“双变量”巧消元，单变量妙破解

蔡明生

摘要：在函数与导数的应用中，涉及“双变量”或“双参”的相关问题是其中一类热点问题，也是近年高考中比较常见的一类基本题型，有其自身比较常规的破解思维方法与技巧策略.

关键词：函数；曲线；直线；相切；最值

近些年高考和模考中函数与导数的综合应用试题，常涉及“双变量”或“双参”问题，对学生的数学抽象、逻辑推理、数学建模等核心素养提出了较高要求.解决这类问题的关键是结合已知条件，寻找双变量所满足的关系式，想方设法把“双变量”问题转化为单变量问题，从而化陌生为熟悉，实现问题的转化与解决.

本文中以一道模拟题中涉及的“双变量”的最值问题求解为例，深入剖析问题，多视角技巧方法应用，合理变式拓展，助力数学解题研究.

1 问题呈现

问题  已知函数f（x）=2ln（ax+b）（a，b∈R），若直线y=x与曲线y=f（x）相切，则ab的最大值为.

此题借助含有“双变量”的函数所对应的曲线与直线相切来合理创设情境，进而求解双变量乘积所对应的代数式的最值.合理消元，将“双变量”问题转化为单变量问题，是解决此类问题的关键所在，也是主要的切入点.

2 问题破解

解法1：消元法—基于主元思维1.

设直线y=x与函数y=f（x）对应的曲线相切于点P（x0，2ln（ax0+b））.

因为f′（x）=2aax+b，结合导数的几何意义可知，f′（x0）=2aax0+b=1，即ax0+b=2a（a>0）.

又因为点P在切线y=x上，则2ln（ax0+b）=x0，

所以x0=2ln（ax0+b）=2ln 2a，于是b=2a-ax0=2a-2aln 2a.

因此ab=2a2-2a2ln 2a（a>0）.

设函数g（a）=2a2-2a2ln 2a（a>0），则g′（a）=2a-4aln 2a=2a（1-2ln 2a）.

令g′（a）=0，解得a=e2.所以

当a∈0，e2时，g′（a）>0，函数g（a）单调递增；当a∈e2，+∞时，g′（a）<0，函数g（a）单调递减.

所以g（a）max=ge2=e4，即ab的最大值为e4.

故填：e4.

解后反思：涉及“双变量”或“双参”的相关问题，往往是构建双变量之间的等量关系式，进而因地制宜，直接选取其中一个变量作为“主元”，结合消元处理转化为涉及该“主元”的关系式，从而巧妙将双变量问题转化为单变量问题，借助函数的构建以及导数的应用，通过函数的基本性质来确定对应的最值问题.

解法2：消元法—基于主元思维2.

同解法1得到x0=2ln（ax0+b）=2ln 2a.

那么a=12ex02，b=2a-ax0=a（2-x0）=12ex02（2-x0），因此ab=14ex0（2-x0）.

设函数g（x）=14ex（2-x）（x>0），则有g′（x）=14ex（1-x），

令g′（x）=0，解得x=1.

当x∈（0，1）时，g′（x）>0，函数g（x）单调递增；当x∈（1，+∞）时，g′（x）<0，函数g（x）单调递减.

所以g（x）max=g（1）=e4，即ab的最大值为e4.

故填：e4.

解后反思：涉及“双变量”或“双参”的相关问题，利用变量的引入以及条件关系的应用，将双变量同时转化为另外同一个变量的关系式，达到消元的目的，同样可以巧妙地将双变量问题转化为单变量问题，借助函数的构建以及导数的应用，通过函数的基本性质来确定对应的最值问题.

解法3：消元法—基于换元思维.

同解法1可得ab=2a2-2a2ln 2a（a>0），

因此ab=2a2-2a2ln 2a=2a2-a2ln 4a2.

令t=4a2>0，函数g（t）=12t-14tln t=14t＼5（2-ln t），t>0，

则g′（t）=14（1-ln t），令g′（t）=0，解得x=e.

当t∈（0，e）时，g′（t）>0，函数g（t）单调递增；当t∈（e，+∞）时，g′（t）<0，函数g（t）单调递减.

所以g（t）max=g（e）=e4，即ab的最大值为e4.

故填：e4.

解后反思：涉及“双变量”或“双参”的相关问题，在消元并转化为同一“主元”问题时，有时结合表达式的复杂性进行必要的换元处理，借助单变量函数问题进一步利用函数与导数的综合应用来解决最值问题.这里换元的目的往往是为了数学运算的简捷与方便，优化解题过程.

解法4：消元法—基于不等式放缩思维.

同解法1可得ab=2a2-2a2ln 2a（a>0），

结合切线不等式ln x≤xe（当且仅当x=e时等号成立），

因此得ab=2a2-2a2ln 2a=2a2（1-ln 2a）=a2·lne2a2≤a2·e2a2·1e=e4，当且仅当e2a2=e，即a=e2时等号成立，

则ab的最大值为e4.

故填：e4.

解后反思：涉及“双变量”或“双参”的相关问题，在消元并转化为同一“主元”问题时，利用单变量表达式的恒等变形与对应的结构特征，利用一些重要的不等式（基本不等式、柯西不等式、切线不等式等）进行必要的放缩变形，也是用来确定代数式最值问题中比较常用的一种技巧方法.

3 变式拓展

变式1  已知a，b∈R，当a＞0时，若ln（ax+b）≤x恒成立，则ab的最大值为.

解析：令函数f（x）=ln（ax+b）-x，则有f′（x）=aax+b-1（ax+b＞0），

令f′（x）=0，解得x=a-ba.

由a＞0，当-ba＜x＜a-ba时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；当x＞a-ba时，f′（x）＜0，f（x）单调递减.

故f（x）在x=a-ba处取得最大值ln a-a-ba.

由题意可得ln a-a-ba≤0，即b≤a-aln a，所以ab≤a2-a2ln a.

设函数h（a）=a2-a2ln a，a＞0，则有h′（a）=2a-（2aln a+a）=a-2aln a=a（1-2ln a）.

令h′（a）=0，解得a=e.

当0＜a＜e时，h′（a）＞0，h（a）单调递增；当a＞e时，h′（a）＞0，h（a）单调递减.

所以h（a）在a=e处取得最大值e-12e=e2，

即当a=e，b=e2时，ab的最大值为e2.

变式2  已知a，b∈R，若集合{x|ex

e2

4 教学启示

4.1 掌握技巧方法，合理消元化归

函数与导数的综合应用问题中的“双变量”或“双参数”问题常以切线、方程、不等式、最值、参数范围等形式呈现，但最终的落脚点都是函数，其核心是研究函数的基本性质，通过“减元”将双元问题转化为单元问题，确定待研究的函数成为解题的核心，再结合相关的基础知识与技巧方法来分析与解决.

4.2 开拓数学思维，挖掘巧技妙解

解决此类涉及“双变量”或“双参数”的问题，要充分挖掘题设条件的内涵与本质，深入理解题目条件与所求，合理变形与整合，巧妙消元并综合应用，开拓思维，“一题多解”，从不同思维视角切入，挖掘巧技妙解，利用不同的技巧方法来分析与处理，举一反三，灵活变通，借助“一题多变”，达到“一题多得”，真正达到融会贯通，从数学知识、数学能力、数学思维等层面融合，形成数学知识体系，转变为数学能力，得以创新拓展.