数山探路悟法理学海驾舟求真知

吴景峰

1新题呈现

2023年高中数学命题比赛中，笔者受华南师范大学吴康教授将2022年新高考Ⅰ卷第22题拓展到四个交点情形的启发，通过对高考原题进行改编，命制了如下一道导数压轴题.

已知函数f（x）=axex－b和函数＿＿＿＿有相同的最大值.请在以下的函数①g（x）=axlnx－b，②g（x）=lnxax－b，③g（x）=lnx+ax－b中，恰当地选择其中一个函数，把相应序号填写到横线中，并完成下列问题.（注意：只填写一个序号.）

（1）求a;

（2）证明：存在实数b，使函数y=f（x），y=g（x）共有4个不同的零点，由小到大排序分别记为x1，x2，x3，x4，则x1+x4>2x2x3.

本题的题源是2022年新高考Ⅰ卷第22题，主要涉及利用导数研究函数性质的综合性应用、函数与方程、基本不等式等知识，研究了函数的最值、零点等问题，考查了数形结合、分类与整合、转化与化归等数学思想及逻辑推理、数学运算等核心素养.

2命制过程

2022年新高考导数压轴题颇有新意，以零点构成等差数列的新颖方式设问，考查创新思维.笔者发现类似的试题不常见，于是在此基础上对指数函数及对数函数的常见组合函数作进一步探究，改编出此题及一些变式训练题.

命制过程主要是发掘出题源中的同构关系，从而类比联想到其他的常见函数，包括“和、差、商、积”型函数，如①f（x）=ex±x与g（x）=x±lnx，②f（x）=exx与g（x）=xlnx，③f（x）=xex与g（x）=lnxx，④f（x）=xex与g（x）=xlnx.

疑问：同样具备同构关系的函数是否也有类似性质？于是在探究的过程中确定了命题方向，同时总结了改编命制试题的三个步骤，本次命题即按如下三步进行.

2.1类比推广，初步改编

对题源的结论进行推广后，再通过类比，改变条件得到新结论，从而对题源进行改编.由此命制的第一稿试题如下：

已知函数f（x）=axex和g（x）=lnxax有相同的最大值.（1）求a;（2）证明：存在实数b，使直线y=b与两条曲线y=f（x）和y=g（x）共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等比数列.

说明：最初的改编稿，类比原题，对于接触过原题的学生没有太大新意，于是作进一步改编.

2.2探究加工，深度改编

在初步改编的基础上，对试题作进一步探究，深挖出试题的本质，深度加工试题的条件和结论.由此命制的第二稿试题如下：

已知函数f（x）=axex－b和g（x）=lnxax－b有相同的最大值.（1）求a;（2）证明：存在实数b，使函数y=f（x）有2个零点，记为x1，x2且x1

说明：把题目作更深一步拓展，但结论不够优美简洁，于是作进一步优化.

第三稿试题如下：

已知函数f（x）=axex－b和g（x）=lnxax－b有相同的最大值.（1）求a;（2）证明：存在实数b，使函数y=f（x），y=g（x）共有4个不同的零点，由小到大排序分别记为x1，x2，x3，x4，则x1x4=x2x3.

说明：题目基本定稿，下一步是拓展试题的宽度，尝试加入一些新元素.

2.3构建情境，创新改编

高考数学情境包括多种情境，如学习再现情境、学习关联情境、综合联想情境、拓展迁移情境及模型识别情境等[1]，在命题时，可以构建适当的情境，把问题嵌入其中.本文的最终稿试题即在此启发下命制出来.

说明：在第三稿试题的基础上，以“结构不良试题”形式引进其他常见函数，构建模型识别情境，并对结论作进一步改编，得到前文的最终试题.

3试题分析与解答

3.1第（1）问的分析与解答

通过分析，第（1）问的思维导图如图1.

本题第（1）问的解答过程如下：

横线填②.f（x）定义域为R，f′（x）=a（1－x）ex.若a≤0，则在（－∞，1）上f′（x）<0，在（1，+∞）上f′（x）>0，所以f（x）有最小值无最大值，故a>0.可知，当x∈（－∞，1）时f′（x）>0，函数f（x）单调递增;当x∈（1，+∞）时f′（x）<0，f（x）单调递减.故f（x）的最大值为ae－b.

g（x）定义域为（0，+∞），g′（x）=1－lnxax2.当x∈（0，e）时g′（x）>0，g（x）在（0，e）上单调递增;当x∈（e，+∞）时g′（x）<0，g（x）在（e，+∞）上单调递减.故g（x）最大值为1ae－b.所以ae－b=1ae－b，解得a=1.

点评：此问知识点源于人教A版数学新教材选择性必修第二册第五章5.3节，解法较常规.

3.2第（2）问的分析与解答

第（2）问，先结合方程与根的知识，如图2分析零点个数问题；再联想基本不等式将问题进行转化，

即证明x1x4=x2x3，可得如图3所示的思维导图.

由上分析，本题第（2）问有三种证明方法，解答过程可扫码查看.

4试题测试数据与分析

本题用在高三的周测进行测试，该校生源属中等水平.试题满分12分，该测试题平均分1.44，难度系数0.12，区分度0.1，由于周测套题的难度较大，能做到本题的学生较少.学生出现的问题主要有：①运算基础不扎实，如第（1）问带参求导出错、忽略定义域的限制等.②解题不够严谨.如第（2）问的四个零点，只考虑了其中一种而忽略了另一种；又如直接写出a=1，没有过程.③转化能力不強，没把零点问题转化出来，导致找不到解题方向.因此，暴露了学生思维和运算等方面存在的问题.

5反馈练习

由于得分情况并不理想，因此在反馈练习中，可给学生搭建支架，让学生“跳一跳，够着桃”.

练习1（山东省淮坊市2023届高三10月模拟试题第11题改编）已知函数f（x）=ex+x－2和g（x）=lnx+x－2的零点分别为x1，x2.

（1）证明：x1+x2=2;

（2）证明：x1lnx2+x2lnx1<0;

（3）证明：x1x2

（4）证明：x2lnx2－x1lnx1<2.

练习2（深圳部分学校2023届高三年级9月份大联考数学第22题）已知a>0，函数f（x）=xex－a，g（x）=xlnx－a.

（1）证明：函数f（x），g（x）都恰有一个零点;

（2）设函数f（x）的零点为x1，g（x）的零点为x2，证明x1x2=a.

练习3已知函数f（x）=ex－a（x－2）2，a>0，f′（x）为f（x）的导函数.

（1）讨论f（x）的单调性，设f′（x）的最小值为m，并求证：m≤e2;

（2）若f（x）有三個零点，求a的取值范围.

说明：三道习题层层递进，适合学后反馈练习.

6试题的变式推广

在学生学有余力的情况下，教师可引导学生对其他常见函数作进一步探究，从而把本试题进一步变式推广，得到如下结论.

结论1函数f（x）=ex+x－b和g（x）=lnx+x-b

有：（1）二者具有同构关系f（lnx）=g（x），g（ex）=f（x）;（2）函数y=f（x），y=g（x）共有两个不同的零点，记为x1，x2，且x1+x2=b.

结论2函数f（x）=[SX（]ex[]x[SX）]-b和g（x）=[SX（]x[]lnx[SX）]-b有：（1）符合结论1的同构关系，且二者右支有相同的最小值;（2）若函数y=f（x），y=g（x）共有三个不同的零点，由小到大记为x1，x2，x3，则x22=x1x3;（3）若函数y=f（x），y=g（x）共有四个不同的零点，由小到大记为x1，x2，x3，x4，则x1x4=x2x3.

结论3函数f（x）=xex-b和g（x）=xlnx-b有：（1）符合结论1的同构关系，且二者有相同的最小值;（2）若函数y=f（x），y=g（x）共有两个不同零点，记为x1，x2，则x1x2=b;（3）若函数y=f（x），y=g（x）共有四个不同零点，由小到大记为x1，x2，x3，x4，则x1x3=x2x4=b.

说明：这些素材，可结合前文中改编命制试题的三步骤，命制新的试题，也可给学生探究.

7结束语

我国著名数学家华罗庚先生曾说：“出题比做题更难，题目要出得妙，出得好，要测得出水平.”命题是一次由内而外的工作，是一个将解题引向深人的研究过程.本次命题比赛，除了享受过程，笔者体验了一回“确定考查目标、选择恰当背景、构造试题雏形、打磨形成试题”的过程[2]，更重要的是发现自身不足.今后，笔者将以命制出富有创新、让师生津津乐道的新题为目标不断学习，继续努力.

参考文献：

[1]柯跃海.高考数学试题情境的创设实践[J].中国考试，2020（6）：1-9.

[2]李志敏.如何设置恰当背景编造数学新题[J].数学通讯，2020（10）：54-56，60.