借助高考真题，提升思维品质

陈达文

思维品质是一个人智力水平高低的标志，而数学思维品质是学习数学的过程中必不可少的基本素养.对于学生个体发展而言，数学思维品质存在着个体思维发展的年龄特征和个体差异，是数学基础知识、数学思想方法和数学能力等各方面综合体现的一种特殊标志，影响着对数学的理解与学习.下面笔者结合往年高考数学真题中的客观题教学，就提升学生数学思维品质加以实例剖析.

1 思维的严谨性

思维的严谨性是指考虑问题时要全面、严密、有理有据.提升学生思维品质的严谨性，必须严格要求，按部就班，按照一定的逻辑顺序进行全面、周密的思考，以充分的理由进行推理论证，加强训练.

例1  已知集合S={s|s=2n+1，n∈Z}，T={t|t=4n+1，n∈Z}，则S∩T=（  ）.

A.

B.S

C.T

D.Z

分析：从集合S入手，讨论当n分别是偶数、奇数时的集合元素情况，与集合T中的元素加以比较，结合集合的基本运算进行判断，即可得到答案C.

点评：通过对集合S中的变量n分偶数、奇数这两种不同的取值情况进行分类讨论，进而比较两个集合中对应元素之间的关系，得以确定两个集合的关系.解题过程严密有据，无懈可击，充分体现了数学思维的严谨性.

2 思维的广阔性

思维的广阔性是指站在更高的层面上去处理问题，增加问题的切入视角，扩大范围，把研究对象放在更大的环境中去考察，从而更大可能地发现更多的属性，得到更加广泛的结论，为研究性学习提供保障，创新开辟新的道路.

例2  设函数f（x）=1-x1+x，则下列函数中为奇函数的是（  ）.

A.f（x-1）-1

B.f（x-1）+1

C.f（x+1）-1

D.f（x+1）+1

分析：先根据函数f（x）的解析式进行变形与转化处理，确定函数f（x）的对称中心，然后通过函数图象的平移变换，使得变换后的函数图象的对称中心为（0，0），吻合奇函数的基本性质，从而得到答案B.

点评：根据以上问题及其破解，进一步深入研究，总结规律，提升思维品质的广阔性，可以得到一般性的结论——若函数y=f（x）的图象关于点（m，n）（m，n∈R）中心对称，则函数y+n=f（x+m）的图象关于坐标原点O（0，0）中心对称，即函数y=f（x+m）-n为奇函数.

3 思维的深刻性

思维的深刻性是指深入钻研与思考问题，深刻认识事物，善于挖掘复杂事物的内涵，把握问题的本质属性，努力克服思维的表面性与绝对化，不被表面现象所迷惑，从而得到新看法、新结论等，深层研究.

例3  如图1所示，已知正方体ABCD-A1B1C1D1，M，N分别是A1D，D1B的中点，则（  ）.

A.A1D与D1B垂直，MN∥平面ABCD

B.A1D与D1B平行，MN⊥平面BDD1B1

C.AD与D1B相交，MN∥平面ABCD

D.A1D与D1B异面，MN⊥平面BDD1B1

分析：通过证明A1D⊥平面ABD1，以及MN是△ABD1的中位线，可判断选项A正确；根据异面直线的判定可知A1D与直线D1B是异面直线，可判断选项B错误；根据异面直线的判定可知AD与D1B是异面直线，可判断选项C错误；由MN∥AB，可知MN不与平面BDD1B1垂直，可判断选项D错误.

点评：借助空间线面位置关系的判定定理与“性质”定理来分析，考查逻辑推理与空间想象能力，对数学思维的深刻性有很好的培养与提升，尽显思维的深刻性其能，顺利解决问题.

4 思维的灵活性

思维的灵活性是指思维活动在选择知识、切入角度、运用方法、开展过程等方面的灵活程度.在教学过程中，克服思维定式，往往通过“一题多解”“一题多变”“多题一解”“多题一法”等形式加以展开，多侧面进行分析与思考，提高创新性与灵活性.

例4  已知F1，F2是椭圆C：x29+y24=1的两个焦点，点M在C上，则|MF1|＼5|MF2|的最大值为（  ）.

A.13

B.12

C.9

D.6

分析：根据题目条件，结合两个焦半径的乘积，在基本不等式背景、函数背景以及焦半径公式等背景下，从不同的思维视角来切入，利用不同的知识来确定对应的最值问题，实现数学思维的灵活性，达到一题多解的目的.

解法1：基本不等式法.

由椭圆C的方程x29+y24=1，可知a=3，

而点M在C上，利用椭圆的定义可得

|MF1|+|MF2|=2a=6.

利用基本不等式，可得

|MF1|＼5|MF2|≤|MF1|+|MF2|22=9，

当且仅当|MF1|=|MF2|=3时，等号成立.

所以|MF1|＼5|MF2|的最大值为9.

故选：C.

解法2：距离公式法.

由于F1，F2是椭圆C：x29+y24=1的两个焦点，则a=3，b=2，c=5，

可得F1（-5，0），F2（5，0）.

设M（x，y），其中-3≤x≤3，则有

y2=41-x29，

于是可得

|MF1|＼5|MF2|

=（x+5）2+y2·（x-5）2+y2

=59x2-9=9-59x2≤9，

当且仅当x=0时，等号成立.

所以|MF1|＼5|MF2|的最大值为9.

故选：C.

解法3：焦半径公式法.

由于F1，F2是椭圆C：x29+y24=1的两个焦点，则知a=3，b=2，c=5，

可得椭圆C的离心率e=ca=53.

设M（x，y），其中-3≤x≤3，

结合椭圆的焦半径公式，有

|MF1|=a+ex=3+53x，

|MF2|=a-ex=3-53x.

于是|MF1|＼5|MF2|=9-59x2≤9，当且仅当x=0时，等号成立.

所以|MF1|＼5|MF2|的最大值为9.

故选：C.

点评：从以上问题所对应的三种思维视角切入，借助不同的数学知识与数学方法来破解，殊途同归，消除学生思维定势的消极影响，进行“一题多解”训练，充分展示数学思维的灵活性.

5 思维的批判性

思维的批判性是指有主见地评价事物，严格地估计思维材料，精确地检查思维过程，是思维过程中自我意识作用的结果.在数学解题过程中，对一些问题进行深入研究，自我鉴别，深层挖掘，发现问题，辨析真假，培养学生思维的批判性.

例5  已知f（x）=3sin x+2，对任意的x1∈0，π2，都存在x2∈0，π2，使得f（x1）=2f（x2+θ）+2成立，则下列选项中，θ可能的值是（  ）.

A.3π5

B.4π5

C.6π5

D.7π5

分析：结合题目条件，利用逻辑关系确定三角函数的最大值与最小值，对θ的可能取值进行分类讨论，分别确定在不同背景下三角函数的取值情况，进而得以分析与判断，实现批判性思维的发展.

点评：巧妙综合逻辑推理与三角函数的图象和性质，借助题目创新情境确定三角函数的最值情况，再通过三角函数的图象与性质确定限制条件下的最值情况，对比分析、判断，深层挖掘，辨误驳谬，有效破解综合应用问题，培养学生思维的批判性.

有意识地借助一些高考典型真题实例，合理引入课堂教学与学生学习，巧妙引导，加强督促，结合学生的参与和训练，能够很好地提升数学的思维品味，提高数学能力，受益终生.合理培养学生的思维品质，使学生真正学有所得，真正实现教学相长.