基于改进平滑L0范数的压缩感知重构算法

赵友瑜 罗桂宁 王姣 冯俊杰

关键词：压缩感知；稀疏信号重构；平滑L0范数；负指数函数

0 引言

随着信息时代的到来，如图像、语音、视频等信号的传输与处理技术已经被广泛应用，同时对信号传输、采集、处理等提出了更高的要求。因此，如何对信号进行有效的采样压缩，实现信号的精确重构，成为信号处理领域的重要问题。奈奎斯特采样定理指出，如果要从采样信号中无失真地恢复出原始信号，则采样率至少是信号频带的两倍以上。随着信息技术的发展和对信息需求的增加，信号带宽不断扩大，采样率和处理速度也随之提高，相应地增加了信号采样的成本以及数据存储、传输的代价，这导致实际应用中的硬件要求和传输压力增加。传统的信息获取与处理流程通常是先对信号进行采样，再对获得的采样数据进行压缩处理，但采集与压缩过程中去除大量冗余数据会造成采样资源的浪费。

近年来，充分利用信号的稀疏性或可压缩性特征，压缩感知（Compressive Sensing， CS） 理论作为一种基于信号稀疏性的采样理论被提出。相比传统的数据采样理论，该理论在采样中完成了数据压缩的过程，从而显著降低了系统采样的硬件需求和时间损耗 [1]。压缩感知理论是基于数学优化问题，针对海量数据进行采样、编码和优化重构的新理论。该理论指出，如果被测信号在某个变换域是稀疏的或者信号是可压缩的，则可采用低于奈奎斯特采样频率的方式对信号进行测量，并能通过测量值重构原始信号。CS理论表明，对于稀疏信号或可压缩信号，可以同时进行数据采样和压缩，通过设计与稀疏基不相关的观测矩阵将高维稀疏信号降为低维信号，然后通过最小范数优化求解原始信号，极大地降低存储空间和计算的复杂度，且质量损失较小，实现精确重构。该理论利用信号的稀疏性，实现了低采样率采样，从而降低了高速采样、A/D 变换、变换编码的成本。对于以低采样率采样得到的数据，压缩感知理论通过在约束条件下对L1（或L0） 范数优化重构该稀疏信号。

压缩感知理论主要分为三个步骤。首先，将信号稀疏化处理，使传输信号在某个稀疏域上呈稀疏表示。其次，通过设计与稀疏基不相关的矩阵，即观测矩阵，将高维信号降维处理为低维信号。最后，利用稀疏重构算法精确重构出最原始的信号。CS理论一经提出，就引起了广泛学者的关注，成为研究的热点，在图像信号[2]、语音信号、阵列信号、雷达成像[3]等方面都有广泛应用。

稀疏信号重构是压缩感知理论的重要步骤，主要包括凸优化算法、组合算法和贪婪重构算法等。对于稀疏信号重构处理所应用的重构算法实质上是求解一个最小L0范数问题，但基于L0范数的稀疏求解是非凸优化问题，求解复杂。因此，基于L1范数的算法较为常用，但基于L1范数的重构算法计算成本很高。然而，L0范数比 L1范数更能描述稀疏性，如何得到L0函数作为代价函数的解具有非常重要的意义。由于L0范数是非光滑函数，直接基于L0函数的算法需要组合优化，计算量呈指数级增长。因此，如何兼顾计算量和重构性能，得到接近L0代价函数的解具有很高的研究价值。计算量是指数上升的。如何兼顾计算量和重构性能，得到接近 L0代价函数的解是很有研究价值的。

norm， SL0） 稀疏信号恢复算法，利用连续高斯函数序列Fσ （x） =Σiexp（-x ） 2i2σ2 作为平滑函数，通过控制参数σ 由大到小变换，使平滑函数趋近于L0范数。该算法采用高斯函数作为平滑函数，将求解L0范数问题转化为平滑函数的优化求解问题，解决了非连续函数求导的问题，具有运算速率快、计算复杂度低、重构精确度高等特点。

为了进一步改进稀疏信号重构效果，在SL0算法的基础上，本文采用了负指数函数Gσ （x） =Σi = 1N exp （-| x | ） i σ 作为平滑序列，逐渐减小控制参数，使得平滑序列逐渐趋近于L0范数。实验结果证明所设计的算法比SL0算法具有较高的重构精度，提高了稀疏信号重构效果。

1 稀疏信号重构模型

其中矩阵A 称为感知矩阵。由于观测值的维数M 远小于信号维数 N，直接由y 求解x 为求解欠定方程问题，无法求出其确定解。由于信号 x 是稀疏的，实际未知数的个数大大减少。运用优化理论对信号进行重构求解。

2 改进稀疏信号重构算法

采用负指数函数fσ （xi ） = exp（-| x | ） i /σ 作为平滑函数，记作Fσ （x） = N -Σi = 1Nfσ （x ） i ， x 0 表示向量x 中不为零元素的个数。当σ → 0时，Fσ （x） 趋近l0 范数的值， x0 = lim σ → 0Fσ （x）。对于任意的σ，Gσ （x）都可作为度量稀疏度的函数，较Fσ（x）具有较高的重构概率。算法采用单循环结构及通过控制参数σ 由大到小变化，采用递减序列σ1，σ2，σ3…，把每个与σi 相对应的函数进行优化求解。求Fσ （x）的梯度?Fσ （x），然后向负梯度上平移，即得到Fσ （x）的最小值。求得的最小值有可能不在可行集中，所以需要采用投影方式到可行集中。本文所设计算法称为改进平滑L0范数重构算法，整个重构算法结构如下：

在最速下降方法中，步长因子的选择非常重要。对于较大的步长，函数可能不会收敛；而对于较小的步长，计算效率较低。当搜索点与最小值的距离较远时，考虑较大的步长；当搜索点与最小值较近时，则考虑选择较小的步长。最速下降法应该每一步代价函数都下降才好，但实际求解过程中不一定为下降方向。因此，对于上述算法，在每次迭代过程中增加检查所求的解是否下降步骤。如果没有下降，则取前一点和当前点的中点进行修正，确保搜索方向沿着最速下降方向。

3 仿真结果及其分析

仿真一：一维信号重构

本文通过MATLAB软件对算法进行测试，验证其算法的重构性。稀疏信号模型为y = Φx + n，其中为稀疏信号，Φ为观测矩阵，稀疏信号长度为256。改变稀疏信号的稀疏性，几种算法的重构时间曲线、重建概率和均方误差（MSE） 变化曲线如图1-图3所示。对于SL0方法，外环数量为20，内环数量为10。本文算法循环次数为200。本文将ISL0算法与OMP算法[5]、SL0算法、Laplace算法[6]和L1-Ls算法进行了比较。

图1表示不同信噪比情况下重构时间的比较。可以看出，OMP、平滑L0范数和ISL0算法的重构时间低于Laplace和L1-Ls。图2表示不同信噪比条件下重构概率随着稀疏度的变化情况。可以看出，随着稀疏度的增加，几种算法的重构概率逐渐降低；而信噪比增加时，在相同稀疏度情况下，重构概率逐渐增加。在相同稀疏度下，本文算法较其他算法具有较高的重构概率，重构效果优于其他算法。图3表示稀疏信号均方误差的比较。可以看出本文算法较其他算法具有较低的均方误差。虽然L1-Ls是全局最小值算法，但由于ISL0选择的平滑函数，局部最小值方法优于全局最小值方法。

仿真二：图像重构

为验证本文算法的图像重构性能，利用Matlab2020a仿真平台，对算法的二维图像重构性能进行了验证，并完成实验仿真分析。选择输入源图像为256×256的barbara 图像作为测试图像，采样率为0.5。选取DCT矩阵作为稀疏变换矩阵，观测矩阵为随机高斯矩阵。本文算法与OMP 算法、SL0 算法、SP 算法、GPSR算法对重构结果进行比较，选取重构时间、峰值信噪比和均方误差作为性能指标。

如图4所示，可以看出本文算法的图像重构效果优于其他算法。表1从峰值信噪比、相对误差和计算时间对比了几种算法的指标，可以看出本文算法与其他算法相比，在重构质量和精度等各方面对传统重构算法有较大的提高。

4 结论

本文提出一种改进的平滑L0范数压缩感知重构算法，采用负指数函数作为平滑函数，通过控制参数由大到小变化，逐步趋近L0范数。在每次迭代中增加一个比较步骤进行修正，以确保在传统平滑L0范数重构算法的最快下降方向上搜索到最优值。仿真结果表明，在相同的测试条件下，该算法在重构概率和重构精度方面均优于传统稀疏信号重构算法。