相似、圆中垂径等图形关联起来.

教学说明：学生破题的困难在于想法少、不会思考，关联的视角能够帮助学生打开思维的大门，引导学生充分想象目标图形可以蕴含在哪些基本图形中.尺规作图是发展学生几何直观能力的好载体.

问题2以关联“平行四边形”为例，你能解决问题吗？

笔者展示学生画法（图3、图4）：

（1）观察作法，尝试说出作图步骤与作法原理.

以图3为例，其作图步骤为：过点P作PQ∥OB交OA于点Q，再过点Q作QN∥OP交OB于点N，连接PN交OA于点M.

（2）反思一下，我们经历了一个怎样的过程？

由中点关联“平行四边形”，利用平行四边形对角线互相平分的性质，构造包含中点M的图形.这个过程即分析条件、主动关联、调用模型、构建图形.我们简称为“关联定形”.

教学说明：首先以关联“平行四边形”为例，原因在于平行四边形构图相对简单，学生能较顺利地经历一个完整的“关联定形”过程，获得成功的初体验.

问题3基于“关联定形”的作图经验，你能关联“中位线”解决问题吗？

（1）当构建中位线图形有困难时，回到本质，要得到PM＝MN，图5需要满足的条件是什么？

L是PH的中点，LM∥HN.

（2）构造图形，即确定关键点H或者点L.再次尝试作图（图6～7）.

笔者展示学生画法：图6是将点O作为点H，图7是过点P作OB的垂线，垂足作为H.

（3）点H只能在这两个很特殊的位置吗？可以一般化吗？

笔者展示学生画法：点H（图8）可以在直线OB上的任意位置，实现特殊到一般.

（4）特殊化常常给我们安全感，而一般化给我们更大的空间.我们不妨再来感受一次从特殊到一般.此题中PM＝MN，即PM∶MN=1∶1，如果改成PM∶MN=1∶2呢？

在直线OB上任取点H，连接PH，取PH的三等分点，靠近点P的即为点L.

教学说明：“关联定形”即分析条件、主动关联、调用模型、构建图形.而构建图形的难点在于确定关键点.因此增加了确定关键点的点拨，学生经历从特殊到一般的全过程.

2.3 弱化定轨

问题4上述作法中，我们是先确定点H的位置再确定点L的位置，如果反过来呢？先确定点L，你能解决问题吗？

笔者展示学生画法（图9～12）：

（1）对图9～12的作法，你能看懂作图步骤和原理吗？还能看到什么？

图9～12，点L的位置是从特殊到一般.

（2）如何理解图12？

学生讨论后发现：可以先在OA上取几个“假M”.因为PM＝MN，而且P，M，N三点是共线的，所以可以确定“假N”.一个“假M”对应一个“假N”，当点M在射线OA上运动时，点N也在一条射线上运动.如图12，因为△PMM1∽△PNN1，△PMM2∽△PNN2，所以NN1∥OA，NN2∥OA，又过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，所以点N也在一条线上运动.

（3）根据图12，你能总结出什么经验呢？

学生讨论后师生共同总结：对于所求作的点N需要同时满足两个条件，条件①是PM＝MN，条件②是点N在射线OB上，显然这两个条件较难同时实现.我们可以先丢掉其中的条件②，把M作为主动点，点N随着点M的变化而变化，从而确定点N的轨迹，而这条轨迹与射线OB的交点即为点N.这种方法即为“弱化定轨”.在多个限定条件中先丢掉某个条件，利用主动点的轨迹确定从动点的轨迹，再由交轨法确定所求作的点.用这个方法还可解决PM∶MN=1∶2等问题.

教学说明：学生能从直观上画出点N的轨迹，但其中的原理不够清晰，通过讨论明确问题，即如何弱化、弱化后如何寻找点之间的对应关系、用什么样的眼光来看这种对应关系.

2.4 量化定长

问题5以上两种方法（关联定形、弱化定轨），都是在关注图形，如果从代数的角度来思考呢？

学生分组讨论后给出作法：

先画出草图（图13），作PH⊥OA，QN⊥OA，分析得QN=PH.在Rt△OPH中，PH=OP5sin α.在Rt△OQN中，ON=OP·sin αsin β.根据线段OP和角α是确定的，可以先在旁边作Rt△OPH，再将PH和90°-β放在新的直角三角形中（图14），得PL=ON.

师生共同总结：充分挖掘了题目中的确定性条件，通过三角函数计算目标线段，然后构造相应的图形让目标线段显现出来，我们把这种尺规作图的策略称为“量化定长”.用代数的方法解决几何问题是一种重要的策略，即感悟数量与位置的关系与转化.

教学说明：学生在小组讨论后能比较顺利地完成作图，与“关联定形”“弱化定轨”相比，这个方法并非最优，但学生体会到了数形结合、代数推理的强大力量.

2.5 思考延续

作业布置：选择下面的一道题完成.

（1）如图15，P为∠AOB内一点，用两种不同的方法作过点P的直线l交OA，OB于点M，N，使得PM＝PN.

（要求：用直尺和圆规作图，保留作图痕迹，写出必要的文字说明.）

（2）如图16，P为⊙O外一点，用两种不同的方法作一条过点P的直线l分别交⊙O于点M，N，使得PM＝MN.

（要求：用直尺和圆规作图，保留作图痕迹，写出必要的文字说明.）

教学说明：在作业设计中，第（1）题将原题中的点P由角外变到角内，第（2）题将角变成圆.考查学生对策略的运用以及经验迁移能力.

3 教学思考

3.1 “关联定形”激发发散思维

《义务教育课程方案（2022年版）》和《义务教育数学课程标准（2022年版）》不仅把尺规作图作为一种几何任务，更重要的是将它作为一种感知几何图形、理解图形性质、探究几何规律的认知工具.“关联定形”需要学生想象目标图形，直观地捕捉图形的性质和关系，不断感受图形的“构”与“变”，发展几何直观与数学想象核心素养.本题具有丰富的关联视角，全面、系统的关联有利于发展学生发散性思维，激发探究的兴趣，培养学生的创新能力.

3.2 “弱化定轨”培养创新意识

“弱化定轨”的核心在于弱化条件，保留条件的一部分，舍弃其他部分，减少了限制条件后，学生能先动起来.通过点的位置变化，发现“变中有定”，从而确定点的轨迹.这个过程即在培养学生的运动眼光与优化意识，以退为进，创造性地解决问题.尺规自然成为了帮助学生理解数学的工具.

3.3 “量化定长”提升推理能力

“量化定长”是发展学生推理能力的重要途径.其中的推理包含两部分.一是剖析条件时的确定性分析，如哪些数量是确定的？比如线段的长度或者角的大小？哪些要素是无法确定的？它们和已知之间有什么关系……另一部分是作图后的说理证明，以确保作出的图形是正确的.

总之，解题不能仅限于答案的获取，应从过程中走向经验、从经验走向思想、从思想走向联系、从联系走向创生.在探索中解决尺规作图从“怎么想”到“怎么做”的问题，提升解题思维，发展核心素养.