基于S0波的正交铺层复合材料板拉伸弹性模量的测量方法

王云林 刘瑶璐 胡宁

摘要：提出了一種基于兰姆波的正交铺层复合材料板弹性模量测量方法。正交铺设层合板相当于具有9个独立弹性常数的单层正交各向异性板。研究了正交各向异性板中S0模态兰姆波（S0波）群速度对9个工程弹性常数的敏感性。研究发现，在低频率厚度积下，S0波的群速度仅与正交各向异性板的拉伸弹性模量和面内泊松比有关。通过分析正交铺设层合板等效工程弹性常数的变化范围，发现正交铺设层合板的面内泊松比变化很小，足以忽略其对S0波群速度的影响。因此，可以用S0波的群速度来估计正交铺层复合材料板的拉伸弹性模量，并建立了S0波群速度与拉伸弹性模量的映射关系。该方法已在碳纤维增强正交铺设层合板上进行了数值模拟和实验验证。数值模拟和传统的静态拉伸实验验证了该方法的有效性。结果表明，该方法得到的复合材料板拉伸弹性模量与实际值的误差小于10%，为航空航天等工业领域相关结构参数的测量提供了方便。

关键词：正交铺层复合材料板；兰姆波；群速度；拉伸弹性模量

中图分类号：TB553          文献标志码：A      文章编号：1000-582X（2024）02-084-11

A method for measuring the tensile elastic modulus of cross-ply composite plates based on S0 Lamb waves

WANG Yunlin1a， LIU Yaolu1a，1b， HU Ning1a，2

（1a. College of Aerospace Engineering; 1b. Chongqing Key Laboratory of Heterogeneous Material Mechanics， Chongqing University， Chongqing 400044， P. R. China; 2. College of Mechanical Engineering， Hebei University of Technology， Tianjin 300401， P. R. China）

Abstract： This paper introduces a method for measuring the elastic modulus of cross-ply composite plates based on Lamb waves. Cross-ply composite plates are equivalent to a single-layer orthotropic plate with 9 independent elastic constants. The sensitivity of the group velocity of S0 Lamb waves to elastic constants is studied. It is observed that the group velocity of S0 Lamb waves is only related to the tensile elastic modulus and the in-plane Poissons ratio of the orthotropic plate at the low-dispersive frequency-thickness products range. By analyzing the change ranges of equivalent engineering elastic constants for cross-ply composite plates， it is discovered that the change in the in-plane Poisson's ratio of cross-ply composite plates is small enough to ignore its effect on the group velocity of S0 Lamb waves. Therefore， the group velocity of S0 Lamb waves can be used to estimate the tensile elastic modulus of the cross-ply composite plates， and a mapping relationship between the group velocity of S0 Lamb waves and the tensile elastic modulus can be established. The method has been verified by numerical simulation and experiment， and the error between the tensile modulus and the actual value of the composite plate obtained by this method is less than 10%. This provides convenience for the measurement of relevant structural parameters in aerospace and other industrial fields.

Keywords： cross-ply composite plate; Lamb waves; group velocity; tensile elastic modulus measurement

纖维增强复合材料具有比强度高、耐疲劳、耐高温、耐腐蚀等优点，因此被广泛应用于航空航天[1?3]领域。材料力学性能的测量对各种复杂载荷条件下结构的仿真建模、力学行为和可靠性评估具有重要意义。而弹性模量作为力学性能测量和评价的基础，如何快速、准确地测量弹性模量就成为了工业上的热点和难点问题。传统的弹性模量测量方法主要有静态拉伸法和动态拉伸法[4]。这些方法或复杂费时或对材料损伤大、重复使用率低，不适用于价格昂贵的材料和已经成型的材料。因此展开对材料力学性能的无损检测和评价至关重要。

在各种无损检测方法中，超声波检测技术具有高灵敏度、可重复性、非侵入性和无污染性等优点，因此逐渐成为国内外研究的重点。使用超声波测量材料力学性能的方法主要分为体波法和导波法，White[5]在1963年通过建立模型描述了纵波在固体材料中的传播，文献[6-8]根据固体中体波波速与材料弹性模量、泊松比和密度的关系，通过对声速的测量计算出材料的弹性模量。当超声波波长与试样厚度为相同数量级时，超声波在固体中以导波的形式传播，陈倩栎等[9]利用超声导波法检测了Ni，Cu，Ag，Au等薄膜涂层的弹性模量。Spicer等[10]通过有限元模拟得到兰姆波在板中的传播速度，并对比超声实验结果，通过调整参数反演得到近似弹性模量。Cao等[11]提出了一种基于改进粒子群优化算法的板厚和弹性常数反演方法，基于该算法可以从测量的零阶模态兰姆波相速度频散曲线中准确获得板的杨氏模量、泊松比和厚度，并在各向同性材料铝板中得到了验证。Eremin等[12]基于遗传算法程序建立了S0波和A0波的群速度与复合材料的5个弹性模量之间的关系，并成功测试了单向和交叉铺层碳纤维增强塑料板。

尽管目前取得了很多进展，但采用这些方法测量材料的力学性能仍有许多不足，或需要人工繁琐地调节参数，或需要复杂的数据支持，如多传播路径、多模态、多频率等信息，在操作中存在困难。由于在实际的工程应用中，相较于剪切模量，材料拉伸模量的测量仍为主要需求，例如文献[13-15]在研究三维机织复合材料和橡胶复合材料在结构中的受力分析时，大量考虑材料受外部拉伸力的变形和破坏，以及王正等[16]和赵剑等[17]在研究定向刨花板和蜂窝结构时，发现材料的拉伸性能通常比剪切性能更容易测量和控制。因此笔者提出了一种基于兰姆波的测量正交铺层复合材料板等效拉伸弹性模量的简单方法，首先，分析兰姆波传播对正交各向异性板中9个独立弹性常数的敏感性，确定S0波在正交铺层复合材料板内的传播群速度主要与拉伸弹性模量和面内泊松比相关。然后，根据经典层合板理论计算了正交铺层复合材料板各面内弹性常数变化范围，排除面内泊松比影响后，建立了拉伸弹性模量与S0波群速度和频厚积之间的映射关系。最后，在数值模拟的基础上进行超声实验和拉伸试验，并对结果进行了讨论。

1 理论

1.1 基于层合板理论的等效模量计算

单层板在宏观上属于横向各向同性或正交各向异性体。根据线弹性理论，单层板的应力-应变关系为：

（[（σ_1@σ_2@τ_12 ）]=[（Q_11&Q_12&0@Q_21&Q_22&0@0&0&Q_66 ）][（ε_1@ε_2@γ_12 ）]。） （1）

由于层合板是由单层板按一定的顺序和角度叠合而成，需要将每个铺层的坐标系转换到整体坐标系中，通过坐标转换，可以得到偏轴刚度矩阵表达式为

[Q ? ]=T^T QT，     （2）

式中：

（T=[（m^2&n^2&mn@n^2&m^2&-mn@-2mn&2mn&m^2-n^2 ）]，） （3）

m=cos θ，          n=sin θ。 （4）

式中，θ为铺层角度。根据经典层合板理论，整理得到层合板内应力-应变关系：

（[（N_x@N_y@N_xy@M_x@M_y@M_xy ）]=[（A_11&A_12&A_16&B_11&B_12&B_16@A_21&A_22&A_26&B_21&B_22&B_26@A_16&A_26&A_66&B_16&B_26&B_66@B_11&B_12&B_16&D_11&D_12&D_16@B_21&B_22&B_26&D_21&D_22&D_26@B_16&B_26&B_66&D_16&D_26&D_36 ）][（ε_x^0@ε_y^0@γ_xy^0@k_x@k_y@k_xy ）]。）     （5）

其中拉伸刚度矩阵元素：

A_ij=∑_（k=1）^N?〖（Q ?_ij ）_k （z_k-z_（k-1） ） 〗；     （6）

耦合刚度矩阵元素：

B_ij=1/2 ∑_（k=1）^N?〖（Q ?_ij ）_k （z_k^2-z_（k-1）^2 ） 〗；   （7）

弯曲刚度矩阵元素：

D_ij=1/3 ∑_（k=1）^N?〖（Q ?_ij ）_k （z_k^3-z_（k-1）^3 ） 〗 。 （8）

以处于单轴向载荷作用下的对称层合板为例，式（5）前两项为：

N_x=A_11 ε_x^0+A_12 ε_y^0，     （9）

0=A_12 ε_x^0+A_22 ε_y^0  。 （10）

解得：

N_x=（（A_11 A_12-A_12^2 ））/A_22  ε_x^0  。    （11）

令层合板厚度为h，则该层合板沿x轴的面内拉伸弹性模量为

E_xx=（（A_11 A_12-A_12^2 ））/（hA_22 ）； （12）

面内剪切弹性模量：

G_xy=A_66/h； （13）

面内泊松比：

ν_xy=-A_12/A_22  。    （14）

1.2 正交各向异性单层板的弹性参数对S0波频散曲线的影响

正交铺设层压板的铺层角度为0°或90°，由于其每一层都表现为特殊的正交各向异性单层板，因此，正交铺设层压板整体可等效为同厚度的正交各向异性单层板，如图1所示，该单层板的弹性参数即为正交铺设层压板的等效弹性参数。由于兰姆波的波长与板厚处于同一数量级，兰姆波在复合材料层合板中的传播可等效为在对应的等效均质单层板中的传播。因此，通过研究正交各向异性单层板的9个工程弹性常数对S0波频散曲线的影响，探究利用S0波测量正交铺设层压板的有效面内拉伸弹性模量的方法。

以密度1 500 kg/m?、厚度1 mm的正交各向异性复合板为例，材料属性如表1所示。依次改变其中1个弹性参数，考察该弹性常数对S0波频散曲线的影响。将单层板的工程弹性常数变化设定在正交各向异性复合材料的实际变化范围，如E1和E2从40 GPa变化到120 GPa，ν13和ν23从0.1到0.5[18]，ν12从0.01到0.7[19]。利用伦敦帝国理工学院NDT实验室开发的频散曲线计算软件DISPERSE，得到了S0波沿单层板主方向1传播时其群速度頻散曲线对拉伸弹性模量、剪切弹性模量和泊松比的敏感性，分别如图2所示。

从图2中观察到，当频厚积处于较低范围时（0～ 0.8 MHz·mm），S0波的群速度仅与拉伸弹性模量E1和面内泊松比ν12相关，弹性常数E3只影响S0波的频散范围。由于材料的正交各向异性的特性，可知在相同的频厚积范围，S0波沿单层板主方向2传播时，其群速度仅与拉伸弹性模量E2和面内泊松比ν12有关。

对于正交铺设层合板[0a/90b]c （a， b， c>0），考虑到不同的基体材料和纤维种类，其单层结构的材料参数变化范围大致如表2所示。将9个工程弹性常数均设为随机变量，基于层合板理论计算了105次正交铺设层合板的等效工程弹性常数，获取各面内等效工程弹性常数的变化范围，如表3所示。表3显示正交铺设层合板的面内泊松比ν12的变化范围小于一般铺设层合板，约为0.01～0.3。特别是，研究发现当a=b时，均衡正交铺设层合板的ν12甚至小于0.1。于是，接下来研究正交铺设层合板中S0波群速度受面内泊松比ν12的影响。如图3（a）所示，以0.5 MHz·mm频厚积时情况为例，固定E1而改变ν12，泊松比ν12从0.01变化到0.3所引起的S0波群速度的增加不超过283 m/s。若取ν12=0.1时的群速度为参考值，ν12在变化范围内引起的群速度变化小于4.6%，如图3（b）所示。因此，对于正交铺设层合板，面内泊松比ν12对S0波群速度的影响可以忽略不计。

根据前文分析，发现可以用S0波来预测正交铺层复合材料板的等效弹性模量，需要建立S0波的群速度与板的等效弹性模量之间的映射关系。图4（a）给出了固定频厚积下正交各向异性板的拉伸弹性模量与S0波群速度的关系。为了减少误差，将平面内泊松比ν12设为0.1。可以看出，拉伸弹性模量与S0波群速度几乎呈线性关系，频厚积对S0波群速度影响不大，这是由于S0波在低频厚积范围内（0～0.8 MHz·mm）频散性较低。图4（b）进一步给出了S0波群速度在低频厚积域（0～0.8 MHz·mm）与拉伸弹性模量的映射关系。因此，一旦测量了正交铺层复合材料板沿主方向传播的S0波群速度，就可以得到复合材料板的拉伸弹性模量。

最后，需要注意的是这种映射关系与板的密度有关。这是因为材料密度影响兰姆波的速度。因此，一旦密度发生变化，映射关系也会被修改。

2 数值模拟和实验验证

2.1 数值模拟

图5为本研究所用的复合材料板模型。其几何尺寸设置为600 mm×600 mm×1.6 mm，铺层顺序为[0/90]2s，层数共计8层。单层复合板材料属性如表1所示，材料密度为1 500 kg/m3。

在激励点处施加沿3方向的位移边界条件作为激励信号，信号函数为5周正弦加窗信号，如图6所示。沿测量方向1设置8个接收点，每个间隔5 cm，接收3方向的位移信号并计算群速度，激励频率设置为0.1 MHz。此外，为了消除反射波的影响，板的有限元模型在边缘处采用了无限单元，根据要求，除无限单元外的网格尺寸应小于波长的1/10，因此将网格尺寸设置为1 mm，共计2 880 000，并采用动态显示算法进行仿真计算。

以P1和P6接收点的信号图为例，如图7所示，可以看到由于S0波群速度要比A0波群速度快得多，两者在传播过程中呈逐渐分离的趋势。包络的群速度表示其能量传递速度，因此通过Hilbert变换得到S0波包峰值到达2个测量点的时间点t1和t6，就能计算出S0波从P1点到P6点的平均群速度，根据各测量点数据最终可以计算出S0波在此测量方向上传播的平均群速度。根据第1节的内容，预测该正交铺设层合板模型在1方向上的等效拉伸模量为77.6 GPa，与理论等效拉伸模量进行比较，如表4所示。数值模拟结果表明了该方法的正确性和实验方案的可行性。

2.2 实验与讨论

待表征的复合材料板铺层方式为[0/90]3s，构成了一个准各向同性结构。板的三维尺寸设计为700 mm×700 mm×1.4 mm，密度为1 524 kg/m3。信号发生器和高压放大器通过BNC数据线连接，最后连接超声换能器。通过声发射（AE）传感器接收复合材料板中沿相互垂直的1、2两个主方向传播的兰姆波信号，并与示波器连接观察并保存数据。超声测量实验系统如图8所示。

实验过程中，将加窗调制的5周期信号导入信号发生器，作为激励信号驱动中心频率为0.1 MHz的超声换能器。同时，将声发射传感器沿所规定的方向手动扫描接收信号，如图9所示。在每个方向上设置11个接收点，每个接收点之间的间隔为2 cm。

图10为两个测量方向上P1和P5点的信号，表5为两个测量方向上S0波群速度计算结果以及据此计算的出的相对应的等效拉伸模量。同时，为了评估测量方法的可靠性，设计了1组单轴拉伸试验，如图11所示。采用铣床切割技术，将复合板沿1和2两个方向分别切割5个单轴拉伸标准试件（共10个），进行拉伸试验，实验结果如表6所示。表7展示了2种方法测量得到的拉伸模量结果，与由拉伸试验得到的实际拉伸模量相比，由S0波群速度测量得到的拉伸模量结果在1方向的相对误差为7.71%，2方向的相对误差为3.61%，比较结果证明了该方法的准确性。对误差来源的分析，主要有两个原因：一是在原理上该方法忽略了面内泊松比ν12的影响，导致方法误差；二是实验时各接收点的信号通过手动移动传感器扫描得到，产生测量误差。

3 结  论

1） 分析了S0模态兰姆波在正交各向异性板中传播的群速度对9个独立弹性常数的敏感性。结果表明在低频厚积范围内S0波在正交铺层复合材料板内的传播群速度主要与拉伸弹性模量有关，因此可以用S0波群速度来对正交铺层复合材料板拉伸模量进行表征和测量。

2） 通过建立有限元模型对使用S0波测量拉伸模量进行了数值模拟，仿真结果表明使用S0波群速度来测量正交铺层复合材料板拉伸模量是可行的，并且精度较高，为实验设计和测量提供了指導。

3） 用超声导波测量方法实际测量了碳纤维增强正交铺层复合材料板，同时对测量用板进行了拉伸试验，获得了实际拉伸模量，将两者作了对比，结果表明通过超声导波测量方法得到的复合材料板拉伸模量与实际值的误差很小，为工业中测量拉伸模量提供了方便。

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（编辑  郑洁）