完美正方形

王世郭 整理

“完美正方形”是指一个大正方形可以分割成一些边数各不相等且边长为整数的正方形。分割成的小正方形的个数称为这个完美正方形的阶。

1936 年，英国剑桥大学三一学院的四个学生塔特、斯通、布鲁克斯、史密斯对“完美正方形”产生了浓厚兴趣。他们四人致力于寻找一个实际的“完美正方形”，但是几经失败后也开始怀疑“完美正方形”是否存在。正当他们一筹莫展的时候，德国的一位数学家找到了一个由55 个不同整数边正方形组成的大正方形，被称为“55 阶完美正方形”。于是，他们很快改变了自己的研究方向，之后致力于寻找更小阶数的完美正方形，并终于找到了一个由39 个不同整数边正方形组成的大正方形，被称为“39 阶完美正方形”。1964 年，塔特的学生威尔逊博士找到了一个25 阶的完美正方形（如图1，图中数字表示小正方形的边长）；12 年后，威尔科克斯找到24 阶完美正方形（如图2）；1978 年，荷兰特温特大学的数学家杜依维斯廷用大型电子计算机算出了一个21阶的完美正方形（如图3）。

图1

图2

图3

其实，早在1962 年，荷兰数学家丢伐斯丁就证明了小于或等于19 阶的完美正方形不存在；1978 年，他又证明了20 阶的完美正方形不存在。因此，21阶完美正方形是完美正方形的尽头。但数学家的研究并没有停止，他们又研究了不同大小正方形是否可以填充整个平面的问题。此外，他们还将完美剖分的问题推广到莫比乌斯带、圆柱面、环面和克莱因瓶上，也取得了许多有趣的成果。