多边形的内角和

◎相 辉

周末，动物王国的思维互动开始了。密斯特羊说：“你们已经知道三角形的内角和是180°，那还能想出办法求四边形的内角和是多少吗？”

机灵猴跳出来说：“长方形和正方形的四个内角都是90°，所以四边形的内角和一定是90°×4=360°。”

密斯特羊追问道：“是不是所有的四边形的内角和都是360°呢？大家有什么办法来验证这个猜想呢？”

小动物们纷纷拿出树枝在地上画了起来。不一会儿，聪明的乖乖兔指着地上的图形说道：“我把任意四边形的两组对角连上线，这时四边形就被分成了四个小三角形，每个小三角形的内角和是180°，四个三角形的内角总和就是180°×4=720°，中间交叉部分的四个内角围成了一个周角，是360°，且不属于四边形的内角，应该去掉，所以四边形的内角和是720°-360°=360°（见图1）。”

图1

小动物们都给乖乖兔竖起了大拇指。这时文静的小鹿指着地上的图说：“我把任意四边形分成了三个三角形，每个三角形的内角和是180°，所以三个三角形的内角总和是180°×3=540°，其中有三个角组成了一个平角，是180°，这三个角也不属于四边形的内角，应该去掉，所以四边形的内角和是540°-180°=360°（见图2）。”

听完小鹿的讲解，小动物们又纷纷鼓起了掌。这时小松鼠从树上跳了下来，它说：“我连接了一条对角线，把任意四边形分成了两个三角形，所以任意四边形的内角和是180°×2=360°。（见图3）”

图3

密斯特羊说：“你们真会思考，想出了不同的方法来证明四边形的内角和是360°。这三种方法中，小松鼠的思路比较简捷，就是只从一个顶点向不相邻的顶点连线，把多边形分成几个三角形。你们能像小松鼠这样求出五边形和六边形的内角和吗？”

大熊晃晃悠悠地过来说：“我把五边形分成了三个三角形，所以五边形的内角和是180×3=540°（见图4）。”

图4

小熊也不甘示弱地说：“我把六边形分成了四个三角形，所以六边形的内角和是180°×4=720°（见图5）。”

图5

憨厚的小牛摇了摇尾巴说：“通过上面大家的思考，我发现可以把多边形分成若干个三角形，并且分成的三角形的个数都比多边形的边数少2。分成了几个三角形，多边形的内角和就有几个180°，也就是多边形的内角和=180°×（边数-2）。”

密斯特羊点点头，满意地说：“当遇到问题时，我们可以从最简单处入手，有序思考，把新的问题转化成能够解决的问题。”