一道解析几何试题的深入探究

摘要：文章对一道解析几何试题进行深入探究，将题目的问题推广至一般情形，并将性质类比到双曲线与抛物线，得到几个优美的结论.

关键词：斜率和；斜率积；定值定点；推广

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2024）11-0016-04

圆锥曲线中的定值定点问题是高考或各类模考的热点问题之一，这类问题能够在考查圆锥曲线基础知识的同时，又能很好地考查学生的运算求解、推理论证等数学能力，以及对分类讨论、转化与化归等数学思想的理解水平.

下面以一道试题为例，深入探讨一类与斜率和（积）有关的定值定点问题.

1 试题的呈现与解答

题目已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的右焦点到上顶点的距离为2，离心率为32.

（1）求椭圆C的方程；

（2）若P为椭圆C的左顶点，A，B为椭圆C上的两点，设直线PA，PB的斜率分别为kPA，kPB，且满足kPA+kPB+kPAkPB=1.求证：直线AB过定点.

解析（1）椭圆C的方程为x24+y2=1.

（2）由（1）可得P（-2，0），设直线AB的方程为m（x+2）+ny=1.

由x24+y2=1，变形得（x+2-2）24+y2=1.

整理，得4y2+（x+2）2-4（x+2）=0.

联立直线AB，齐次化，得

4y2+（x+2）2-4（x+2）［m（x+2）+ny］=0.

化简，得

4y2-4n（x+2）y+（1-4m）（x+2）2=0.

两边同除（x+2）2，得

4（yx+2）2-4n（yx+2）+（1-4m）=0.

于是kPA+kPB=n，kPAkPB=1-4m4.

代入kPA+kPB+kPAkPB=1，得

n+1-4m4=1.

即-43m+43n=1.

令x+2=-43，y=43， 解得x=-103，y=43.

所以直线AB过定点（-103，43）.

评注齐次化法在解决两直线斜率之和（积）相关的定值定点问题中运算量较少，常能达到化繁为简的效果[1].

2 问题的提出

结合试题，思考：

问題1在问题（2）中，如果P是椭圆C：x24+y2=1的任意一点，则直线AB是否过定点？

问题2在问题（2）中，如果把椭圆C一般化，则直线AB是否过定点？

问题3在问题（2）中，如果把椭圆C改为双曲线或抛物线，则直线AB是否过定点？

问题4在问题（2）中，如果直线AB过定点，那么直线PA，PB的斜率和与斜率积有什么关系？

3 结论推广

通过探究，可得如下结论：

结论1过曲线C：Ax2+By2=1（AB≠0）上一点P（x0，y0）作斜率为k1，k2的两条直线分别交曲线C于M，N两点.当As+Br≠0时，sk1k2+t（k1+k2）+r=0的充要条件是直线MN过定点（（Br-As）x0+2Bty0As+Br，2Atx0+（As-Br）y0As+Br）.

证明设直线MN的方程为

m（x-x0）+n（y-y0）=1，

由Ax2+By2=1，变形，得

A（x-x0+x0）2+B（y-y0+y0）2=1.

整理，得A（x-x0）2+B（y-y0）2+2Ax0（x-x0）+2By0（y-y0）=0.

联立直线MN，齐次化，得

A（x-x0）2+B（y-y0）2+［2Ax0（x-x0）+2By0（y-y0）］×［m（x-x0）+n（y-y0）］=0.

化简，得

（B+2Bny0）（y-y0）2+2（Anx0+Bmy0）（x-x0）（y-y0）+（A+2Amx0）（x-x0）2=0.

两边同除（x-x0）2，得

（B+2Bny0）（y-y0x-x0）2+2（Anx0+Bmy0）·（y-y0x-x0）+（A+2Amx0）=0.

于是k1+k2=-2（Anx0+Bmy0）B+2Bny0，

k1k2=A+2Amx0B+2Bny0.

（1）当sk1k2+t（k1+k2）+r=0时，可得

s×A+2Amx0B+2Bny0+t×-2（Anx0+Bmy0）B+2Bny0+r=0.

整理，得

m（2Bty0-2Asx0）+n（2Atx0-2Bry0）=As+Br.

（ⅰ）若As+Br≠0，则

m（2Bty0-2Asx0As+Br）+n（2Atx0-2Bry0As+Br）=1.

令x-x0=2Bty0-2Asx0As+Br，y-y0=2Atx0-2Bry0As+Br，

解得x=（Br-As）x0+2Bty0As+Br，y=2Atx0+（As-Br）y0As+Br.

所以直线MN过定点

（（Br-As）x0+2Bty0As+Br，2Atx0+（As-Br）y0As+Br）.

（ⅱ） 当As+Br=0，则

m（2Bty0-2Asx0）+n（2Atx0-2Bry0）=0.

①若2Bty0-2Asx0≠0，即Bty0-Asx0≠0时，则直线MN的斜率k=-mn=Atx0-Bry0Bty0-Asx0.

②若2Bty0-2Asx0=0，即Bty0-Asx0=0时，则n（2Atx0-2Bry0）=0，得n=0，此时直线MN的方程为m（x-x0）=1，所以直线MN的倾斜角为π2.

（2）当As+Br≠0时，若直线MN过定点（（Br-As）x0+2Bty0As+Br，2Atx0+（As-Br）y0As+Br），代入直线MN的方程m（x-x0）+n（y-y0）=1，得

m［（Br-As）x0+2Bty0As+Br-x0］+n［2Atx0+（As-Br）y0As+Br-y0］=1，化简整理，得

s×A+2Amx0B+2Bny0+t×-2（Anx0+Bmy0）B+2Bny0+r=0.

所以sk1k2+t（k1+k2）+r=0.

综合（1）（2），结论1得证.

在结论1中，取A=1a2，B=1b2（或B=-1b2）.当t=0，且s≠0，r≠0时，则k1k2=-rs.令-rs=λ，即k1k2=λ；当s=0，且t≠0，r≠0时，则k1+k2=-rt，令-rt=μ，即k1+k2=μ，则可得两个常见的推论：

推论1[2]过椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）上的定点P（x0，y0）作斜率为k1，k2的两条直线分别与椭圆C交于M，N两点.

（1）当λ≠b2a2时，k1k2=λ的充要条件是直线MN过定点（（a2λ+b2）x0a2λ-b2，-（a2λ+b2）y0a2λ-b2）.

（2）当μ≠0时，k1+k2=μ的充要条件是直线MN过定点（x0-2y0μ，-y0-2b2x0μa2）.

推论2过双曲线C：x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）上的定点P（x0，y0）作斜率为k1，k2的两条直线分别与双曲线C交于M，N两点.

（1）当λ≠-b2a2时，k1k2=λ的充要条件是直线MN过定点（（a2λ-b2）x0a2λ+b2，-（a2λ-b2）y0a2λ+b2）.

（2）当μ≠0时，k1+k2=μ的充要条件是直线MN过定点（x0-2y0μ，-y0+2b2x0μa2）.

评注在结论1中，取A=14，B=1，P（-2，0），s=1，t=1，r=-1，则直线MN过定点（-103，43），这正是原题的情形了.

4 类比性质

双曲线、抛物线与椭圆都是圆锥曲线，很多时侯三者之间有可类比的性质，这体现了圆锥曲线性质的内在统一的和谐美.那么抛物线是不是也有类似于结论1的性质呢？经探究，得到如下结论：

结论2过抛物线C：y2=2px（p>0）上一点P（x0，y0）作斜率为k1，k2的两条直线分别交抛物线C于M，N两点.当r≠0时，sk1k2+t（k1+k2）+r=0的充要条件是直线MN过定点（rx0+2ps+2ty0r，-2pt-ry0r）.

证明设直线MN的方程为

m（x-x0）+n（y-y0）=1.

由y2=2px，变形，得

（y-y0+y0）2=2p（x-x0+x0）.

则（y-y0）2+2y0（y-y0）+y20=2p（x-x0）+2px0.

即（y-y0）2+2y0（y-y0）-2p（x-x0）=0.

联立直线MN，齐次化，得

（y-y0）2+2y0（y-y0）·［m（x-x0）+n（y-y0）］-2p（x-x0）·［m（x-x0）+n（y-y0）］=0.

化简，得（1+2ny0）（y-y0）2+（2my0-2pn）（x-x0）（y-y0）-2pm（x-x0）2=0.

两边同除（x-x0）2，得（1+2ny0）（y-y0x-x0）2+（2my0-2pn）（y-y0x-x0）-2pm=0.

于是k1+k2=2pn-2my01+2ny0，k1k2=-2pm1+2ny0.

（1）当sk1k2+t（k1+k2）+r=0时，得

s×-2pm1+2ny0+t×2pn-2my01+2ny0+r=0.

整理，得（2ps+2ty0）m+（-2pt-2ry0）n=r.

（ⅰ）若r≠0，则

（2ps+2ty0r）m+（-2pt-2ry0r）n=1.

令x-x0=2ps+2ty0r，y-y0=-2pt-2ry0r，

解得x=rx0+2ps+2ty0r，y=-2pt-ry0r.

所以直线MN过定点（rx0+2ps+2ty0r，-2pt-ry0r）.

（ⅱ）当r=0，由（2ps+2ty0）m+（-2pt-2ry0）n=r，得m（2ps+2ty0）+n（-2pt）=0.

①若2ps+2ty0≠0，即ps+ty0≠0时，则直线MN的斜率k=-mn=-ptps+ty0.

②若2ps+2ty0=0，即ps+ty0=0时，则-2ptn=0，得n=0，此时直线MN的方程为m（x-x0）=1，所以直线MN的倾斜角为π2.

（2）当r≠0时，若直线MN过定点（rx0+2ps+2ty0r，-2pt-ry0r），代入直线MN的方程为m（x-x0）+n（y-y0）=1，得m（rx0+2ps+2ty0r-x0）+n（-2pt-ry0r-y0）=1.化简整理，得

s×-2pm1+2ny0+t×2pn-2my01+2ny0+r=0.

所以sk1k2+t（k1+k2）+r=0.

综合（1）（2），结论2得证.

在结论2中，当t=0，且s≠0，r≠0时，则k1k2=-rs.令-rs=λ，即k1k2=λ；當s=0，且t≠0，r≠0时，则k1+k2=-rt.令-rt=μ，即k1+k2=μ.则可得抛物线中一个常见的推论：

推论3过抛物线C：y2=2px（p>0）上的定点P（x0，y0）作斜率为k1，k2的两条直线分别与抛物线C交于M，N两点.

（1）当λ≠0时，k1k2=λ的充要条件是直线MN过定点（x0-2pλ，-y0）.

（2）当μ≠0时，k1+k2=μ的充要条件是直线MN过定点（x0-2y0μ，-y0+2pμ）.

5 结束语

高中数学新课程理念之一是倡导积极主动、勇于探索的学习方式.教师可根据学生实际，通过对题目的拓展、引申、变式探究，让学生体验数学的发现和创造历程，引导他们勇于发现问题、提出问题、解决问题，进而让学生在分析、类比、猜想、证明过程中养成对数学结论背后逻辑关系的分析与思考习惯，促进学生的发展，提高学生的综合能力，从而提升学生的数学核心素养.

参考文献：

[1]林国红.齐次化法巧解一类圆锥曲线问题[J].教学考试，2019（20）：56-59.

[2] 林国红.对一道2019年竞赛题的深入探究[J].中学教研（数学），2019（12）：41-46.

［责任编辑：李璟］