关于带电粒子在磁场中的运动模型剖析

张海红

【摘要】电磁问题是永恒的物理话题，人们对电磁的探索从发现电、发现磁，再到后来的发现电磁感应，逐步推进.本文聚焦带电粒子在匀强磁场中的运动模型，沿着它的足迹发现磁场中的美丽曲线.

【关键词】高中物理；带电粒子；匀强磁场

法拉第电磁感应的发现使人们第一次意识到电与磁并不是两个独立的物理学部分，从此电磁学应运而生.本文聚焦带电粒子在不同匀强磁场中的运动轨迹，带领大家感受磁场的独特魅力，理解此类题目的解决步骤［1］.

1 直线边界模型

例1 如图1所示，一匀强磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外，其边界如图中虚线所示，ab为半圆，ac、bd与直径ab共线，ac间的距离等于圆的半圆的半径.一束质量为m，电荷量为qq>0的粒子，在纸面内从c点垂直于ac射入磁场，这些粒子具有各种速率.不计粒子之间的相互作用.在磁场中运动时间最长的粒子，其运动时间为（  ）

（A）7πm6qB.   （B）5πm4qB.

（C）4πm3qB.  （D）3πm2qB.

问题分析 本题为典型的带电粒子在匀强磁场中的匀速圆周运动，其中洛仑兹力提供向心力，使得粒子在磁场中做匀速圆周运动.面对这类题目，解题主要分为三步：确定圆心、明确半径、求得时间.因粒子运动状态为匀速圆周运动，故粒子在磁场中的运动时间则与速度大小无关，而是由粒子在磁场中运动轨迹对应的圆心角决定，即t=θ2πT.根据这个思路，本题中需要找到运动轨迹所对应的最大圆心角，通常这种情况下，会使用放缩法画图寻找［2］.

解析 分析题目，本题不是简单的直线边界模型，其中根据运动状态的不同，粒子还会进入半圆边界之中，属于直线边界模型的变形题.此时可以假设以ab的一半长度为半径画圆，半径为R，采用放缩法画图，如图2.

粒子从c点垂直于ac射入磁场，故圆心必在ac直线上，可将圆的半径从零开始逐渐放大，以0.5R、1.5R为界限进行观察，当运动轨迹所在的圆周半径r≤0.5R或者r≥1.5R时，粒子会在ac、bd区域垂直射出，这是由于粒子圆周运动的对称性，粒子以多大的锐角θ射入磁场，就会以多大的锐角θ出磁场，此时磁场中粒子的运动轨迹为半圆，运动时间为半个周期；当0.5R

此时的圆心角θ可以根据∠cae求出.Oc=2R，Oe为半圆弧边界的半径R，同时可以发现△Oae为等边三角形，∠cae为△Oae其中一个角的补角，即θ=120°=23π，

说明运动的圆心角为θ=2π－23π=43π.

运动时间t=θ2πT=43π2πT=23T.

再根据T=2πmqB代入，得出最长的运动时间为t=23T=23×2πmqB=4πm3qB，

故（C）选项正确，（A）（B）（D）选项错误.

2 圆形边界模型

例2 如图3，直角坐标系xOy平面内，有一半径为R的圆形匀强磁场区域，磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向里，边界与x，y轴分别相切于a、b两点，一质量为m，电荷量为q的带电粒子从b点沿平行于x轴正方向进入磁場区域，离开磁场后做直线运动，经过x轴时速度方向与x轴正方向的夹角为60°，不计带电粒子重力，下列判断正确的是（  ）

（A）粒子带正电.

（B）粒子在磁场中运动的轨道半径为R.

（C）粒子运动的速率为3qBRm.

（D）粒子在磁场中的运动时间为πm6qB.

问题分析 粒子离开磁场时的速度方向与x轴正方向的夹角为60°，根据这个特点，可以尝试画出粒子的运动轨迹，洛伦兹力提供向心力，求半径，算速度，根据运动轨迹对应的圆心角计算时间［3］.

解析 画出粒子的运动轨迹，如图4，因为粒子进入磁场后向下偏移，所以粒子带负电，（A）选项错误；

画轨迹后延长速度方向，对顶角相等，得到速度延长线与粒子入射方向夹角为60°，根据角度的几何关系tan60°=rR，解得半径r=3R.由r=mvqB可得速率为v=3qBRm，（B）选项错误，（C）选项正确.

由图中几何间的关系可知圆心角为60°，所以运动时间t=π32πT=16T=16×2πmqB=πm3qB，故（D）选项错误.

故答案选（C）.

3 结语

带电粒子在磁场中的运动问题，解题时首先需要画轨迹，确定圆心或者半径，再利用带电粒子在磁场中受洛伦兹力，其为粒子运动提供向心力，从而根据匀速圆周运动公式和牛顿第二定律求解时间、速率等问题.在此类问题的求解中，粒子在匀强磁场中的运动时间与所对应的圆心角有关，根据圆心角占总圆周的比例，再得出在周期中的运动时间.

参考文献：

［1］张伟.巧妙构建带电粒子在电磁场中运动问题的全景思维——基于江苏省高考物理试卷压轴题的变式拓展［J］.数理化解题研究，2023（31）：102-105.

［2］杨巧及.带电粒子在匀强磁场中运动之边界磁场［J］.数理化解题研究，2023（31）：95-97.

［3］刘定粉.带电粒子在圆形或环形磁场中的运动赏析［J］.数理天地（高中版），2023（22）：2-3.