二阶qa-可微凸函数的Hermite-Hadamard型积分不等式

刘晨璇，王淑红

（内蒙古民族大学数学科学学院，内蒙古 通辽 028043）

凸性是一个经典的概念，在数学、经济学、管理学以及工程技术等领域中起着重要的基础性和研究工具的作用。而凸函数与不等式有着紧密的联系，特别地，凸函数的积分不等式一直以来都在数学、物理、化学等多个领域有着至关重要的作用。凸函数的Hermite-Hadamard 不等式是著名的不等式之一，有着直观的几何意义，最早由HERMITE在1883年给出左半不等式［1］，10年后，HADAMARD给出右半不等式［2］。下面的双不等式就是著名的Hermite-Hadamard 不等式：

假设f:I⊆R→R是实区间I上的凸函数，a,b∈I，a＜b，则

凸函数和各类广义凸函数的Hermite-Hadamard 型积分不等式被许多学者关注和研究，特别是量子积分不等式现已成为一个研究热点。量子微积分，也称q-微积分，是一类不用极限基于有限差分重标思想的微积分，广泛应用于数学和物理的许多领域［3］。随着科学技术的飞速发展和研究问题的日益复杂，量子微积分的研究迅速发展。2013年，TARIBOON 等［4］对q-微积分进行推广，提出了qa-导数和qa-积分的概念。2016 年，ALP 等［5］建立了凸函数和拟凸函数的Hermite-Hadamard 型qa-积分不等式。2019 年，JHANTHANAM 等［6］建立了qa-可微凸函数的Hermite-Hadamard 型积分不等式。在已有研究的启发下，基于二阶qa-可微凸函数，建立了一些新的Hermite-Hadamard型qa-积分不等式。

1 预备知识

首先引入记号［2］：

定义1［4，7-8］设f:[a,b] ⊂R→R是一个连续函数，0＜q＜1，则函数f在点x∈[a,b] 的q-导数被定义为：

定义2［4，7-8］设f:[a,b] ⊂R→R是一个连续函数，0＜q＜1，则函数f在点x∈[a,b] 的qa-导数被定义为：

如果对于任意的x∈[a,b]，aDq f(x)都存在，则称函数f在区间[a,b] 上是qa-可微的。显然，若在式（2）中取a=0，即有aDq f(x)=Dq f(x)。

定义3［4］设f:[a,b] ⊂R→R是一个连续函数，0＜q＜1，则函数f在点x∈[a,b] 的二阶qa-导数被定义为：

定义4［4，7-8］设f:[0 ,c] ⊂R→R是一个连续函数，0＜q＜1，则对于任意的x∈[0 ,c] ，函数f在区间[ ]0,c上的q-定积分被定义为：

例1设0＜q＜1，f(x)=xr，r∈R，则有

定义5［4，7-8］设f:[a,b] ⊂R→R是一个连续函数，0＜q＜1，则对任意的x∈[a,b] ，函数f在区间[a,b]上的qa-定积分被定义为：

定义6［9-10］设函数f:[a,b] ⊂R→R，其中a＜b。如果对于任意的x∈[a,b] 和λ∈[0 ,1] ，不等式

成立，则称f是区间[a,b]上的凸函数。

定理1［5］设f:[a,b] ⊂R→R在区间[a,b] 上是qa-可微凸函数，0＜q＜1，则

定理2［11］设函数f,g:R→R，x＞0，0＜q＜1，p1＞1。如果+=1，则

2 Hermite-Hadamard型qa-积分不等式

引理1设f:[a,b] ⊂R→R是区间(a,b)上的二阶qa-可微函数，f在区间[a,b] 上连续可积，则

其中0＜q＜1。

证由定义3，直接计算可得

在引理1中当q→1-时取极限，即得文献［12］中的引理1。

定理3设函数f:[a,b] ⊂R→R在(a,b) 上二阶qa-可微，在[a,b] 上连续可积的。若|f|在[a,b] 上是凸函数，则有

其中0＜q＜1。

证由引理1，利用f|的凸性有

在定理3中当q→1-时取极限，即得文献［13］中的性质2。

定理4设函数f:[a,b] ⊂R→R在(a,b)上二阶qa-可微，在[a,b] 上连续可积的。若f|p1（p1＞1）在[ ]a,b上是凸函数，则有

其中0＜q＜1。

证利用引理1和Hölder不等式，有

定理5设函数f:[a,b] ⊂R→R在(a,b) 上二阶qa-可微，在[a,b] 上连续可积的。若（p1＞1）在[a,b] 上是凸函数，则有

证利用引理1和Hölder不等式，有

定理6在定理5的假设条件下，有

其中

证利用引理1和Hölder不等式，有

定理7在定理5的假设条件下，有

其中

证利用引理1和利用Hölder，有

定理8在定理5的假设条件下，有

其中

证利用引理1和Hölder不等式，有

3 结论

结合q-微积分理论和凸性理论，研究了二阶qa-可微凸函数的Hermite-Hadamard 型积分不等式问题，推广了文献［12］和文献［13］的相关结论，得到了一些新的qa-积分不等式。