专题教学中解题回顾的实践探索

傅鹏

摘要：专题教学是一种以主题为中心、以问题为导向的教学方法，其目的是通过对某一主题的全面深入学习，提高学生的学习兴趣和学习效果.在专题教学中，解题回顾是一个重要的环节，它有助于学生巩固所学知识、发现并纠正错误、加深对解题思路和方法的理解.本文以八年级几何教学为例，探索专题教学中解题回顾的实践方法和效果.

关键词：专题教学；解题回顾；实践探索；几何教学

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2024）11-0011-03

专题教学是一种针对特定主题进行深入学习的教学方法，与传统的零散知识点教学相比，它能够帮助学生建立知识的整体框架，提高学生的学习兴趣和主动参与度[1].目前，很多教师认为专题教学就是让学生多练习题、多接触不同的题型，因此现有的专题教学主要以题海战术为主.但在这种模式下，学生只能机械化解题，“见树木而不见森林”，不利于学生解题能力的提升.

1 解题回顾的含义

波利亚在他的著作《怎样解题》中将解题过程分为四个阶段：理解问题意思、拟订方案、执行方案和回顾.其中回顾意为检查完整的答案，重新审查结果及得出该结果的过程.解题回顾是解题过程中的重要环节，它是解题活动中的“元认知”.通过解题回顾，不仅可以发现解题活动中的问题，还可以弄清数学问题的深层结构和数学思想方法.解题回顾的目的是帮助学生深入理解解题过程，发现解题中的错误和不足之处，并从中获取反馈和改进的机会.通过回顾，学生可以审查自己的解题思路和方法是否正确，是否符合问题的要求，是否运用了适当的数学知识和技巧.解题回顾是培养学生批判性思维和自主学习能力的重要环节.通过反思和总结，学生可以不断提高自己的解题能力和数学思维水平.

在几何模块，按照图形的结构特征，可以分为不同的几何模型.学生在平时的解题过程中，主要存在着以下几个问题：一是无法精准识别几何模型，即混淆不同的图形，无法正确识别和分类不同的几何模型；二是对模型的基本结论不够熟悉，即缺乏对几何模型基本结论的了解；三是对模型的处理方法不熟悉，即学生不知道如何构造和操作几何图形，对不同几何模型的处理方法不熟悉；四是对特定模型的解题方法只知其然而不知其所以然，即学生只知道特定模型的解题方法，但缺乏对其背后原理和推理过程的理解.

2 教学实践

2.1 一题多变，融会贯通

一题多变中的“变”，意为“变式”，是指在某一特定的数学定理、模型或规律的基础上，通过改变条件、参数或数学情境，衍生出多个新的题目或问题形式.无论题目如何变化，都需要去掉题目的表面修饰，紧抓本质.通过一题多变的方式，可以深入挖掘知识的内涵和外延，帮助学生理解和掌握知识.

例1如图1所示，∠DAE的两边上各有一点B、C，连接BC，求证：∠DBC+∠ECB=180°+∠A.

解析因为∠DBC和∠ECB是△ABC的外角，所以∠DBC=∠A+∠ACB，∠ECB=∠A+∠ABC.又因为∠A+∠ACB+∠ACB=180°，所以∠DBC+∠ECB=∠A+∠ACB+∠A+∠ABC=180°+∠A.

点评本题主要考查三角形外角的性质，熟知三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，以及三角形内角和等于180°是解题的关键.

变式1如图2所示，△ABC中，∠A=65°，直线DE交AB于点D，交AC于点E，则∠BDE+∠CED=（）

A. 180°B.215° C. 235°D. 245°

解析因为∠A=65°，所以∠ADE+∠AED=180°-65°=115°，所以∠BDE+∠CED=360°-115°=245°，故答案为D.

点评本题主要考查三角形的内角和定理，与图1相比，图2略微复杂，但考查的知识点不变.

变式2如图3所示，在△ABC中，∠C=70°，沿图中虚线截去∠C，则∠1+∠2=（）

A. 360° B. 250°C. 180° D. 140°

解析在△ABC中，因为∠C=70°，所以∠A+∠B=180°-∠C =110°，所以∠1+∠2=360°-110°=250°，故选B.

点评本题由三角形的内角和定理延伸到多边形的内角和定理.一方面，可利用三角形内角和定理求出∠A+∠B=110°；另一方面，可考虑利用四边形的内角和为360°求解.与变式1相比，本题难度更进一步.

变式3图4是某建筑工地上的人字架，若∠1=120°，那么∠3-∠2的度数为.

解析如图4，因为∠1+∠4=180°，∠1=120°，所以∠4=60°.因为∠3=∠2+∠4，所以∠3-∠2=∠4=60°.

点评本题结合实际生活情境，主要考查三角形外角的性质、平角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识.

变式4如图5所示，在△ABC中，∠B=58°，三角形两外角的角平分线交于点E，则∠AEC=．

解析利用三角形内角和定理及角平分线的性质易得∠AEC=60°，求解过程从略.

在数学教学中，引导学生通过探索问题的变式，可以帮助学生更深入地理解数学概念和原理.例如，通过将问题的条件稍作修改，或者将问题中的一些数值进行调整，可以引导学生思考问题的本质和关键点.这种探索过程不仅可以帮助学生理解数学概念的內涵，还可以培养学生问题解决能力和创新思维.另外，数学中存在许多关联性知识，通过探索这些相关问题，也可以帮助学生加深对数学知识的理解.

2.2 一题多解，开阔思路

一题多解是指在解决一个问题时，存在多种不同的解决方法或策略.在数学的专题教学中，一题多解可以帮助学生从不同的角度去思考和解决问题，拓宽他们的思维方式和解题思路.不同的解法可以启发学生发现问题的多个解决路径，激发他们的创造力和想象力.通过比较多个解法，学生可以更深入地理解问题的本质和要求.

例2如图6所示，四边形ABCD是正方形，点M是AD边上不同于A、D的点，点N是CD的中点.若sin∠ABM=1010，求证：∠NMB=∠MBC.

证法1（构造三角形）如图7，MN的延长线交BC的延长线于点P.设AM=1，因为sin∠ABM=1010，所以AMBM=1010，则BM=10，所以AB=BM2-AM2=3.因为四边形ABCD是正方形，所以DM=AD-AM=2.因为N为DC的中点，所以DN=CN=12DC=32.在Rt△DMN中，MN=MD2+DN2=52.又因为∠MDN=∠NCP=90°，∠MND=∠PNC，所以△MDN≌△ECN，所以CP=DM=2，NP=MN=52，所以MP=MN+NP=5，BP=BC+CP=5，所以MP=BP，所以∠NMB=∠MBC.

證法2（构造梯形）如图8，作NQ∥MB交BC于点Q.证明过程从略.

证法3（转移角构造全等三角形）如图9，作BH⊥MN于点H，连结BN.证明过程从略.

证法4（转移角构造相似三角形）如图10，连结BN，作EN⊥MB于点E.证明过程从略.

证法5示意图证法5（作中位线转移角）如图11，作NF∥BC交MB于点F.证明过程从略.

在初中数学解题教学中，不要盲目追求解题数量，而应该注重解题质量.通过深入思考和精心解答一个问题，可以更好地掌握基础知识和基本技能，提高学生的解题能力和思维深度.不同的解法，涉及不同的数学知识和思想方法.通过比较不同的解法，学生可以更深入地理解数学概念和原理，培养知识系统性和关联性.这种比较和分析不同解法的过程有助于学生形成更全面的数学思维，同时提高学生的解题技巧.在深入解答一个问题的过程中，我们会发现其中的一些规律和特点，这有助于学生在解决类似问题时能够更快地找到突破口和解题思路.在“一题多解”过程中，学生会不断地重复和运用相关的数学知识，加深对知识点的记忆和理解，从而为更深层次的数学学习打下坚实的基础.

3 结束语

在初中数学解题教学中，通过解题后的“回顾与反思”，可以将问题从具体的情境中抽象出来，进一步推广引申.在推广引申过程中，还可以发现不同数学问题之间的相似关系和相联关系.通过比较不同问题的解题方法和思路，可以发现它们之间的共同之处，进而找到更一般性的解题方法或解题规律.

参考文献：

［1］ 许彬.源点 节点 生长点：指向解题能力的专题复习课教学探析[J].中学数学教学参考，2023（2）：58-61.

［责任编辑：李璟］