基于数学文化的高中数学教学案例——以“数列”为例

文| 王洋洋

一、背景

数学文化涵盖了数学知识、思想、方法，以及它们在社会历史进程中的应用和影响，这包含了数学在历史、科学、艺术和哲学等领域的应用和影响。因此，高中数学教学的重心不再只是解题技巧和公式定理的灌输，而是要让学生在掌握数学知识之余，能够深度理解并体验到数学的历史沿革和文化内涵，从而激发他们的创新思维。在这个背景下，这套教学案例设计独特而新颖。案例不再是一道道简单的数学题目，而是具有真实性、历史性和文化性的问题，如金字塔的建造问题、哥德巴赫猜想等，这些都是数学历史上的重大问题，是数学文化的重要组成部分。

二、教学过程

（一）引入数列概念

在初步接触数列概念的阶段，教师会通过举例来引入数列的定义和特性。在数学的领域里，数列是一项基本且关键的概念，特别是对高中生来说。为了让学生掌握这一概念，教学过程中教师应结合实际例子帮助学生感受数列的实用性。例如，可以用人口增长、金融投资收益等现实情境来说明数列如何在社会和经济领域内发挥作用。

数列的定义涵盖一组按照一定顺序排列的数，这些数称为项，它们按照位置排列形成第一项、第二项等序列。探索数列时，会发现它们可能遵循某种规律，像等差数列中项与项之间的差是恒定的，等比数列中每一项都是其前一项的固定倍数。这些规律反映了数列的结构特点，为深入数学研究提供了线索。

教师：同学们知道数列是什么吗？

学生1：数列就是按照一定规律排列的一串数字。

教师：非常好，这是数列的基本理解。数列确实是一系列按照特定规律排列的数字。谁能说出一个生活中的例子呢？

学生2：我们考试成绩表上的成绩由高到低排列，可以看作是一个数列。

教师：很好的例子，每次考试的成绩确实可以形成一个数列。大家知道人口增长怎么算吗？

学生3：人口增长，是不是每年的人口数量会有变化，这个变化可以用数字表示出来。

教师：正是如此。想象一下，如果我们有一个城市从2000 年到2020 年每年人口的数据，这些数据会形成怎样的数列呢？

学生4：这应该是一个时间序列的数列，可能是递增的，因为人口一般会增长。

教师：非常精准，这样的数列可以帮助我们了解人口增长的趋势。

教师在这一阶段的教学中，应从具体的情境出发，循序渐进地帮助学生建立对数列的直观理解。然后，通过分类讨论和案例分析介绍数列的不同类型及其性质，如等差和等比数列。在这个过程中，教学重点应放在数列在现实问题解决中的应用上，从而激发学生的学习兴趣，并提升他们对数学知识的掌握。

（二）探索数列的性质

在这个阶段，教师可以引导学生通过观察和分析不同的数列来找出数列的性质和规律。探讨数列性质时，教师应深入解释数列的定义、其在多个领域的应用，以及如何计算数列的特定项和总和。在此基础上，学生要学会使用数列描述和推测现实生活中的规律。同时，教师应鼓励学生探求那些不遵循普遍规律的数列，并尝试描述它们的模式。

为了帮助学生更深刻地理解数列的知识，教师需要设计具有挑战性的实践问题和活动，通过问题启发学生的思维，引发学生的深入思考，使其自主地掌握数列的性质。这种做法不仅加深了学生对数学概念的理解，还鼓励他们在现实场景中应用数学工具。另外，教师应当展示数列知识的历史进程，介绍数学家如何对数列知识作出贡献，以激起学生对数学学科的热爱。采用这种教学案例设计，学生不仅能掌握数列的特性，还能更全面地了解数学知识在实际生活中的运用和数学的文化价值。

教师：我们已经了解了数列的基本概念。接下来将进一步探究数列的性质。首先，大家来看一个简单的等差数列：2，4，6，8，10……。这个数列有什么特点呢？

学生1：每一项比前一项多2。

教师：非常好，这就是等差数列的一大特性——公差。那么，等比数列的特性是什么？

学生2：等比数列的每一项都是前一项乘以同一个数，这个数我们称为公比。

教师：很好，现在让我们更深入一点。大家知道等差数列有通项公式an=a1+（n-1）d。请问，为什么需要通项公式？

学生3：有了通项公式，我们可以直接计算出数列中任意一项的值，而不需要逐步地计算每一项。

教师：正确。那么，我们能不能尝试推导一下等比数列的通项公式？

学生4：等比数列的每一项都是前一项乘以公比q，所以通项公式应该是an=a1·q（n-1）。

教师：很棒！我们通过观察数列中项与项之间的关系，得出了通项公式。现在大家来看一个具体的问题。假设有一个等差数列：3，7，11，15……。如果我想知道第100 项的值，应该怎么做呢？

学生5：首先，要确定公差d，这里d=7-3=4。然后用公差和通项公式an=a1+（n-1）d，这里a1=3，n=100，所以第100 项是a100=3+（100-1）×4。

教师：非常正确。大家现在已经开始理解数列的规律了。那么在等比数列中，如果知道第一项a1是2，公比q是3，能计算出第5 项吗？

学生6：可以用通项公式an=a1·q（n-1），将a1=2，q=3和n=5 代入，得到第5 项是a5=2×3（5-1）=2×34。

教师：这个方法对计算任何一项都是有效的。除了通项公式，数列还有其他性质。比如说等差数列的前n项和或者它表示了数列前n项的总和。为什么对等差数列来说，求和会这么简单？

学生7：我想这是因为等差数列中项与项之间的增量是固定的，所以和可以看作是首项和末项平均值的n倍。

教师：非常好。等比数列的前n项和也有一个公式，对于q≠1 的等比数列，和为现在我们有了等差数列和等比数列的通项公式和前n项和公式，可以解决许多与数列相关的问题了。

（三）数列的应用

教师在引导学生学习数列的应用时，教学中需将理论与实际相结合，展示数学在生活中的实用性。设计教学内容时，教师应强调数列应用的广泛性以及其在解决问题时的实际作用。案例可以从简单数列开始，如探讨等差数列在金融事务中的应用，包括存款计息和分期偿还。等比数列则可用于解释生物群落的增长模式或放射性衰减等现象。这些案例可以让学生直观感受到数列在日常生活中的应用，激发他们对数列知识的学习兴趣。

教师：同学们，大家已经了解了数列的基本概念和一些基本性质。现在，我们一起看看数列是如何在实际问题中被应用的。首先，回忆一下，数列在我们的日常生活中有哪些应用？

学生1：数列可以用来预测人口增长和股市的走势。

教师：很好，这些都是数列的典型应用。现在我出一个问题。假设大家要为一家公司设计一个储蓄计划，每个月存入固定金额的钱，银行每年给予固定比例的利息。这个问题我们能用数列来解决吗？

学生2：可以的。每个月存入的金额构成一个等差数列，每年的利息可能会构成一个等比数列。

教师：非常聪明！你已经开始用数列来思考实际问题了。那我们怎样具体计算呢？

学生3：我们可以列出一个数列来表示每月存款的总额，然后计算出每年的利息收入，最后把它们加起来。

教师：对，通过构造数列并计算可以得到最终的储蓄总额。这样的计算对财务规划非常有用。

通过这些实际问题，学生不仅加深了对数列的理解，还学会了如何将数列应用于解决现实生活中的问题。同时学生也能认识到数学是美丽的，更是实用的，它无处不在，伴随我们的每个思考过程。教师通过案例设计培养学生的数学思维，并提高其问题分析与解决技能，同时加深学生对数学文化的理解与尊重。

（四）延伸与拓展

在这个阶段，教师可以引导学生探索一些更复杂的数列问题，以提高他们解决问题的能力，并加深他们对数列知识的理解。

教师：同学们，经过前面的学习，大家已经对等差数列和等比数列有了深入的理解。现在，让我们进一步探索更有趣的数列——斐波那契数列。大家知道斐波那契数列是怎样的数列吗？

学生1：斐波那契数列中每个数字都是前两个数字的和，如1，1，2，3，5，8……

教师：没错。斐波那契数列的每项都是前两项之和，这给了我们一个递归的数列定义方式。那么，谁能告诉我，斐波那契数列有什么特殊的性质或者它在自然界中有哪些有趣的应用呢？

学生2：我听说过斐波那契数列与黄金比例有关，还有，好像在许多植物的叶子排列和花瓣的数量中可以看到斐波那契数列。

教师：非常棒的观察！斐波那契数列与黄金分割有着密切的联系，而且确实在自然界中有广泛的应用。比如，在植物的叶序和菊花的花瓣中都能发现斐波那契数列的规律。现在，让我们深入探索一下数列在数学中的应用。比如，斐波那契数列的每一项与前面所有项的和存在什么关系呢？

学生3：我不确定，我们需要找出规律。

教师：好的。大家可以这样做：首先写下前几项的和，然后寻找这些和与斐波那契数列中相应项之间的关系。

学生1：我发现了一个规律！斐波那契数列的每一项几乎都等于前面所有项之和加1。

教师：精彩！你发现了一个很重要的性质。事实上，斐波那契数列中第n项几乎等于前n-1 项和加1。这是斐波那契数列中的一个重要性质。这种性质可以帮助我们快速计算数列的部分和。现在，我们进一步延伸，尝试解决一个更具挑战性的问题。如果我们需要找到斐波那契数列中第n项是多少，而且不能一个接一个地去计算，你会怎么做？

学生2：这个问题难多了，我们能直接找到第n项的公式吗？

教师：这就是我们要探索的问题。实际上，斐波那契数列有一个闭合形式的公式，叫做Binet 公式，它可以直接计算出数列的第n项。但是，这个公式涉及平方根和黄金比例，所以计算起来比较复杂。我们不需要深入探讨这个公式的所有细节，但是了解它的存在对理解数列的深度非常重要。数列不仅可以被递归地定义，有时还可以找到直接计算任意一项的方法。希望大家能继续探索数列，发现更多的数学之美。

三、教学反思

（一）强化问题情境与生活联系

教师在教学案例中引入的问题需贴近学生实际，但有时可能缺少足够的挑战性和生活实际的紧密结合。这可能限制了学生将数列知识与现实世界联系起来的能力。因此，教师应设计更复杂、与学生日常经验直接相关的问题，结合与数学知识相关的数学文化，加深学生对数列在现实中应用的理解。

（二）促进数列深度探究与创新思考

教师引入如斐波那契数列等复杂问题以及相关的数学文化能促进学生思维能力的提升，但在激发学生的创新精神和自主研究兴趣方面仍有空间。因此，教师应指导学生以小组合作的方式探讨数列在多领域的运用，如自然科学、计算机等，以激发学生跨学科的创新思维。教师通过提出开放性问题，可激励学生主动提问并寻求答案，培养他们的探究精神和解题创新能力。