基于改进粒子群优化的超顺磁效应多参数提取

刘怀湜 赵雪娇 刘雨新 房庭瑞 张静 嵇艳鞠

劉怀湜，赵雪娇，刘雨新，等. 基于改进粒子群优化的超顺磁效应多参数提取. 吉林大学学报（地球科学版），2024，54（3）：9931002. doi：10.13278/j.cnki.jjuese.20230069.

Liu Huaishi， Zhao Xuejiao， Liu Yuxin， et al. Multi-Parameter Extraction of Superparamagnetic Effect Based on Improved Particle Swarm Optimization. Journal of Jilin University （Earth Science Edition）， 2024， 54 （3）： 9931002. doi：10.13278/j.cnki.jjuese.20230069.

摘要：

时域电磁法中的超顺磁效应一般由磁异常体或磁化层引起，并在响应中后期出现呈近似1次幂律衰减的慢扩散现象，同时也是地下磁性介质信息的重要表征。传统参数提取方法在对磁性环境的实测数据进行处理时，会由于忽略这种效应导致数据的错误解释。为了实现对含有超顺磁效应数据的准确解释，本文基于改进粒子群优化算法进行了超顺磁效应的多参数提取研究，通过引入Cole-Cole磁化率模型实现了层状超顺磁效应的数值模拟，证明了磁化率、电导率可以影响超顺磁响应的幅值与衰减斜率，并结合改进粒子速度和位置更新策略的粒子群优化算法实现了对磁化率、电导率等参数的提取。结果表明，本文的方法在对超顺磁效应多参数进行提取时最大相对误差不超过2%，验证了方法的有效性。

关键词：

超顺磁效应；数值模拟；粒子群优化；参数提取

doi：10.13278/j.cnki.jjuese.20230069

中图分类号：P631.2

文献标志码：A

收稿日期：20230327

作者简介：刘怀湜（1998—）， 男， 博士研究生， 主要从事超顺磁效应方面的研究， E-mail： liuhs20@mails.jlu.edu.cn

通信作者：嵇艳鞠（1972—），女，教授，博士生导师，主要从事时域电磁探测方法研究，E-mail： jiyj@jlu.edu.cn

基金项目：国家自然科学基金项目（42104140，42030104）；吉林省自然科学基金项目（20210101475JC，YDZJ202101ZYTS023）；吉林大学大学生创新创业训练计划项目（202110183274）

Supported by the National Natural Science Foundation of China （42104140，42030104）， the Natural Science Foundation of Jilin Province （20210101475JC，YDZJ202101ZYTS023）  and the Innovation and Entrepreneurship Training Program of Jilin University （202110183274）

Multi-Parameter Extraction of Superparamagnetic Effect Based on Improved Particle Swarm Optimization

Liu Huaishi，Zhao Xuejiao，Liu Yuxin，Fang Tingrui，Zhang Jing，Ji Yanju

College of Instrumentation and Electrical Engineering，Jilin University，Changchun 130026，China

Abstract：

Superparamagnetic （SPM） effects in  time-domain electromagnetic  method is generally caused by magnetic anomalies or magnetic layers， and cause the slow diffusion phenomenon of approximately1 power law decay in the middle and late stages of the response. Meanwhile， it is also an important representation of the underground magnetic media information. However， ignoring the SPM effects will lead to an incorrect data interpretation using  traditional parameter extraction method to process the magnetic environment data. In order to interpret the SPM response accurately， this paper proposes a multi-parameter extraction of SPM effects based on the improved particle swarm optimization （PSO） algorithm. The numerical simulation of the layered SPM effect is realized based on the Cole-Cole susceptibility model， and magnetic susceptibility and conductivity can affect the amplitude and attenuation slope of SPM responses. We improve the PSO algorithm with the particle velocity and position update strategy to realize the extraction of magnetic susceptibility， conductivity and other parameters. The results show that the maximum relative error of the proposed method is less than 2 % when extracting multiple parameters of SPM effect， which verifies the effectiveness of this method.

Key words：

superparamagnetic effect; numerical simulation; particle swarm optimization; parameter extraction

0  引言

在时域电磁法探测过程中，发射电流的平顶阶段会让地下的磁性粒子改变方向，获得磁化；在电流关断后，磁性粒子会失去磁化强度，接收系统会观测到近似-1次幂率的衰减信号，这一过程被称为超顺磁效应［12］。国内外实验结果表明，超顺磁效应不仅存在于多种岩石及矿物中［3］，在0.1～15 μm半径范围内的磁铁矿和赤铁矿颗粒中也可产生感应磁化效应［45］。因此，浅层的超顺磁效应会对深层目标体的响应造成干扰，同时，超顺磁效应也可作为铁磁性矿物的一种重要表征方式。

针对超顺磁效应的数值模拟及数据处理，国内外学者进行了大量研究。Chikazumi等［6］根据观测到的基本衰减规律，推导出了被广泛应用的Chikazumi磁化率模型。Lee［2］利用Chikazumi模型进行理论计算，验证了基于Chikazumi磁化率模型模拟出的电磁响应呈-1次幂率衰减，贴合实际观测到的情况。Kamnev等［7］通过观测磁性岩石样品，确定超顺磁响应晚期呈-1.07～-1.13幂率衰减。Antonov等［811］针对地面长导线源激发的地下均匀磁化介质与地面回线源激发的层状磁化介质的数值模拟进行了研究，分析了零频磁化率等性质对于感应磁化效应的影响。Cowan等［12］推导了地面大回线源下感应磁化效应垂直和径向分量的解析式，研究有关感应响应与磁化响应交叉时间的估计方法。Zhang等［13］研究了长导线源下的感应磁化效应，进行了层状模型下的一维以及二维数值模拟，并研究了岩、矿石样品的磁化率，验证了磁化效应对于铁磁性矿物探测的有效性。Ji等［14］基于频域有限差分方法以及频时转换方法实现了超顺磁效应的时域三维数值模拟，并对三维复杂磁化模型进行了分析。Zhao等［15］提出了磁化率Cole-Cole模型，并通过有理函数逼近方法和递归卷积方法实现了超顺磁效应的时域分数阶三维数值模拟。Macnae等［1617］提出了加权非负最小二乘拟合的超顺磁响应分离方法，可将感应响应和超顺磁响应分离后进行反演，同时结合极化响应，利用多组实测数据验证了方法的有效性并分析了超顺磁效应的重要性。而目前对于超顺磁效应参数提取的研究还没有完整准确的理论。

本文基于改进粒子群优化算法［1819］实现了超顺磁效应的多参数提取。通过引入Cole-Cole磁化率模型，实现了层状超顺磁模型的数值模拟；并在此基础上，将磁化率模型参数作为磁性物质的重要标识，结合电导率实现了超顺磁效应的多参数提取；最后结合正演数据验证了方法的准确性。

1  基于Cole-Cole磁化率模型的层状超顺磁响应模拟

为了实现超顺磁效应的模拟及分析，本文引入磁性粒子弛豫时间呈对数正态分布的Cole-Cole磁化率模型［15］。超顺磁介质的磁化率χ（ω）可用分数阶Cole-Cole磁化率模型进行表征：

χ（ω）=χSymboleB@+χ0－χSymboleB@1+iωτc1－α。（1）

式中：χSymboleB@为无穷频率下的磁化率；χ0为物质的零频磁化率；iω为复频率变量；τc为磁化率时间常数；α为分数阶模型阶数，用于控制弛豫时间分布。

在此基础上，对层状空间磁化介质产生的超顺磁响应进行计算。建立一个层状磁化模型，如图1所示，每一层都有对应的电导率σi、零频磁化率χ0i、厚度di等参数，将空气中的磁导率设置为真空磁导率μ0。在空中高度为h处设置圆形线圈Tx作为激励源，并在发射线圈中心设置接收线圈Rx进行接收。

利用频率域麦克斯韦方程推导出层状磁化介质产生的感应磁化响应公式。根据频率域波动方程，并用磁矢位A将电场强度E和磁场强度H分别表示为：

E=iωμSymbolQC@×A；H=k2A+SymbolQC@SymbolQC@·A。（2）

式中，k為波数，可写为k=μεω2－iμσω（μ为磁导率；ε为介电常数；σ为电导率）。当频率小于105 Hz时，位移电流可被忽略，此时k2=iμσω。可求出每层相应的磁矢位，并用下标i表示层位：SymbolQC@2Ai+k2iAi=0。（3）

利用汉克尔积分的正交性对式（3）进行求解，可得到地面上空z=－h（z≤0）处z方向的矢量位表达式为

Az=Iiωμ04π∫SymboleB@0e－m（z+h）+mRn－m1mRn+m1em（z－h）·J0（mr）dm。 （4）

其中，

Rn=coth{m1H1+coth－1［（m1/m2）·Rn－1］}。（5）

式中：I为发射电流；m为z=－h（z≤0）处的磁矩；mi=m2－ki2（ki为第i层的波数），为第i层的磁矩；J0为贝塞尔函数；r为位置坐标；H1为第一层的磁场强度。第i层的磁导率μi（ω）可表示为

μi（ω）=μ0（1+χi（ω））=  μ01+χSymboleB@i+χ0i－χSymboleB@i1+（iωτc）1－α。（6）

式中：χi（ω）为第i层的磁化率；χSymboleB@i为第i层的无穷频磁化率。

利用每一层的磁矢位表达式进行迭代，可以计算出空中接收点处z方向的磁场强度为

Hz=Iiωμ04π∫SymboleB@0m2e－m（z+h）+mRn－m1mRn+m1em（z－h）·J0（mr）dm。（7）

在假设感应效应相对于磁化效应可以忽略不计的情况下，对于n层超顺磁介质地面上半径为R的圆形发射线圈，接收点处的零频磁化率χ0a可近似为［20］

χ0a=

χ011+（Rh）3∑n－1i=1（χ0i+1χ01－χ0iχ01）·（Rh）2+4（zih）2－3/2。（8）

式中，zi=h+d1+d2+…+di。从而可以计算出层状模型下超顺磁效应所产生地面上空z=－h（z≤0）处z方向的磁感应强度为

Bz=

μ（ω）Iiωμ04π∫SymboleB@0m2e－m（z+h）+mRn－m1mRn+m1em（z－h）·J0（mr）dm。（9）

通过正余弦变换数值滤波算法将信号从频率域变换到时间域进行分析［2122］。

2  基于改进粒子群优化的超顺磁效应参数提取

基于改进粒子群优化算法，在前文的正演算法基础上，实现对感应磁化响应的多参数提取。结合实际感应磁化效应参数提取需求，在粒子位置和速度自适应更新策略上进行了调整，并且引用了基于Logistic混沌映射的非线性变化惯性权重，从而保证更大的粒子搜索空间［2325］，同时保证了磁化参数提取的准确性，提高了参数提取算法的性能，改善了搜索过程中出现的不成熟收敛或局部最小值等现象。

设置粒子群的空间维度为d，输入种群规模M、迭代次数K等相关参数。初始化各粒子的位置x、速度v、个体最优值pbest、种群最优值gbest。其中，第i个粒子（i=1，2，…，M）的相应参数可表示为：

xi=（xi1，xi2，…，xid）；（10）

vi=（vi1，vi2，…，vid）；（11）

pbest， i=（pi1，pi2，…，pid）；（12）

gbest， i=（gi1，gi2，…，gid）。（13）

构建目标函数，即配置改进粒子群优化算法的适应度函数Y（x）：

Y（x）=1j∑ji=1Bm（i）－Bt（i）。（14）

式中：j为时间点数；Bm为实际测量的电磁响应结果；Bt为通过正演算法计算的超顺磁响应结果。将磁化参数提取问题转化为最小值优化问题，并且适应度函数可构建为多参数函数来实现同时提取：

Ymin（χ，σ，τc，α）=1j∑ji=1Bm（i）－Bt（i）。（15）

根据当前迭代次数生成粒子群并更新惯性权重。引用基于Logistic混沌映射的非线性变化惯性权重，可有效解决粒子群优化算法在面对复杂多参数提取的问题时容易陷入局部最优解的问题。惯性权重定义如下：

w（k）=r（k）wmin+（wmax－wmin）kK。（16）

式中：wmin=0.4；wmax=0.9；r（k）为迭代生成的随机数，具体计算为

r（k+1）=4r（k）（1－r（k）），r（0）=rand。（17）

式中，r（0）≠0，0.25，0.75，1.00。

图2为惯性权重随迭代次数的变化关系，可以看到，基于Logistic混沌映射产生的惯性权重具有

良好的随机性以及空间遍历性，从而增强了粒子群优化算法的全局开发能力与局部勘探能力。

通过计算当前种群的粒子平均适应度以及每个粒子的自适应判定条件并进行比较，可更好地选择粒子的位置与速度更新策略，从而提高粒子群优化算法的全局开发能力。粒子的自适应度判定条件定义如下：

pi=eY（xi（k））－1M∑Mi=1Y（xi（k））。（18）

式中，Y（xi（k））为当前粒子的适应度。

采用个体最优解和群体最优解的线性组合对相应最优解进行替换，可以让算法在迭代过程中有更广泛的搜索范围，提高搜索最优解的概率。自适应粒子的速度与位置更新策略定义如下。

pi>δ：vid（k+1）=wvid（k）+c1r1pid+gid2－xid（k）+      c2r2pid+gid2－xid（k）；xid（k+1）=wxid（k）+（1－w）vid（k+1）。（19）

pi≤δ：vid（k+1）=wvid（k）+c1r1［pid－xid（k）］+      c2r2［gid－xid（k）］；xid（k+1）=xid（k）+vid（k+1）。（20）

式中：c1=c2=2，為学习因子；r1、r2为随机数； δ=1，为阈值参数。当pi>δ时，粒子的适应度远大于种群的粒子平均适应度，粒子较为分散，处于搜索初期，所以采用速度与位置更新式（19）；当pi≤δ时，粒子与种群粒子平均适应度相差不大，粒子较为集中，处于搜索后期，使用速度与位置更新式（20）。式（19）通过引入个体最优解和群体最优解的线性组合，增大了粒子的搜索空间，更适用于参数复杂、搜索范围广的情况；式（20）则更注重算法的局部勘探能力，可以有效防止算法陷入局部最优，从而特高了算法的收敛速度。通过多次迭代求解式（15）可以实现对超顺磁响应的多参数提取。

3  参数提取验证

3.1  磁化参数分析

设置发射线圈的半径为10 m，发射电流为300 A，将磁化层设置在第一层，厚度为60 m，设置无穷频率下的磁化率为0。其他两层的磁化率均为0，电导率σ均为0.01 S/m，发射线圈高度为30 m。分别改变磁化层零频磁化率、分数阶以及磁化层电导率，分析这三种参数对超顺磁效应的影响，结果如图3所示。

由图3a可以看出，不同的零频磁化率决定了超顺磁效应的强弱，随着零频磁化率的增大，磁化响应也逐渐增强。图3b显示了不同分数阶对晚期超顺磁效应衰减斜率的影响，可以看到，随着分数阶的增大，磁化响应出现的时间变晚，幅值变小。从图3c中可以看出：随着电导率的增大，超顺磁效应出现的时间也逐渐变晚，并在晚期趋于重合；而且，在衰减曲线早期也出现了明显的慢衰减现象，但并不符合超顺磁效应的衰减规律，说明早期的慢衰减是由电导率的增大而引起的。电导率影响出现的时间早于超顺磁效应，决定了超顺磁效应的出现时间。综上可知，通过对这三种参数的同时提取，可以有效反馈超顺磁层的所处位置及相关信息。

3.2  单一磁化参数提取

在此基础上，建立相应的理论模型，利用改进粒子群优化算法对Cole-Cole磁化率模型中的单一零频磁化率参数进行提取，从而验证方法的有效性。

将磁化层设置在第二层，层状磁化模型参數如表1所示。Cole-Cole磁化率模型的时间常数为1，选择迭代次数为200次，种群规模设置为30，这样既保证了运算的速度，也保证了计算的准确性。同时，由于是对零频磁化率做参数提取，所以我们将粒子的速度范围设置为［-0.000 1， 0.000 1］，位置范围设置为［0.01， 0.10］，以便有效加快收敛速度，提高计算速度。

对Cole-Cole磁化率模型零频磁化率进行参数提取的结果如表2所示，适应度曲线如

图4所示。经验证可知：利用改进粒子群优化算法

对Cole-Cole磁化率模型进行单一零频磁化率提取

具有较高的

精度，最大相对误差小于0.04%（表2），保证了方法的准确性；迭代50次后，各模型均会收敛（图4），方法具有较快的收敛速度，满足参数提取的基本要求。因此，可以实现对单一磁化参数的准确提取。

3.3  多个磁化参数提取

在此基础上，我们对Cole-Cole磁化率模型中的零频磁化率和分数阶同时进行提取。仍将磁化层设置在第二层，层状磁化模型参数如表3所示。

Cole-Cole磁化率模型的时间常数为1。由于多参数提取的可能性变多，并且可能存在多解性问题，为保证参数提取的准确性，我们将迭代次数扩大到

500，种群规模保持为30。以磁化层的一般特性为例，将粒子的速度范围设置为［-0.000 1， 0.000 1; -0.001 0，0.001 0］，位置范围设置为［0.01， 0.10; 0.10， 1.00］。

对Cole-Cole磁化率模型零频磁化率和分数阶同时进行提取的结果如表4所示，适应度曲线如图5所示。可以看出，采用改进粒子群优化算法对Cole-Cole磁化率模型中的零频磁化率和分数阶同时进行提取，最大相对误差小于0.6%（表4）；迭代100次后，各模型均会收敛（图5），并实现对最优解的求解，满足参数提取的基本要求。

进一步，对零频磁化率、分数阶、电导率进行同时提取，模型参数如表5所示。将粒子的速度范围设置为［-0.000 1， 0.000 1; -0.001 0， 0.001 0; -0.000 1， 0.000 1］，位置范围设置为［0.010， 0.100; 0.100， 1.000; 0.001， 0.100］。

对Cole-Cole磁化率模型零频磁化率、分数阶、电导率同时进行提取的结果如表6所示，适应度曲线如图6所示。可以看出，随着参数提取数量的增多，需要的迭代次数也随之增加，并且误差也相应增大，在对超顺磁效应进行多参数提取时，最大相对误差不超过2%（表6），并且在1 000次迭代以内，各模型均能收敛（图6）。以上研究验证了改进粒子群优化算法对磁化多参数提取的有效性。

3.4  种群规模的影响

为进一步提高改进粒子群算法的运行效率，我们分析了不同种群规模对超顺磁参数提取的影响。相应模型参数如表7所示。将粒子的速度范围设置为［-0.000 1， 0.000 1; -0.001 0， 0.001 0; -0.000 1， 0.000 1］，位置范围设置为［0.010， 0.100; 0.100， 1.000; 0.001， 0.100］。

对Cole-Cole磁化率模型不同种群规模的参数提取结果如表8所示，适应度曲线如图

7所示。可以看出，种群规模对于参数提取的结果有很大影响，

在相同的迭代次数中，随着种群规模的增大，最小适应度及相对误差逐渐减小，参数提取结果越来越准确，提取到最优值的可能性逐渐变大，

但是随之而来的是更高的运行成本。所以，对于超顺磁参数提取问题，可以先选择较小的种群规模来缩小参数提取范围，再选择更大的种群规模来进行高精度参数提取，从而在保证提取结果准确的同时，提高参数提取的效率。

4  结论

本文基于改进粒子群优化算法提出了一种针对超顺磁效应的多参数提取方法。

1）通过引入Cole-Cole磁化率模型实现了层状超顺磁效应的数值模拟，进而对不同参数对于磁化响应的影响进行分析。结果表明，零频磁化率会影响超顺磁响应的幅值，分数阶与电导率会影响慢衰减现象的出现时间。

2）建立层状磁化模型，实现了对超顺磁体的零频磁化率、分数阶、电导率的多参数同时提取，验证了方法的有效性。

3）进一步对改进粒子群优化算法种群规模的影响进行分析，通过先选择较小的种群规模来缩小参数提取范围，再选择更大的种群规模来进行高精度参数提取，可以在保证提取参数准确的同时提高计算效率。

然而，随着参数的增多，多解性以及计算时间变长的问题愈发明显，如何解决这些问题将成为后续研究的重点。

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