立足经验生长 辅以技术支持

石雨卓

摘要：为了使学生通过数学课程的学习，获得基本活动经验的自然生长，本文中从学生的角度出发，通过GeoGebra的应用，对圆锥曲线“离心率和渐近线”教学进行整合设计，尊重学生的知识生成，使学生亲身经历数学探究过程，成为课堂真正的“主角”.

关键词：经验生长；信息技术；圆锥曲线；几何性质

对于圆锥曲线的教学，人教A版教科書类比初等函数，“同构”研究方法、内容和过程，形成如图1所示的研究流程.

教科书的这一设计兼顾了三种圆锥曲线的“个性”与“共性”，让学生明确学习方向，同时搭建了新旧知识间的联系，使学生在学习过程中形成数学研究思路，提炼基本活动经验.

1 问题提出

在几何性质的研究中，教科书采用“先通过几何直观感知图形，后通过坐标代数验证性质”的思路展开.由于较难精准画出圆锥曲线的图形，教科书多次采用GeoGebra等信息技术进行探究式教学，但在实际教学中出现了以下问题：

（1）椭圆的扁平程度和双曲线的“张口”大小可用离心率e=[SX（]c[]a[SX）]来刻画，但通过GeoGebra的动态展示，学生自然提出用[SX（]b[]a[SX）]刻画，并未联想到[SX（]c[]a[SX）]；

（2）在研究双曲线的几何性质时，学生基于椭圆的研究经验，提出双曲线范围、对称性、定点和离心率的研究内容和思路，并未联想到渐近线；

（3）对于双曲线的渐近线与[SX（]b[]a[SX）]之间的联系，学生较难联想到，导致知识生成不够自然.

因此，为了使学生成为课堂真正的“主角”，基本活动经验得以自然生长，笔者对于椭圆与双曲线的离心率以及双曲线的渐近线教学作出如图2的设计：

在椭圆的教学中，通过基本量间的关系，引导学生得出离心率的概念，并与已产生的新知识，即用[SX（]b[]a[SX）]刻画椭圆扁平程度产生联系；在双曲线中，采用类比方法，在椭圆的探究基础上，先探究离心率，再通过思考e与[SX（]b[]a[SX）]之间的关系，利用GeoGebra观察二者与双曲线形状之间的关系，进而得出渐近线的概念.充分尊重学生的知识生成，守护“主体”地位.

2 椭圆的“离心率”教学

例1 请根据所学知识，画出下列曲线方程所表示的大致图形，并找出它们之间的区别与联系.

生：如图3，两个椭圆的长轴长一样，短轴长不一样，椭圆C2比椭圆C1更扁.

思考1：椭圆的形状大小与椭圆的哪些量有关？如何设计实验？

生：椭圆的形状和大小与椭圆长轴长2a以及短轴长2b有关.

利用GeoGebra绘制椭圆[SX（]x2[]25[SX）]+[SX（]y2[]m[SX）]=1（m＞0），控制m的大小，观察椭圆形状变化，如图4.

生：当m∈（0，25）时，图形是焦点在x轴的椭圆，且随着m的增大，椭圆的长轴不变，短轴变长，椭圆更圆；当m=25时，图形是以原点为圆心，5为半径的圆；当m∈（25，+∞）时，图形为焦点在y轴的椭圆，且随着m的增大，椭圆的短轴不变，长轴变长，椭圆更扁.

观察：如图5，随着n的变化，

生：随着n的增大，椭圆的形状不变.

思考2：如何通过椭圆方程[SX（]x2[]a2[SX）]+[SX（]y2[]b2[SX）]=1（a＞b＞0），定量刻画椭圆的扁平程度？

生：当[SX（]b[]a[SX）]越接近1时，椭圆的形状更圆；当[SX（]b[]a[SX）]越接近0时，椭圆的形状更扁.

思考3：如何在例1的图形中找到椭圆的焦点？

生：对于椭圆C1，直接通过c2=a2-b2计算得到；而对于椭圆C2，则以椭圆上顶点B2为圆心，OA2为半径作圆，与x轴的交点即为椭圆的焦点.如图6.

教学说明：先组织学生观察两个特殊椭圆的区别与联系，联想到椭圆的扁平程度与基本量a，b有关，接着自主设计并进行GeoGebra实验，得出结论.通过在例1中找出椭圆焦点，推导出[SX（]c[]a[SX）]与椭圆扁平程度的关系，引出离心率的概念.最后通过例2，发现学生均利用[SX（]b[]a[SX）]来比较椭圆的扁平程度.因此对于学生来讲，[SX（]b[]a[SX）]比e刻画椭圆扁平程度效果更好，这需要教师做好引导工作，帮助学生找出椭圆形状与基本量间的联系.

3 双曲线的“离心率与渐近线”教学

类比椭圆，如何确定双曲线[SX（]x2[]a2[SX）]-[SX（]y2[]b2[SX）]=1（a＞0，b＞0）几何性质的研究内容？

生：研究双曲线的范围、顶点、对称性和离心率.（此处，学生易得双曲线相关性质，并证明.）

对于双曲线的顶点，若令x=0，则y2=－b2，方程无实数解，即双曲线与y轴没有交点，但仍将B1（0，－b），B2（0，b）画在坐标系中，类比椭圆得到一个相切矩形，双曲线落在矩形外的左右两侧（如图7）.

思考5：类比椭圆，双曲线的离心率e与[SX（]b[]a[SX）]有何关系？

思考6：如何设计GeoGebra实验，观察e与[SX（]b[]a[SX）]能否刻画双曲线的形状？如果能，又如何刻画？

生：保持a=1不变，控制b的大小，随着b的增大，离心率e也随之增大，如图8.观察双曲线的形状特征及变化.

教学说明：在类比椭圆进行双曲线几何性质的研究时，学生自然想到了对双曲线的范围、顶点、对称性和离心率.为了让学生更好地观察双曲线“渐近线”的特征，笔者仍以类比的方法，引入相切矩形，使学生自然观察到“渐近线”，理解椭圆与双曲线之间的“共性”与“个性”.

4 教学反思

4.1 立足经验生长

爱因斯坦曾说“把在学校所学到的东西全忘光，所剩下来的东西便是教育”，而经验或许便是那“所剩下来的东西”.在学习过程中，不断产生新的经验，并且先前的经验不断被检验和更新，学生的基本活动经验从而得到生长.因此，在“离心率和渐近线”的教学中，为了让学生更好地进行类比学习，笔者先在椭圆的教学中尊重学生的知识生成.例如，用[SX（]b[]a[SX）]刻画椭圆的扁平程度；后在双曲线的教学中尊重学生的经验检验和更新，并适当加以引导，以辨析圆锥曲线间的“共性”与“个性”，促进学生经验的自然生长.

4.2 辅以技术支持

“工欲善其事，必先利其器”，在探究活动中合理使用GeoGebra进行动态实验，不仅可以使原本枯燥乏味的数学知识变得更加生动形象，更能促进学生养成动手操作、观察猜想、归纳验证、辨析修正的学习习惯.因此，笔者在探究圆锥曲线的几何性质中通过GeoGebra的动态实验，将原本枯燥单调的圆锥曲线变得活泼生动且富有表达力，拉进了学生与解析几何的距离.同时，笔者也注重学生的主体地位和技术的辅助角色，让学生自主设计动态实验，使GeoGebra成为学生探究数学知识的有力工具，从而更好地理解圆锥曲线的几何性质，深入本质，促进数学思维品质的发展，以便更好地面对时代竞争.