结合地域特色的高等数学教学案例

摘 要：近年来，结合地域特色进行教学设计的想法逐渐兴起，但专门针对高等数学课程的此类研究很少。本文讨论了结合地域特色进行高等数学教学设计的意义及优势。结合高等数學中的函数、极限、导数、定积分和解析几何给出了带有天津特色的具体题目。最后结合所给案例进一步分析了地域特色对教学效果的促进作用，并给出了本文案例设计思想在其他省市的拓展思路。

关键词：高等数学；地域特色；教学案例

高等数学是一门理论性较强的课程，其教学内容是实际问题高度提炼后的结果，为了更好地实现育人效果，本文以天津市为例，给出结合地域特色设计高等数学案例的方法，以此拉近学生距离，理论联系实际的过程更加顺畅。

一、结合地域特色进行高等数学案例设计的优势

地域文化是中华文化的重要组成部分，具有重要的思想教育价值。天津拥有复杂的历史，蕴含着大量独具特色的文化资源，承载着深厚的传统基因，它们在培育民族特色社会主义文化自信方面发挥着重要作用。在实际教学中，高等数学的理论授课内容过于抽象，要想更好地吸引学生的注意力，需要在授课过程穿插一些实际案例，既能提升教学效果，又能体现数学的实际应用。另一方面，受课时等多种因素影响，为了保证课堂效果，让学生在学习理论的同时能够有足够时间进行题目练习，可能会挤压具体案例的讲解时间，因此需要优化案例的选取及其切入方法。结合地域特色进行教学案例的设计，可以更快速地引起学生的兴趣，拉近学生与课程内容的距离，使学生更真切地感受到数学的价值。

二、结合地域特色的高等数学教学案例

本节以天津市为例，结合高等数学课程不同章节知识点，给出几个结合天津地域特色的高等数学教学案例。

（一）函数表示与空气质量

在高等数学中，函数的概念有两个基本要素——定义域和法则，因此函数本质上是一个非常宽泛的概念，并不局限于y=f（x）这种表达式的形式。通过函数定义的教学，除了让学生掌握基本的概念和性质外，还应让学生意识到函数不仅是数学中的概念，要把它看成一种工具，它可以不只作用于抽象的变量x，还可以以表格、图像等形式体现，甚至可以直接将实际生活中的某些数据看成一种函数。因此，可以在函数概念这一小节引入带有地域特色的实际案例，体现函数的另一种呈现方式。

例1：天津市近年来在环保方面采取了一系列举措来改善环境质量。例如在减排治污方面，天津市加大了大气污染治理力度，通过推行清洁能源、减少高污染车辆、加强工业排放管理等措施，有效降低了大气污染物排放量。在多方面的努力下，天津市近几年的PM2.5年均浓度如下表，可以看出天津市的空气质量在近几年持续提升，说明现行的减排治污方案是有效果的。

上表中的数据也可以看作一个自变量为时间，因变量为PM2.5年均浓度的一个函数，其定义域可看作是D={2017，2018，2019，2020，2021，2022}，对应法则就是不同年份测量出的数据，如规定f（2017）=62等，这样也可以是一种函数的表现形式，在数学中还可以以这种函数为基础，对后续年份的空气质量进行预测。

本案例将天津市的环保成效与函数表示相结合，既体现了函数表示形式的多样性，让学生更深入理解函数的思想，又反映了函数思想在实际生活中的广泛应用，对于学生后续课程的学习有很大的激励作用。

（二）极限与垃圾处理

极限思想是微积分整个学科的基础，其定义的完善促进了第二次数学危机的解除，微积分中的导数和积分的概念都是极限形式体现的，因此极限是微积分的重要研究对象。在学习极限时，同学们具有高中阶段的学习背景，对极限的运算等有一定的了解，但对于极限的内涵和实践应用理解得并不深入，因此，在高等数学阶段，对学生的教育目标会从为了应试，向培养思维方面倾斜，这就更需要引入一些贴近学生生活的教学案例，带动学生思考。下面给出一个以城市垃圾处理为背景的极限问题设计思路。

例2：根据官方给出的数据可知，2022年天津市全年生活垃圾产生量432万吨。现假设城市当前待处理垃圾总量为A，未来每年新增生活垃圾产量和2022年一致，城市每年可处理上一年堆积垃圾的80%，那长此以往，天津市的垃圾能否被完全处理完？

针对上面的问题，2022年末若待处理垃圾量为A0，则按照上述假设；2023年末待处理垃圾量为A1=A0（1-80%）+432；2024年末待处理垃圾A2=A1（1-80%）+432=0.22A+0.2×432+432；以此类推，n年后，城市待处理垃圾为An=0.2nA+432（0.2n-1+0.2n-2+…+0.2+1）。这里An包括两个部分，第一部分在n→∞时趋近于0，第二部分是一个公比q=0.2<1的等比数列求和，在n→∞时有极限，通过计算可得An→432/（1-0.2）=540万吨。

按照上述假设，可以得到若干年后，城市垃圾总量并不会减少至0，也不会增加至无限大，而是受垃圾增长速度和垃圾处理能力影响，而稳定在一个固定值。另外这个固定值和城市最初的垃圾积累量无关，减少垃圾产生量，提高垃圾处理能力才是问题的关键，这种现象与一些同学最初的设想可能并不一致，这也正是极限的魅力，不管基数有多大，只要趋势是趋于0的，那经过足够长时间的演化，就能变得很小，直至无限小。

极限思想是抽象的，但极限的应用是丰富的。类似上述这种以年为单位的迭代过程可以通过极限去预测按当前形势保持不变，未来会如何发展，这种应用不止存在于垃圾处理上，还可应用于传染病发展、人口增长等方面。但是如果单纯以人口增长为例，难免有些空洞，学生会感觉这种举例更像是应用题，依旧停留在书本上的内容，将地域特色引入进来既能引起学生兴趣，又能增加说服力，让学生受教育的同时以实际为背景列式并求解极限值，加深了知识点的印象，做到学以致用。

（三）导数应用与大沽口炮台

导数是微积分中的一个重要概念，具有非常丰富的实际应用，最常见也是学生最容易理解的就是用来描述变速运动的速度和加速度。另外，导数可以用来解决函数的极值和最值问题，这使得它可以应用于很多实践中的最优化问题。在讲解导数时，如果只是引用基本的抽象的变速直线运动的例子，不容易引起学生的兴趣，学生也没有熟悉感，因此可以在学习导数应用时，以天津市的大沽口炮台为例，让学生通过题目分析最大射程与发射角度的联系。

例3：天津的大沽口炮台作为历史悠久的早期炮台，其设计并不完美。在忽略空气阻力的影响时，炮弹的发射轨迹有其数学规律，若炮弹以初始速度v，初始角度θ发射，它的水平方向速度为vx=vcosθ，垂直方向速度为vy=vsinθ，又受重力加速度影响，炮弹运行时间为t=2vy/g，根据上述条件讨论如何发射炮弹能使炮弹射程达到最大值。

综合以上条件，首先可得炮弹发射距离为L=2v2sinθcosθ/g。在此基础上，如果想在初始速度不变的情况下达到射程最远，需要将发射角度θ作为自变量对射程L进行求导，当导数为0时，可解的得θ=45°时射程最远。另外，如果希望炮弹能够命中射程内的任意目标，可以通过调整θ值来实现。

通过上面的例子和具体题目，可以引导学生以实际问题为背景计算出最优发射角度θ，并且借此理解现实生活中经常提到的扔东西呈45°角扔的最远的现象。另外该案例反映出国防科技的重要性和数学之于其他理工科目的重要性，让学生看到高等数学的实践应用，如果不以大沽口炮台做引，可能学生会觉得案例空洞，不容易想到炮台的真实样貌；或者教师只以抛物线为题目，让学生去求极限，即便最终也能得到45°角的最优抛物角度，但其过程难免乏味枯燥。而本案例通过天津特色的历史遗迹，让学生真听真看，真正理解科学习数学的实践意义。同一个数学结论可以应用于日常抛物，也可以应用于军事领域，这也是数学这门极度抽象学科的意义所在，通过这个案例也可以让学生感受数学的魅力，提高学习兴趣。

（四）定积分与治水

高等数学的主要内容就是微积分，而微积分分为微分和积分两大部分。其中微分就是导数，它用来描述事物的变化速度，微分的逆运算即为积分。在学生高中时期，对导数是非常熟悉的，而随着高等数学课程内容的推进，积分的出现会让学生有很突然的陌生感。在一般授课过程中，定积分经常会与求面积、求体积这类问题联系到一起，体现出积分的积累效果，但实际上其应用不止于此。对于实际中的很多變化过程，如曲线斜率、瞬时速度等都可以用导数去描述，而反过来，如果一个变化过程能够采集到他的变化速度，也可以通过求积分来得到总量的变化。下面给出一个以天津市为背景的，不同于体积面积这类数学形状的定积分的应用案例。

例4：天津市地处海河下游、九河下梢，人民日常生产活动和河流息息相关。千百年来，海河儿女通过筑堤防、浚河道、开减河和建闸涵等方式取得了辉煌的治水业绩。天津境内的著名水闸，历史悠久者有九宣闸、马圈闸（洋闸）、耳闸“三老”；重要的入海口防潮闸，有海河防潮闸等。在现代化技术不断发展的今天，对于日常水位的控制离不开各项指标的精准监测，若想测量河流排入大海的总水量，直接去获得流水的总体积是不现实的，那要怎么对该数据进行计算呢？

针对该问题，可以通过采集水流速去计算瞬时的流量。假设某段河流的瞬时流速函数为v（t），可以借此得到瞬时流出函数Q（t），如果想测量从t1至t2时刻之间经过该处的总水量，就可以利用定积分的思想，即总水量为Q（t）函数在区间［t1，t2］上的定积分。

上述案例以更贴近学生生活的形式体现了定积分的丰富应用，同时引发学生思考，天津的治水工作离不开幕后的专业技术人员，他们通过各种科学的方法实现实时地监控数据、汇总计算、分析趋势，保障了我们生活的平稳进行。数学理论及其相关科技的发展在实际生活中的一个重要作用就是为保护人民的生命财产安全提供理论依据。本案例从地域上让学生有熟悉感，学生在上课时更容易代入进去，通过案例进行思考，理解定积分的本质。

（五）坐标系与水滴体育馆

解析几何是高等数学课程中的一个重要分支，是一种将函数、方程等形式与曲面、曲线这类几何图形相结合的学科。在解析几何中将数与形相联系的关键工具就是坐标系，一般高等数学课程中涉及的解析几何内容都是以空间直角坐标系为背景进行展开的。由于解析几何这一部分相对比较独立，很多内容也是直接将高中的二维平面中的结论直接推广到三维空间，因此这一部分内容学生学起来相对容易，但是会做题和真正理解并不能完全等同。学习解析几何的重要意义在于培养学生的空间想象力。例如，空间直角坐标系中关于某个坐标轴或坐标平面对称的点，其坐标有一定规律性，学生按照规律可以完成相关题目，但如果不知道规律，通过空间想象力找到点所在位置，也应该能得到正确的结果，学生最终的学习目标就是要这样“知其然，知其所以然”。

为了让学生更好地理解空间直角坐标系，可以在授课过程中以天津特有的水滴体育馆作为切入点。像水滴体育馆这样的大型建筑工程，一定是通过精确的设计后才开始动工的，这其中很大一部分工作是通过电脑软件建模实现的，在电脑软件中，设计者们会在软件中构造一个等比例的体育馆模型，而这个模型也要满足各方面的设计要求及标准，需要精确其多方面的数据，在此坐标系是必须的工具。这种虚拟的设计过程，其实就是在软件中有一个内在的空间直角坐标系，以这个坐标系的各坐标轴数据作为标尺，在设计中结合其他方面，如受力分析等，最终逐步完成的。

教师在引入上述案例时，可以展示水滴体育馆的三维模型图片，体现解析几何在实际生活中的具体应用，让学生认识到提升空间想象力的重要性。相对于其他一般化的案例来说，由于大部分高等数学课程设置中，解析几何部分属于大一下半学期的内容，很多同学可能之前去过水滴体育馆，再听这样的案例时更容易有画面感，教师也可以通过网络资料的搜集及水滴体育馆三维模型的图片展示，提问学生，按照这样的建模方法，设计者将坐标系的原点放在了哪个位置，是体育馆的中心还是体育馆的一端；如果将体育馆地面看作xOy平面，则体育馆表面的坐标满足什么特点，处于哪几个卦线；若体育馆对称轴取在yOz平面方向，则两侧对称位置上的点坐标有什么规律等。以一个实际案例为基础，通过提问，认识教科书上的定义，总结原本教科书上抽象的结论，活跃课堂气氛。

三、总结

本文结合高等课程具体知识点，给出了五个结合天津地域特色的高等数学教学案例，这些案例不仅丰富了教学内容，还结合了地域特色，以比较新颖的角度展示了知识点的应用价值，使学生对知识点的认识更加丰富，对知识点的理解更加深入。结合地域特色实践案例不再生硬，教师在课堂上如果持续不断地输出知识，学生会感到疲惫，在此期间如果教师偶然说一些个人经历、自身感悟之类的“题外话”，学生经常会瞬间被吸引。把地域特色融入教学案例中，使得案例内容更接近教师和学生当下的生活，教师可以用类似聊天的形式顺利地把知识点的实践应用展示出来，与传统“应用题”相比更生动自然。

本文展示的教学案例均以作者所在地天津为出发点，但这些案例也有很大的拓展性。对于函数表示的案例，各个省市的发展都伴随着各项民生方面的数据，如地區生产总值、农作物产量、创新成果数量等，这些都可以看作是函数的一种表现形式。前文极限部分的案例是从城市垃圾处理的角度引出的，该角度对各个城市都能适用，教师根据自己所在地的政府公开数据，结合极限的问题背景设计对应的案例即可。在导数案例中，虽然其他省市没有大沽口炮台这样的遗址，但很多当地发展数据也可以利用导数去观察其变化趋势，另外我国在投标枪和投铅球等项目上均取得过较为显著的成绩，如果当地有从事这些领域的代表人物，也可以作为一个出发点引出投掷角度最优的问题。定积分如果在联系实际时没有类似本文的情况，可以从最基础的面积出发，校园面积、湖泊面积、著名景点占地面积等，结合当地特点，将定积分与实际地点相结合，也能形成有当地特色的教学案例。在解析几何方面，各地都存在类似体育馆等现代特色建筑，这些建筑在设计之初都是有模型的，都可以作为坐标系的一个实践应用去展示。

最后，本文中提到的防汛抗洪案例是以当前时事为背景的，更能够提升案例的真实感。教学设计不能拘泥于某个案例不变，要经常更新，紧跟当下热点，多了解学生感兴趣的内容，才能更好地引起学生的共鸣。在后续的研究过程中，作者还将继续结合地域特色扩充高等数学教学案例，同时挖掘其可拓展性。

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课题信息：天津市职业教育与成人教育学会、天津职业院校联合学报课题（XHXB2023B020）

作者简介：赵文雯（1989— ），女，汉族，天津人，硕士，讲师，研究方向：数学教育。