神奇的数字“黑洞”

华腾飞

大家都知道，在浩瀚无边、茫茫无际的 宇宙之中，存在着一种极为神秘的天体，人 们称之为“黑洞”.由于“黑洞”这种物体的密 度非常大，引力特别强，任何物体一旦经过 它的附近，都会无一例外地被它“吸引”进 去，再也不能逃逸出来，就连光线也难逃被 “吸引”进去的厄运，“黑洞”的名称便由此而 来.无独有偶，在看似平淡无奇的数学王国中 也存在着这种神秘的“黑洞”.这些“黑洞”也 有很大的魔力，能将很多数字“吸”进去，使 它们再也找不到出路.

20世纪上叶，希绪弗斯“黑洞”（即123 数字“黑洞”）首先被提出来.后来，随着人们 对这个问题研究与探讨的深入，又发现了数 学中更多有趣的“黑洞”.对于数学中的“黑 洞”，无论是什么样的数值，在规定的运算法 则下，最终都将会得到一个确定不变的值， 此后再也跳不出去了.

下面就谈谈几种常见的数字“黑洞”，感 受数学知识的神奇与美妙吧！

三位数的“黑洞”

请你任意写出一个三位数（三个数位上 的数字不完全相同），分别将这个三位数上的三个数字按从大到小和从小到大的顺序 进行排列，重新组成两个不同的三位数.然后 对得到的这两个三位数求差，得到一个新的 三位数（注意，如果得到是两位数，则百位上 数字视为0）.我们将新得到的这个三位数再 进行上述操作，会得到另一个三位数.这样不 停地重复做下去，你就会有一个神奇的发现.

下面我们一起来看一看，究竟能发现什么秘密！

例如，任选一个三位数323.将它每个数 位上的数字按从大到小的顺序排列，得到一 个新的三位数为332；再将三个数字按从小 到大的顺序排列，这样又得到一个三位数233.得到的这两个三位数之差为332-233= 099（注意，0也应作为一个数字按序排列）. 按照上述方法重复操作，则有：990-099=891，981-189=792，972-279=693，963-369=594，954-459=495，954-459=495……

这种不断地重复同一操作的过程，在计 算机应用技术上被称为“迭代”.非常有趣的 是，对于任何一个各位上数字不完全相同的 三位数，经过上述的有限次迭代之后，最终 都会陷入495这个“黑洞”之中而不能自拔. 你还在怀疑吗？那就请你再随机取几个三位 数试试吧！

四位数的“黑洞”

相信大家兴趣盎然地试了几个三位数之 后，肯定会提出这样的疑问：对于任意一个数 字不完全相同的四位数，是不是也会出现相 似的情况呢？对于这个问题，回答是肯定的

希绪弗斯“黑洞”的发现，激发了数学家 们对该领域的浓厚兴趣和探究激情.1955年， 卡普耶尔发现了著名的6174这个四位数 “黑洞”，即把一个四位数的四个数字分别按 照从大到小和从小到大的顺序排列，得到两 个四位数.将这两个四位数相减，得到一个 新的四位数.然后以这个新的四位数为基础 重复上述操作，这样不断地重复上述步骤，最 后都会跌入6174这个“黑洞”之中.

下面我们选一个四位数验证一下.如对于9365，有：9653-3569=6084，8640-0468=8 172，8 721-1 278=7 443，7 443-3 447=3 996，9 963-3 699=6 264，6 642-2 466=4 176，7 641-1 467=6 174，7 641-1 467=6 174….

大家不妨再任选几个满足要求的四位 数试一试.你会发现，它们都将无一例外 地跌入6174这个“黑洞”之中.

多位数的“黑洞”

数学中的123原本就跟英语中的ABC 一样平淡无奇.但是如果按照以下规则进行 运算，你就会发现其实它并不简单.任意取一 个数字串，长度不限.依次写出该数字串中的 偶数个数、奇数个数以及总的数字个数，再 将这三组数从左到右写成一个新数.重复以 上步骤，看看最后会得出什么结果.

任意写一个多位数，比如2 365 047 815 493.

数一数这个数中各数位上的数字有几个偶 数、几个奇数及该数是几位数.把这三个数字 依次写出来则又组成了一个新数，如上述数 中有6个偶数、7个奇数，是个13位数，因 此按上述要求组成的数为6713.继续写下去有：6713→134→123→….最终会跌入123 这个“黑洞”之中，再也出不来了.

是否每一个数最后都会跌入123这个 “黑洞”之中呢？下面我们再看一例.对于数 35926，数出这个数中各数位上的数字的偶 数个数、奇数个数及总的数字个数，可得到 235.对235重复上述程序，就得到123.再重复进行，仍得123.再如，对于数88883337777444992222，它有11个偶数、9个奇数， 是一个20位数，则按上述要求组成的数为 11920.对11920这个数重复上述操作，有11 920→235→123

为什么会出现上述的现象呢？这其中又 有什么奥秘？下面我们一起来分析一下

按上述规定的方法组成的新数，最终必 然会形成一个新的三位数，而这个数的3个 数字的奇偶性必是下述的8种情形之一： 偶、偶、偶；偶、偶、奇；奇、偶、奇；偶、奇、偶； 偶、奇、奇；奇、奇、奇；奇、奇、偶；奇、偶、偶.与 上述情形相应的可组成：303，213，123，213，123，033，123，213.其中有3种情形已形成了 123，其余的5种情形再经过一次变化也可 组成123.

平方数中的“黑洞”

对于某些自然数n，求出n的各个数位 上的数字的平方和n1，再求出n的各个数位上的数字的平方和n2……如此继续下去，最 后会陷入1这个“黑洞”之中，难以自拔.

例如，对于1995，每个数位上数字的平 方和为12+92+92+52=188；再对188各数位上

的数字求平方和，为12+82+82=129；然后有12+22+92=86，82+62=100，12=1.经过五次求各位数 字的平方和的运算之后，就跌入了1这个“黑 洞”之中.

再如，对于87564，有：87564→190→82→68→100→1.经过五次求各位数字的平 方和的运算之后，也跌入1这个“黑洞”之中， 再也出不来了.

如果你不信的话，请再自选数字试试看.

立方数中的“黑洞”

不久之后，又有学者提出了神奇的153 数字“黑洞”，并给其取了个美妙的名字——水仙花数“黑洞”.任意找一个3的倍数（不为0），先把这个数的每一个数位上的数字都取 立方，再相加，得到一个新数.然后把这个新 数的每一个数位上的数字再取立方、求 和……就这样反复运算下去，就会跌入153这个“黑洞”之中，难以自拔.

例如，63是3的倍数，按上面的运算规定计算如下：63+33=216+27=243→23+43+33=8+64+27=99→93+93=729+729=1 458→13+43+53+83=1+64+125+512=702→73+03+23=351→33+53+13=153→13+53+33=153

再如，对于数3，按照上述运算要求有：

3→33=27→23+73=8+343=351→33+53+13=27+125+1=153-→13+53+33=1+125+27=153……

大家还可以取3的其他倍数试一试.

任意自然数的“黑洞”

對于任意一个自然数，先将其各数位上 的数字求和，再将其和乘3，然后加上1.多次 重复这种运算操作，运算结果最终会跌入13 这个“黑洞”之中，再也出不来.

例如，对于5：5→16→22→13→13……

请大家再试一试其他自然数.

从以上几种“黑洞”中，你是不是体会到 了数学的神奇与美妙？如果你有兴趣，可对 此类问题进行深入的研究与探索，可能会有 更多、更有趣的发现！