2023年新高考Ⅰ卷第22题的解法探究

摘 要：2023年数学新高考Ⅰ卷第22题是以解析几何中的抛物线为背景，求矩形周长的取值范围问题，考查导数或者均值不等式的应用.文章从不同角度给出试题的四种解法.

关键词：2023年高考；抛物线；周长；导数；均值不等式

中图分类号：G632 文献标识码：A 文章编号：1008-0333（2024）04-0016-03

2023年数学新高考Ⅰ卷的第 22题比较新颖.试题以解析几何中的抛物线为背景， 考查不等式、函数最值等内容，是一道综合性较强的题目，有助于选拔创新型人才.

1 真题再现

题目 在直角坐标系xOy中，点P到x轴的距离等于点P到点（0，1/2）的距离，记动点P的轨迹为W.

（1）求W的方程;

（2）已知矩形ABCD有三个顶点在W上，证明： 矩形ABCD的周长大于33[1-2].

评析 在抛物线上，任意两点构成的向量可以唯一确定这两个点的位置，矩形有三个顶点在抛物线上，即有两条边对应的向量卡在抛物线上，我们考虑这两条边BA，BC的长度与方向. 由于射线BA绕点B逆时针旋转90°后恰好到射线BC的位置，因此两边的方向恰好差90°.我们的思路是考虑一个给定边长的矩形，能否找到合适的角度，使三个顶点在抛物线上.

3 结束语

本题有一定难度和较好的区分度， 需要考生有较强的综合分析能力. 试题将一个边长可变的矩形搭在抛物线上， 允许它在抛物线上滑动，需要考虑滑动过程中让矩形周长最小化的问题. 试题需要一定的动态思维能力，要大致想象滑动过程中矩形各个元素的变化情况， 并找到变化中的不变量.

在试题的思考解答过程中，考生需要不断地将问题进行等价转化，或者把问题化归为已经解决的情形.试题极具创新性， 注重考查思维过程， 突出对考生数学素养的考查， 并且计算量合理， 有利于选拔创新型人才.

参考文献：

［1］ 刘才华.2023年新高考Ⅰ卷22题的多解与推广[J].数理化解题研究，2023（22）：105-108.

[2] 王美莲.真题再现，解析突破，多解探索，教学建议：以2023年高考新课标全国Ⅰ卷“圆锥曲线压轴题”为例[J].数学教学通讯，2023（24）：83-85.

［责任编辑：李 璟］

收稿日期：2023-11-05

作者简介：马晓娟（1983.10-），女，宁夏人，碩士，中学一级教师，从事高中数学教学研究.