陈衍峰
2020年6月教育部印发《高等学校课程思政建设指导纲要》,要求高校要深化教育教学改革,充分挖掘各类课程思政资源,发挥好每门课程的育人作用,全面提高人才培养质量.要把立德树人融入思想教育、文化知识教育、社会实践教育等环节,贯穿高等教育各环节[1].课程思政被摆在了高等教育的突出位置,是落实立德树人根本任务的重要举措.全面推进课程思政建设,可以很好地帮助学生树立正确的世界观、人生观、价值观,更好地培养德智体美劳全面发展的社会主义建设者和接班人[2-4].
“概率论”课程是高校理工类和经管类学生的一门十分重要的基础必修课程,受众面广泛,其主要任务是揭示随机现象的内在统计规律.学生通过对“概率论”课程的学习,可以掌握处理随机现象的基本思想和方法,进而运用此方法分析和解决社会生产和生活中的实际问题[5].“概率论”课程是许多后续课程的基础和工具,学好本门课程对培养学生思维能力、数据处理能力、数学建模能力和理论联系实际能力都具有重要作用.因此,在“概率论”课程的实际教学中适时融入典型的思政案例,使思政元素与知识内容有机结合,可以很好地提升学生学习本门课程的兴趣和积极性,筑牢本门课程基础知识内容的学习,进而为日后理论研究和实践奠定坚实基础[6].将思政元素融入“概率论”课程教学既利于实现思政教育和专业教育的有机融合,又能发挥思政隐性教育的重要作用.
本文对“概率论”课程思政案例教学进行深入研究,着重选取五个知识点进行案例设计,将诚实守信、持之以恒、脚踏实地、普遍联系等思政元素融入案例之中,以达到“概率论”课程思政目标.
贝叶斯公式是“概率论”课程的一个重要教学内容,具体可以概括为:某个事件A已经发生,它的发生是由B1,B2,…,Bn等n个方面的原因导致,在众多可能的原因中,由原因B2导致了结果A发生的可能性有多大?这个问题可以用概率P(B2|A)来刻画.
在讲授贝叶斯公式时,可以引入烽火戏诸侯的案例.西周末年,周幽王通过点燃烽火台,引来各路诸侯救驾以博妃子一笑.后又多次效法,诸侯们渐渐失去了对幽王的信任.最后,当边关告急时,点燃烽火台也没有诸侯赶来救驾,导致幽王被杀,西周灭亡.
问题描述:幽王多次点燃烽火台戏弄诸侯后,诸侯们为何渐渐失去了对他的信任呢?
问题解答:假设最初诸侯对幽王信任的概率为0.8,诸侯对幽王信任时幽王戏弄诸侯的概率为0.1,诸侯对幽王不信任时幽王戏弄诸侯的概率为0.6.
由此可以看出,诸侯们在第一次被戏弄后,对幽王的信任度由原来的0.8下降至0.4,再次应用贝叶斯公式,可得第二次幽王戏弄诸侯后诸侯们对幽王的信任度为:
这表明幽王在第二次戏弄诸侯后,诸侯们对幽王的信任度由0.4下降至0.1.按此方法,还可计算出第三次幽王戏弄诸侯后诸侯们对幽王的信任度为0.018 2.从中不难看出,当幽王3次戏弄诸侯后,诸侯们对幽王的信任度已由最初的0.8下降至0.018 2,可以说诸侯们对幽王基本没有了信任度.因此,最后当边关真正告急时,没有诸侯前来救驾,幽王被杀,西周灭亡.
这个例子用具体数字阐明了诚实守信的重要性,揭示了一而再、再而三地连续性欺骗可以使人们对一件事情产生诚信危机,以此引导每位学生悟懂诚实守信是做人的根本,每个人都要有正确的三观,同时诚实守信、真抓实干也是中华民族的传统美德.
对上述问题可以作进一步思考.假如在3次戏弄诸侯后,幽王认识到了问题的严重性,那么怎样做才能再次获得诸侯们的信任呢?
该问题即为利用贝叶斯公式求解P(A|),此时,P(A)=0.018 2,P()=0.981 8,P(|A)=1-P(B|A)=0.9,P()=0.4,于是,有
这表明通过3次戏弄诸侯,幽王认识到问题的严重性,第一次纠正错误后,诸侯们对其信任度由0.018 2上升至0.04.用与上文同样的方法,由贝叶斯公式计算可得出,幽王第二次至第七次纠正错误后,诸侯们对其信任度的数值.7次信任度的具体数值如表1所示.
表1 7次信任度
从表1可以看出,随着纠正错误次数的增多,信任度数值也在逐渐增大,且在第七次时,数值重新回到了原始数值0.8以上,可见信任度的回升比较缓慢.
以此教育学生诚实守信是当代大学生应有的品质,是其在社会中前进的基石,也是其践行社会主义核心价值观的基本价值准则,在日常学习和生活的各方面都要恪守诚信,比如:考试诚信、经济诚信、生活诚信、上网诚信、遵规诚信等.因为一旦失信,再想重建诚信,绝非一两次信守承诺能够做到,可能根本无法恢复,即使能够恢复也需要很长一段时间.
小概率事件原理又称为实际推断原理,是“概率论”课程中非常重要的原理之一,具体可以阐述为:一个随机事件本身发生的概率很小,即在一次试验中实际不会发生,但在多次重复试验下,小概率事件一定会发生.深入研究该原理可以发现其中蕴含着从量变到质变的哲学思想.
在进行该原理所涉及的相关知识内容教学时,可以恰当地引用范进中举的案例.引导学生以唯物主义的思想看待问题,培养他们锲而不舍、刻苦勤奋和持之以恒的精神.
范进中举的故事源于《儒林外史》,讲述范进是一名秀才,勤学苦读,自12岁应考乡试,连续应考了20余次,最后一次才考中举人的故事.
问题描述:从故事中可以看出,范进每次考试能够考中是一个小概率事件,而小概率事件在一次随机试验中几乎是不会发生的.为什么多次应考后此小概率事件就成为必然事件发生了呢?假设每次应考的结果之间有关联,并不相互独立,且每次考中的概率为0.3.
问题解答:设事件Ai表示第i次未考中,i=1,2,…,20,事件B表示考中.依题意,可以得出第一次考中的概率为P(B)=0.3,第二次考中的概率为P(B)=1-P(A1A2)=1-P(A1)P(A2|A1)=1-0.72=0.51,第三次考中的概率为P(B)=1-P(A1A2A3)=1-P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)=1-0.73=0.657,按此规律继续计算可得出,20次考试中每次考中的概率,具体数据如表2所示.
表2 20次考中的概率
从表2可以看出,随着考试次数的增多,考中的概率逐渐增大,且在第二十次考试时,考中的概率高达0.999 2,可以近似地认为,此次考中的可能性是100%,即该事件是一个必然事件.
这个案例表明,小概率事件虽本身发生的可能性较小,但只要不断重复去做,在多次试验后,小概率事件即成为了必然事件,也即不断量变之后,达到了质变.借此小概率事件原理告诉学生,在现实生活中,某件事即使成功的希望很小,也要尽最大的努力,当努力的次数足够多,几乎可以肯定这件事情一定会成功.提醒学生要趋利避害,及时纠正不好的小概率事件,勿以恶小而为之,勿以善小而不为,一定要防微杜渐,切忌千里之堤,溃于蚁穴,一定要努力学习科学文化知识,为社会的不断发展贡献自己的一份力量.
在讲授古典概型问题时,彩票问题是其中重要的内容之一.众所周知,近年来,电脑彩票在我国各省市均有发行,花几元钱就可购买一张,购买后就有机会获得几百万甚至上千万的奖金.因此,买彩票中奖也成了许多人梦寐以求的事情.下面以某地福利彩票36选7为例,通过计算查看中各等奖的可能性有多大?
从彩票问题本身容易看出,中奖概率问题属于古典概型问题,其基本事件总数为n=.于是由古典概型计算公式可得,一等奖的中奖概率为,运用同样的方法可计算出,二等奖至七等奖各奖项的中奖概率分别为3.474 0×10-6,2.084 4×10-5,2.918 2×10-4,7.295 4×10-4,6.565 9×10-3,8.754 5×10-3.将其做成散点图如图1所示.
图1 36选7彩票7个奖项的获奖概率散点图
从图1可以看出,随着彩票中奖等级的降低,中奖的概率逐渐增大,这与实际情况相符合.其中一等奖的中奖概率为1.197 9×10-7,即一千万人中约有1人中一等奖,可见中一等奖的概率相当小,几乎被看作是不可能实现的事情,所以人们幻想通过购买彩票中大奖发家致富是不现实的.基于此教育学生购买彩票不能心存侥幸,要秉持一颗平常心来对待,要以支持国家福利事业发展的态度,为社会发展作出自己微薄的贡献,充分发扬社会主义人道精神,懂得做人要脚踏实地,一步一个脚印,只有凭借自己辛勤的工作才能获得相应的回报.
在讲授二维离散型随机变量联合分布时,可以引入一类无放回抽球问题作为教学案例.通过对其联合分布列、两个边际分布列的求解,验证联合分布列能够决定边际分布列,而边际分布列不能决定联合分布列.引导学生学会运用联系的观点看问题,正确处理问题的整体与部分的关系.
无放回抽球问题:一口袋中有4个球,它们依次标有数字1,2,2,3.从这个口袋中任抽取1球后,不再放回袋中,再从袋中任意抽取1个球.设每次抽取球时,每个球被抽取到的几率是等可能的.分别以ξ和η表示第一次和第二次抽取到的球上标有的数字,求二维随机变量(ξ,η)的联合分布列,并求其两个边际分布列.
问题解答:从问题阐述中可以知道,ξ和η的可能取值均为1,2,3,且可求得相应取值时的概率为:
因此,二维随机变量(ξ,η)的联合分布列如表3所示.
表3 (ξ,η)的联合分布列
由联合分布列可以求得关于ξ和η的边际分布列分别如表4、表5所示.
表4 ξ的边际分布列
表5 η的边际分布列
由上面的求解过程可以看出,如果知道了某个二维随机变量(ξ,η)的联合分布列,那么可以由联合分布列求出ξ和η的边际分布列,这是因为联合分布体现了(ξ,η)的整体规律性,边际分布列体现了ξ和η的部分规律性,而当整体规律性确定了,那么部分规律性当然也就确定了.
另外,若从二维随机变量(ξ,η)本身来看,这是由ξ和η两个单个随机变量组成.在本案例求解二维随机变量的联合分布列时,是在两个随机变量公共取值范围上进行的,这也很好地体现了局部也在影响整体.
鉴于此,可以引导学生正确把握部分与整体的关系.这个关系类似于个人的三观与社会主义核心价值观之间的关系,即部分的发展影响整体,整体的进步离不开部分,整体决定部分,部分不能决定整体,但可以反作用于整体.联想到生活当中,每个学生都要做堪当民族复兴大任的时代新人,将个人梦与民族梦、国家梦紧紧联系在一起,将个人的小我融入祖国的大我,树立崇高理想,与历史同向,与祖国同行,与人民同在,用拼搏和汗水为实现中华民族伟大复兴的中国梦添砖加瓦.
二项分布是离散型随机变量常用分布中的一个,生活中的许多随机现象往往都可以用二项分布来表达,因此,二项分布在“概率论”课程教学中显得非常重要.
在讲授此内容时,可以巧妙地引入一类保险投保问题作为教学案例.通过对此类问题的解决,启迪学生懂得万物皆有联系,学会用联系的观点看待和处理问题.
问题描述:设某保险公司的某人寿保险险种有1 000人投保,每个人在一年内死亡的概率为0.005,且每个人在一年内是否死亡是相互独立的,试求在未来一年中这1 000个投保人中死亡人数不超过10人的概率.
问题解答:此题从正面出发,常规的解决方法是设ξ为1 000个投保人中在未来一年内死亡的人数,因此,可知ξ服从参数为1 000,0.005的二项分布,于是所求问题的概率为:
此题中n很大,p很小,且λ=1 000×0.005=5比较适中,因此,有
而此式的求解可以通过查阅泊松分布表完成,方便快捷,容易求得结果为0.986.
通过对该问题解答过程的学习,鼓励学生自己总结、发现和体会其中的巧妙联系和变通,以此树立良好的学习信心,很好地学习本门课程.同时在学习和生活中遇到困难时,要积极寻找解决问题的方法,善于运用事物之间的普遍联系,适时转化思维模式,多角度、多维度思考和解决问题.
本文紧密结合立德树人的教育理念,通过精心设计诚实守信、持之以恒、脚踏实地、整体与部分和普遍联系等思政案例,潜移默化实现了思政育人的教学效果,同时极大地激发了学生分析问题和解决问题的能力.
“概率论”课程思政涉及面广,不仅涉及量变到质变、整体与部分、普遍联系、现象和本质、偶然和必然等辩证唯物主义思想,还涉及人生观、理想信念、科学精神、社会主义核心价值观、家国情怀等.“概率论”课程思政教学中既有知识传授,又有价值引领,尤为重要的是能力培养,即通过思政案例分析引导学生科学掌握数学规律,运用数学规律进行理性思考,分析和解决实际问题.目前“概率论”课程思政教学已经取得一定成效,更深入更具育人功能的思政案例需要在今后教学中继续挖掘和探索.