确定圆锥曲线的轨迹方程中范围的策略

李文东

摘要：文章介绍了确定圆锥曲线的轨迹方程中的范围的三个策略：根据代数式和方程的意义与范围、几何图形的特征和图形中的特殊情形.

关键词：轨迹方程；斜率；范围

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2024）11-0039-04

求曲线的轨迹方程问题是解析几何的两个基本问题（求曲线轨迹方程问题和根据方程研究曲线的性质）之一.求轨迹方程的方法很多［1］，相对比较容易掌握，本文不再探讨求轨迹方程的方法.在求轨迹方程时，同学们面对的难点是轨迹方程中的变量取值范围的确定，即轨迹方程的纯粹性，这需要我们全方面、细致地考虑问题.本文探讨此类问题的常见思考策略.

1 根据代数式、方程本身的意义或范围确定轨迹的范围

求轨迹方程时要考虑曲线本身的范围或代数式的意义（比如斜率公式的分母不能为零）.

例1已知点A（-2，0），B（2，0），动点M与A，B连线的斜率之积为-34，则点M的轨迹方程为.

解析设M（x，y），则kMA=yx+2，kMB=yx-2.

由题意kMA·kMB=y2x2-4=-34.

整理可得x24+y23=1.

为保证斜率存在，则x≠±2.

因此点M的轨迹方程为x24+y23=1（x≠±2）.

例2若P为椭圆C：x216+y27=1上的动点，点M为过点P且垂直于x轴的直线上的点，|OP||OM|=λ，求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线.

解析设M（x，y），P（x，y0），点P在椭圆C上，

故x216+y207=1.

即y20=7-716x2.

于是|OP|2=x2+y20=7+916x2 .

由|OP||OM|=λ可得7+916x2=λ2（x2+y2）.

整理，得（16λ2-9）x2+16λ2y2=112.

由于点P在椭圆C上，故x∈［-4，4］.

于是点M的轨迹方程为

（16λ2-9）x2+16λ2y2=112，x∈［-4，4］.

（1）λ=34时，化简得9y2=112.

所以点M的轨迹方程为y=±473（-4≤x≤4），轨迹是两条平行于x轴的线段.

（2）λ≠34时，方程变形为

x2112/（16λ2-9）+y2112/16λ2=1，其中x∈［-4，4］.

当0<λ<34时，点M的轨迹为中心在原点、实轴在y轴上的双曲线满足-4≤x≤4的部分.

当34<λ<1时，点M的轨迹为中心在原点、长轴在x轴上的椭圆满足-4≤x≤4的部分；

当λ≥1时，点M的轨迹为中心在原点、长轴在x轴上的椭圆.

2 根据图形中的特殊情形（特殊点、特殊位置）确定轨迹的范围

在求轨迹方程时，需要考虑几何图形中的一些特殊情形，比如三角形的三个顶点不共线、双曲线的渐近线对双曲线的影响等.

例3已知△ABC的顶点A（-3，0），B（3，0），若顶点C在抛物线y2=6x上移动，求△ABC的重心的轨迹方程.

解析设△ABC的重心G（x，y），点C（x′，y′），

则有x=-3+3+x′3，y=0+0+y′3. 即x′=3x，y′=3y.

因为点C在曲线y2=6x上，所以有（3y）2=6×3x，即y2=2x.

因为三角形的三个顶点不能共线，所以y≠0.

故△ABC的重心的軌迹方程为y2=2x（y≠0）.

点评本题是典型的相关点法求轨迹方程，题目中三点A，B，C要构成三角形，因此三个顶点不能共线，这就对轨迹方程产生范围.

例4圆x2+y2=4，A（-1，0），B（1，0），动抛物线过A，B两点，且以圆的切线为准线，则抛物线的焦点轨迹方程为.

解析根据抛物线的定义，焦点F到A和B的距离之和等于A和B分别到准线的距离和.如图1，点A和B到准线的距离分别为|AM|，|BN|，点O到准线的距离为|OP|，由梯形的中位线知|AM|+|BN|=2|OP|=2r=4.

故|FA|+|FB|=4.

所以焦点的轨迹方程C是以A和B为焦点的椭圆，轨迹方程为x24+y23=1.

上述求解用到了梯形的中位线，考虑特殊情况：当切线为x=±2时，此时M，N重合，A，B，M，N不构成梯形，显然此时焦点F（±2，0），焦点在准线上，不符合题意，故抛物线焦点的轨迹方程为x24+y23=1（y≠0）.

例5已知双曲线x22-y2=1的左、右顶点分别为A1，A2，点P（x1，y1），Q（x1，-y1）是双曲线上不同的两个动点.求直线A1P与A2Q交点的轨迹E的方程.

解法1由A1，A2为双曲线的左右顶点知，A1（-2，0），A2（2，0）.

则A1P：y=y1x1+2（x+2），

A2Q：y=-y1x1-2（x-2）.

两式相乘，得y2=-y21x21-2（x2-2）.

因为点P（x1，y1）在双曲线上，

所以x212-y21=1.

即y21x21-2=12.

所以y2=-12（x2-2）.

即x22+y2=1.

由于点P（x1，y1），Q（x1，-y1）是双曲线上不同的两个动点，当点P为左、右顶点A1，A2时，P，Q重合，此时直线A1P与A2Q交点也为左、右顶点A1，A2，不符合题意；

又双曲线x22-y2=1的渐近线为y=±22x，当点P在无限远处时，直线A1P，A2Q与渐近线平行，此时其交点为（0，±1），不符合题意；

故直线A1P与A2Q交点的轨迹E的方程为

x22+y2=1，（x≠±2，x≠0）.

解法2由A1，A2为双曲线的左右顶点知，

A1（-2，0），A2（2，0）.

则A1P：y=y1x1+2（x+2），

A2Q：y=-y1x1-2（x-2）.

联立解得交点坐标为x=2x1，y=2y1x1.

即x1=2x，y1=2yx.①

因为点P（x1，y1）在双曲线x22-y2=1上，x212-y21=1，将①代入得x22+y2=1.

下面根据求解过程确定轨迹方程的范围：

由x=2x1知x≠0，又显然x1≠±2，故x≠±2，

于是直线A1P与A2Q交点的轨迹E的方程为x22+y2=1（x≠

±2，x≠0）.

3 根据几何图形的特征确定轨迹的范围

一些轨迹问题中，由于题中几何图形的特征，轨迹往往被限制在某部分，这时需要先作出题中的几何图形，然后细致观察轨迹的大概分布情况.

例6已知椭圆x22+y2=1，求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程.

解析设弦两端点分别为M（x1，y1），N（x2，y2），线段MN的中点R（x，y），则

x21+2y21=2，x22+2y22=2，x1+x2=2x，y1+y2=2y，

①②③④

①-②，得

（x1+x2）（x1-x2）+2（y1+y2）（y1-y2）=0.

由题意知x1≠x2，则上式两端同除以x1-x2，有

x1+x2+2（y1+y2）y1-y2x1-x2=0.

将③④代入得x+2yy1-y2x1-x2=0.⑤

将y1-y2x1-x2=2代入⑤得所求轨迹方程为

x+4y=0.

显然中点在椭圆内，故所求轨迹方程为

x+4y=0（椭圆x22+y2=1内部分）.

例7求与⊙C1：x2+（y-1）2=1和⊙C2：x2+（y+1）2=4都外切的圆的圆心M的轨迹方程.

解析设动圆M的半径为r，因为⊙M与⊙C1，⊙C2都外切，所以|MC1|=r+1，|MC2|=r+2.

所以|MC2|-|MC1|=1.

所以点M的轨迹是以C2，C1为焦点的双曲线的上支，且有

a=12，c=1，b2=c2-a2=34.

所以所求的双曲线的方程为

4y2-4x23=1（y≥12）.

但是上述结果是错误的！如图2，显然轨迹应该在⊙C1和⊙C2的外面，联立x2+（y-1）2=1，x2+（y+1）2=4解得y=34.

故所求的双曲线的方程为4y2-4x23=1（y>34）.

例8已知圆F1：x2+y2+4x=0，圆F2：x2+y2-4x-12=0，一动圆与圆F1和圆F2同时内切.求动圆圆心M的轨迹方程.

错解由圆F1：x2+y2+4x=0，得

（x+2）2+y2=4.

可知F1（-2，0），其半径为2.

由圆F2：x2+y2-4x-12=0，得

（x-2）2+y2=16，

可知F2（2，0），其半径为4.

设动圆半径为r，

圆M与圆F1和圆F2同时内切，

故|MF1|=r-2，|MF1|=r-4.

于是|MF1|-|MF2|=2<|F1F2|=4.

故动圆圆心M的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线的右支，其轨迹方程为x2-y23=1（x≥1）.

上述解法是不完整的，原因是没有结合具体图形的位置考虑，需要画出图形，仔细观察求解.

解析如图3，需要分两种情形讨论：由圆F1：x2+y2+4x=0，得（x+2）2+y2=4，

可知F1（-2，0），其半径为2.

由圆F2：x2+y2-4x-12=0，得

（x-2）2+y2=16，

可知F2（2，0），其半径为4.

设动圆半径为r，

（1）当动圆M在圆F1，F2外面时：

|MF1|=r-2，|MF1|=r-4，

故|MF1|-|MF2|=2<|F1F2|=4.

所以动圆圆心M的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线的右支，其轨迹方程为x2-y23=1（x≥1）.

（2）当动圆M在圆F1，F2里面时：

|MF1|=2-r，|MF1|=4-r，

故|MF2|-|MF1|=2<|F1F2|=4.

所以动圆圆心M的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线的左支位于两圆内部的部分，其轨迹方程为x2-y23=1（-32

综上，动圆圆心M的轨迹方程为

x2-y23=1（-32

4结束语

在求解轨迹问题时，需要考虑轨迹方程的纯粹性和完备性，这可以培养学生的逻辑推理能力和思维的严密性.对于轨迹方程的纯粹性，要结合代数式、方程本身的意义或范围、图形中的特殊情形（特殊点、特殊位置）和几何图形的特征来细致考虑.

参考文献：

［1］ 許莉.求轨迹方程方法研究[J].中学教学参考，2023（17）：13-16，34.

［责任编辑：李璟］