凸显概念本质 促进有效建构——“倍的认识”的教学实践与思考

□袁锋萍

一、课前思考

“倍的认识”是人教版教材三年级上册第五单元的教学内容。倍的概念较为抽象，教学时，教师需引导学生从具体实物数量的比较中抽象出倍的概念，理解“一个数的几倍”的含义。在此基础上，引导学生借助乘法意义中的“几个几”来认识倍，从除法的角度理解倍的概念，使学生认识到倍的本质是两个数量的相互比较，即一个量中包含了几个另一个量，就构成了它的几倍。倍表示两个数（量）之间的关系，实际上，倍、分数（表示率）、百分数、比等概念的本质是“比率”。比率在数学学习中有重要意义，它是学生学习比例、一元函数的基础。因此，建立倍的模型有助于学生对比率形成清晰的认识。

（一）分析教材编排

“倍的认识”是学生初步认识乘法与除法之后的学习内容，旨在引导学生学习相同种类的两个量之间的“整数倍”关系，是学生第一次接触比率。后续小数倍、分数（表示率）、百分数、比等内容，都可以看成对“整数倍”的扩展。可见，“倍的认识”在整个知识体系中起着承上启下的作用（如表1）。

表1

（二）分析学生认知起点

学生一年级时学习了“比多少”，在二年级又学习了乘法与除法的含义，认识了“几个几”，大部分学生都已在日常生活中对倍有了初步的认识。但对于“谁是谁的几倍”，尤其是特殊的倍数关系，学生仍不是很清楚。在学习倍概念之前，他们头脑中构建的是加法结构，即数量的合并与多少的比较，而倍的学习则促使他们转向乘法结构的构建。这表明学生的认知结构需要发生一次根本性的变化，实现从加法结构到乘法结构的跃迁，这也是学生学习中最大的困难。

人教版教材将“倍的认识”作为一个独立单元进行教学，充分凸显了“倍”这一知识点的重要性，有利于学生后续展开进一步学习。

基于以上分析，确立本内容的教学目标如下：

（1）结合具体情境理解倍与“几个几”的联系，初步建立倍的概念；会用语言描述两个量之间的倍数关系，会用图式表达两个量的倍数关系。

（2）在观察、变化、对比中进一步理解倍的概念，把握倍的本质，建构倍的模型。

（3）在用倍刻画量的关系的过程中，体会数学与生活的联系，感悟数学的价值。

二、教学实践

（一）情境引入，初识倍的含义

《义务教育数学课程标准（2022 年版）》指出：“真实情境创设可从社会生活、科学和学生已有数学经验等方面入手，围绕教学任务，选择贴近学生生活经验、符合学生年龄特点和认知加工特点的素材。”为此，教师可创设学生喜欢的学校大课间活动——球类活动情境，让他们通过比较排球、足球和篮球的个数，在原有“差比”“几个几”认知的基础上，自然理解倍的含义。

【教学片段1】

（教师用课件出示图1）

图1

师：学校大课间活动丰富多彩。其中，排球、篮球、足球是大家非常喜爱的球类活动。请你数一数，排球、足球、篮球各有多少个？

生：排球3个，足球6个，篮球12个。

（教师顺势用课件对三种球进行分类整理，如图2所示）

图2

师：请大家比一比足球和排球的数量。

生：足球比排球多3个。

生：排球比足球少3个。

生：足球的个数是排球的2倍。

师：很好！这节课我们就一起来认识倍。

（板书课题：倍的认识）

本教学环节通过创设球类活动情境，引导学生分类计数，培养他们整理数学信息的能力。在此过程中，学生通过比较足球和排球的个数，发现两个量之间不仅存在相差关系，还存在倍数关系，由此引入课题。在探讨两个数量之间的关系时，基于认知水平，学生首先会想到已学的“差比”关系。在此基础上引入“倍比”关系，则能引发学生的认知冲突，激发学生的探究欲望。

（二）运用对比，理解倍的概念

1.从多元表征中建构倍的直观模型

多元表征是帮助学生理解“倍”概念的一种有效手段。教师可引导学生建立不同数学表征之间的关联，从而巩固数学知识。在此基础上，丰富学生对“倍”概念的图形表征，为学生后续运用线段图表示倍数关系做好铺垫。

【教学片段2】

（教师出示活动要求：用摆一摆、圈一圈和画一画等方式表示你的思考结果，并与同伴交流想法）

师：请你用喜欢的方式表示“足球的个数是排球的2倍”。

（学生自主活动，教师巡视指导）

师：能说说你是怎么想的吗？

生：把3个排球看成1份，足球有这样的2份。

（教师用课件出示图3）

图3

师：今天学习的“倍”和我们之前学习的“比多少”有什么相同点和不同点？

生：都是在比较足球和排球的个数。

生：足球的个数比排球多3 个，是先找到足球和排球同样多的部分；而足球的个数是排球的2倍，是先把排球的个数看成1 份，足球的个数有这样的2份。

师（小结）：“倍”和“比多少”都表示两个量之间的关系，但“比多少”要先找出同样多的部分，而找两个量的倍数关系则要先选定标准，看另一个量里有几份标准。

本环节鼓励学生采用摆一摆、圈一圈、说一说等形式，表示足球的个数是排球的2 倍，充分彰显他们的个性化表达。如此，借助动作表征、图形表征、语言表征等多元表征，帮助学生充分积累感性经验，打破知识点间的壁垒，搭建“几个几”和倍之间的联系，初步确立倍的概念。

2.从变式比较中理解倍数关系

乌申斯基曾指出：“比较是一切理解和一切思维的基础。”本内容中存在两类“变化”：一是当标准量不变时，比较量发生变化；二是当比较量不变时，标准量发生变化。

【教学片段3】

（教师用课件出示图4）

图4

师：篮球的个数是排球的几倍？

（学生自主圈画，如图5）

图5

生：排球有3 个，篮球有这样的4 份，也就是有4个3，所以篮球的个数是排球的4倍。

师：篮球有5 份呢？篮球的个数是排球的几倍？50份呢？100份呢？能说说你的发现吗？

生：排球的个数没有变，篮球的个数在3个3个地增加。

生：以3 个排球为1 份的标准，篮球有几份，篮球的个数就是排球的几倍。

（教师用课件出示图6）

图6

师：篮球的个数是足球的几倍？

生：篮球的个数是足球的2倍。

（教师用课件同时呈现图5和图6）

师：同样是12 个篮球，为什么图5 是3 个3 个圈，图6是6个6个圈？

生：排球是3个为1份，足球是6个为1份，标准量在变化。

本环节通过构建两种变化，促进学生对倍数关系的深入理解。第一类变化是“标准量不变，变化比较量”，引导学生进一步拓展对几倍的认识。第二类变化是“比较量不变，变化标准量”，以使学生在对比中体会标准量的重要性。这样的设计有助于学生加深对倍概念的理解，认识到倍数关系是由两个量相互比较得出的一种关系，从而帮助学生理解和把握倍数关系的本质。

3.从直观模型中抽象倍的数量关系

在引导学生探究两个量的倍数关系时，要重视将所比较事物的数量关系直观化。教师可以借助示意图（如实物图、纸条图、线段图等）直观形象地展示两个数量之间的倍比关系，引导学生关注“一个量里包含几个另一个量”，从而揭示倍概念的本质特征。由此，通过抽象概括，学生可以理解基本数量关系，从而有效建立倍的概念。

【教学片段4】

（教师用课件出示图7）

图7

师：请大家仔细观察三种球的对比图及它们之间的倍数关系，你们发现了什么？

生：足球的个数是排球的2 倍，篮球的个数是足球的2倍，都是2倍关系。

（教师顺势用课件出示图8）

图8

师：为什么球的个数不同，却都是2倍的关系？

生：我观察到将第一行看成标准量，第二行都有这样的2份，因此第二行的数量是第一行的2倍。

师：如果用一张纸条代表第一行，要显示第二行的数量是第一行的2倍，第二行应如何表示？

生：第二行可以用2张相同长度的纸条表示。

师：如果第一行用一条线段来表示，第二行要表示第一行的2倍，应该怎样画？

（教师用课件展示画线段图的过程，如图9）

图9

师：联系生活实际说一说，第一行还可以表示什么？第二行又能表示什么？

生：第一行可以表示7本书，第二行可以表示2个7本书，也就是14本书。

生：第一行可以表示5支铅笔，第二行表示2个5支铅笔，也就是10支铅笔。

师：看来，无论第一行表示多少，只要第二行有第一行的2份那么多，就是它的2倍。想一想，如果第二行表示12颗糖，那么第一行表示什么呢？

本环节通过从具体的实物图到纸条图再抽象为线段图的过程，引导学生从现实情境中抽象概括出基本数量关系，激发学生对倍概念本质的理解与感悟。通过构建倍的模型，使学生反复体会数量之间的倍数关系，从而建立“几倍”与“几个几”之间的联系，进一步拓宽学生的思维，培养其数学眼光和模型意识。

本节课通过多元表征及其相互转换，深化学生对倍的认知体验，使学生会用数学的眼光观察现实世界；通过多次对比感悟，充分彰显倍的内涵与外延，培养学生会用数学的思维思考现实世界；利用几何直观抽象出倍的本质，构建模型，使学生会用数学的语言表达现实世界。在这一过程中，抽象、推理和模型等数学思想的培养贯穿教学始终，通过有趣的情境、丰富的活动、多维的思考，促进学生核心素养的发展。