例说图形的平移

陈琼

抓住图形平移的特点，掌握图 形平移的规律，有利于同学们提高 解题能力.

人教版数学教科书七年级下册第31页第6题的内容为：

如图1，在一块长为am，宽为bm的长方形草地上有一条弯曲的小路，小路的左边 线向右平移1m就是它的右边线.求这块草 地的绿地面积.

解决此题较简单，将图1中小路右边 的图形向左平移1m，则图1中的小路左右 边线重合，如图2.比较图1和图2，可以发现 它们长相差1m，宽均为bm，于是得到这块 草地的绿地面积为（a-1）bm?.

问题解答之后，图 1留给我们一个思考 的空间.我们把图1中 的折线标上字母，其他 条件不变，如图3.

思考1：如图3，在长方形ABCD的内部有哪些相等的线段？有哪些相等的角？

分析：根据平移的性质，容易得到EF=EF1，FG=F1G1，GH=G1H1，HI = HI1LF= ∠F1，∠G=∠G1，∠H=∠H1。

思考2：如果连接FF1，GG1，HH1，那么FF1，GG1，HH1之间有何数量、位置关系？

分析：点F与F1，点G与G1，点H与H1 分别是平移过程中的对应点，根据平移的性质， 容易得到FF1=GG1=HH1，并且FF1//GG1//HH1.

思考3：如图4，∠AEF，莱弗格，∠FGH，∠GHI，∠HIB之间有何数量关系？

分析：分别过点F，g，H作FP//AE，GQAE、HW//AE、而AE//BI，根据平行线的性质，得到：AE//FP/GQ//HW//BI.所以AEF=LEFP， LFGQ= ∠ PFG， ∠QGH= ∠GHW，∠HIB=∠IHW.以上四式相加，得到：∠AEF + ∠FGQ+ ∠QGH + ∠HIB= ∠EFP+∠PFG+∠GHW+∠IHW.故∠AEF+∠FGH+∠HIB= ∠EFG+ ∠GHI.

需要说明的是，可以将图4 简化为一个基本模型，如图5， 类似得出一个有用的结论：如 图5，如果AB//CD，那么人∠ABE+∠CDE=∠BED。

变式1：在一块长为am，宽为bm的长方形草地上有一条弯曲的小路，小路的左边 线向右平移1m就是它的右边线，再修建一 条平行于长边，且宽为1m的小路，如图6， 你能求出这块草地的绿地面积吗？

分析：能.先将图6中弯曲小路右边的 图形向左平移1m，则小路的左右边线重合， 再将水平小路上方的图形向下平移1m，最 后得到一个长为（a-1）m，宽为（b-1）m的长 方形，如图7.可得到这块草地的绿地面积为（a-1）（b-1）m2.

思考：变式1中，水平小路的边线与长 方形的长边平行，如果水平小路的边线与长 方形的长边不平行，路口宽为1m，如图8， 还能用上面的方法得出相同的结果吗？

分析：如果水平小路的边线与长方形 的长边不平行，则弯曲小路与水平小路重叠 部分的面积不一定是1m?，故不能用上面的 方法得出相同的结果.借助于几何画板，按 照上面的平移方式，会发现在本图中的绿地 面积小于（a-1）（b-1）m2.

上述质疑释惑的过程给我们一个启示： 用整体思想方法解题时，对于条件或图形结 构类似，但本质有所不同的问题，要仔细分 析，切记不要用原有的经验想当然地生搬硬套，谨防出错.

变式2：在长为am，宽为bm的长方形 草地上，有一些小路，小路的边线与长方形的 边平行或垂直，小路路口宽为1m，如图9.你能求出这块草地的绿地面积吗？

分析：先将图中小路右边的图形向左 平移1m，再将小路上方的图形向下平移 1m，得到一个长为（a-1）m，宽为（b-1）m的 长方形.于是得到这块草地的绿地面积为（a-1）（B- 1）m2。

思考：变式2中，如果小路的边线与长 方形的边不平行或不垂直，小路路口宽仍为 1m，如图10，还能用上面的方法得出相同的 结果吗？

分析：如果小路的邊线与长方形的边 不平行或不垂直，则图中的不同方向的小路 重叠部分有两块，其面积均不一定是1m?， 故不能用上面的方法得出相同的结果.借助 于几何画板，按照上面的平移方式，会发现 本图中的绿地面积大于（a-1）（b-1）m?.

总之，解决图形平移中的计算问题时， 一定要把握图形平移过程中相关线段、角以 及面积的不变性规律，并且要善于区分相似 图形结构中的不同特征，以达到正确解决问 题的目的.