阅读、模仿、迁移“三步曲”求解高中数学阅读题

刘丽 张恒丽

项目信息：2022年芜湖市新高考背景下校本课程

“‘三新背景下高中数学阅读校本课程的开发与研究”，项目编号为WK2214；2023年安徽省教育科学研究课题“多学段融通视域下数学阅读课程资源的开发与实践”，课题编号为JK23176.

在高中数学教学中，基于阅读、模仿、迁移三步曲进行数学解题时，通过仔细阅读题目，理解问题的要求和给定条件，学生能够准确把握题目中的关键词和信息，并能与已学知识进行联系.而学生通过模仿已有的解题思路和方法，分析解题过程中的关键步骤和思维路径，能够形成固有的解题框架，以此提高解题的准确性和效率.最终，学生可以将已经掌握的解题思路迁移到新的问题中，运用相关的知识和技巧解决新的数学问题，有助于培养灵活运用知识的能力，提升解题的创新性和独立性.

例1  在求解1+2+22+23+24+……+22 017的值时，可以假设：

S=1+2+22+23+24+……+22017.①

随后对①式两侧同乘幂的底数2，则可以得到如下式子：

2S=2+22+23+24+……+22 017+22 018.②

用②式减①式，可以得到

2S－S=22 018－1.

因此可求解出S=22 018－1.

问题1：根据以上解题方式，请仿照此方法求解出1+2+22+23+24+……+29的值.

问题2：试求解1+5+52+53+54+……+5n的值.

问题3：试求解25+26+27+28+29+210的值.

分析：根据阅读、模仿、迁移“三步曲”的解题方式，解答本道题时，可以将整个解题过程划分为以下三个步骤，然后根据每个步骤的方式一步步进行分析求解，从而使学生更好地掌握相关数学解题点

［1］.

第一步：阅读

例1中详细描述了本题的解题思路，但最为关键的部分是如何将所要求值的式子变形.在例题中，将①式两边同乘幂的底数2后，得到②式，随后用②式减①式，则可以得出相应的等式，最后将结果进行简化，就可以求解出答案.通过阅读题目，能够很清楚地掌握本题的解题方法.

第二步：模仿

在求解问题1时，学生可以根据题目中已知的解题方法进行模拟，假设

S=1+2+22+23+24+……+29.③

随后对③式两边同乘幂的底数2，则可以得到④式：

2S=2+22+23+24+……+29+210.④

用④式减③式，可以得到2S－S=210－1，即S=210－1.

因此能够得出问题1的最终答案为210－1.

由此可见，学生基本上只需要掌握已知题目中的转换方式，就能充分模仿问题1的求解方式.这种模仿方式不仅简单，而且解题效率也比较高，适合大部分学生学习［2］.

第三步：迁移

在求解问题2时，首先假设

S=1+5+52+53+54+55+……+5n.⑤

随后对⑤式的两边同乘幂的底数5，可以得到⑥式：

5S=5+52+53+54+55+……+5n+5n+1.⑥

用⑥式减⑤式，可以得到5S－S=5n+1－1，即S=5n+1－14.

在求解问题3时，基于迁移的方式进行答时，其解题方式如下：

25+26+27+28+29+210=1+2+22+23+24+25+26+27+28+29+210－（1+2+22+23+24）=211－1－（25－1）=211－1－25+1=211－25=2 048－32=2 016.

小结：从例1中可以看出，数学阅读理解问题的解决通常需要经历“三步曲”的方式，因此在后续的教学过程中，教师应该加强对学生的数学阅读、模仿以及迁移三方面的训练，使学生学会数学阅读、模仿以及迁移，从而在遇到数学阅读理解题目时，能够实现快速解题的目的［3］.

例2  已知如下方程组：

2x+5y=3，4x+11y=5.⑦⑧

在解答该方程组时，可以采用整体代换的方式求解，将方程组中的方程⑧进行变形处理，以此得到4x+10y+y=5，并再次进行变形处理后，得到方程2（2x+5y）+y=5，然后将方程⑦代入其中，则可以得出2×3+y=5，从而求解出y=－1.随后将y=－1代入到方程⑦中，可以求解出x=4.

问题1：根据已知的方程组求解方式，请使用整体代换的方式求解方程组

3x－2y=5，9x－4y=19.⑨⑩

问题2：若x，y满足3x2－2xy+12y2=47，2x2+xy+8y2=36，请求x2+4y2的值.

分析：基于“三步曲”的方式，对例题2求解时，依旧按照以下三个步骤进行［4］.

第一步：阅读

通过阅读例题2，学生可以掌握相应的解题方法或者思路，在拿到本道题时，需要对题目提供的文本材料进行阅读理解，并从文本中提取有价值的内容和信息.对于新的解二元一次方程组的方式——借助整体代换的方法求解，由于本例题中只给出了相应的解题步骤，但没有对整体代换概念和方法作出说明，因此学生在解题时，需要先从中得出相应的解题方法或者解题思路.例2中的（2x+5y）是个整体，对应的数值为3，将方程⑦变形成一个含有（2x+5y）这个整体的方程后，使用数值3替代掉（2x+5y），从而能够求解出对应的方程组.

第二步：模仿

通常情况下，数学习题中提出若干个问题时，其中第一个问题的解答通常比较简单.对于例2中的问题1，只需要根据已知题目的方式模仿文本中的方法或者思路，抓住方法的实质就能解决问题.这种“换汤不换药”的方式，通常只需要调整文本中的数据，就能快速解答出题目［5］.

在求解问题1时，可以将（3x－2y）看作一个整体，学生只需要模仿，就能快速完成求解.其解题过程如下：

将方程⑩变形后，可以得到6x－4y+3x=19，再次变形后，得到方程2（3x－2y）+3x=19，将方程⑨代入其中，则可以得出2×5+3x=19，最后能够求解出x=3.

在得到x=3后，将其代入到方程⑩中，最终求解出y=2.

第三步：迁移

完成模仿后，大部分学生已经基本上掌握了本道题目中所述的整体代换方法，而在接下来的问题2的解答中，其主要学习任务是将所学习到的整体代换方法进行具体的迁移，用整体代换法解决问题.相较于第二步的模仿，第三步的迁移不再是简单地对数学习题进行解答，而是要将所学习到的新知识应用到新的问题解决中.在解决问题2时，可以发现（x2+4y2）是该问题中方程组的整体部分，因此将问题2中的方程组变形，可以得到

3（x2+4y2）－2xy=47，2（x2+4y2）+xy=36.B11B12

对于上述方程组，将含有xy的项消去后，则能够轻松求解出（x2+4y2）的值.因此求解时，对方程组采取B12×2+B11的方式，得到7（x2+4y2）=119，从而得出x2+4y2=17.

数学解题思路的培养是高中数学教学的重要内容，而基于阅读、模仿、迁移的三步曲为学生提供了一种行之有效的解题思路.通过仔细阅读题目、模仿已有的解题思路和方法、迁移已学知识解决新的问题，学生可以建立起正确的解题框架和方法论，提升数学解题的能力.

参考文献：

［1］林世平，王珠芳.立足转化思想，培育核心素养——例谈转化思想在高中数学解题中的应用［J］.数学之友，2022（20）：58-60.

［2］翁建新，陈美兰.“读思达”教学法在高中数学教学中的实践探析［J］.中学理科园地，2023，19（2）：12-13.

［3］吴惠琴.关注阅读能力培养 促进综合能力提升——谈数学阅读在解题中的应用［J］.数学教学通讯，2022（3）：81-82.

［4］韩丽.圈点批注、读中领悟、模仿迁移——浅说高中现代抒情散文读写结合教学策略的探索［J］.语文课内外，2021（16）：307.

［5］王保东，张静，郑燕杏.在解题教学中体会数学阅读、运算和表述——以一道高考题的解题教学为例［J］.中小学数学（高中版），2021（11）：62-64.