数值求解耦合Gross-Pitaevskii方程组 基态解的离散归一化梯度流方法

赵子尧 马强

本文提出了一种求解磁场项为常数的耦合Gross-Pitaevskii方程组基态解的数值方法. 基于单组分近似理论，本文将方程组的能量函数等价为单组分的能量泛函，然后基于降阶后的能量表达式提出了离散归一化梯度流数值方法. 数值算例表明，该方法高效且可靠.

耦合Gross-Pitaevskii方程组； 基态解； 单组分近似； 归一化梯度流

O241.82 A 2024.011002

Numerical method for the ground state solution of  coupled Gross-Pitaevskii equations

ZHAO Zi-Yao， MA Qiang

（School of Mathematics， Sichuan University， Chengdu 610064， China）

In this paper， a numerical method for solving the ground state solution of the coupled Gross-Pitaevskii equations with constant magnetic field term is proposed. Based on the single mode approximation theory， energy function of the equations is equivalently expressed by a reduced energy function with single component. Then， based on the method of discrete normalized gradient flow， the method is proposed by using the expression of reduced energy function. Numerical examples illustrate the reliability and performance of the method.

Coupled Gross-Pitaevskii equations; Ground state solution; Single mode approximation; Normalized gradient flow

（2010 MSC 65M60）

1 引 言 玻色-爱因斯坦凝聚（Bose-Einstein Condensation， BEC）是一种重要量子态. 1925年，Bose和Einstein最早在理论上预言了它的存在  ［1］ .  在BEC中，物质的温度接近绝对零度，因而直到1995年，随着激光制冷和电磁俘获技术的成熟，人类才首次在实验室中制备了分别由  87 Rb和  23 Na原子组成的BEC  ［2，3］ .

在早期的制备实验中，人们普遍使用磁场势阱来束缚原子，所得到的BEC都是没有自旋的凝聚体. 随着光阱技术的发展，2012年科学家们终于将自旋数不同的BEC分离出来  ［4］ . 我们将自旋数相同的原子的集合称为一个组分，并将包含两种以上组分的BEC称为多组分旋量玻色-爱因斯坦凝聚体（spinor Bose-Einstein Condensation， spinor BEC）. 2012年制备得到的由  23 Na原子构成的旋量为1的玻色-爱因斯坦凝聚体  ［5，6］ （spin-1 Bose-Einstein Condensation， spin-1 BEC）就是包含3种组分的spinor BEC. 这些实验结果揭示了spinor BEC中蕴含的丰富物理现象，同时也激发了科学家们对数值模拟spinor BEC基态的兴趣.

在量子理论中，基态是物质在能量处于最低点时的状态.在数学上，基态可以表示为耦合Gross-Pitaevskii方程组的能量泛函在  H   1  函数空间中的极小值点. 我们将这个函数称为spinor BEC的基态解.

5 数值算例

我们首先验证SMA-GFDN数值方法的可靠性，然后数值地研究不同参数与铁磁性spin-1 BEC基态能量之间的关系，最后比较SMA-GFDN方法与一般GFDN方法的计算效率.

我们选择2维算例，计算区域和网格尺寸分别为 D=［-8，8］×［-8，8］ ，  Δx=1/32 . 时间方向上的步长为 Δt=0.001 ，终止条件参数 ε= 1×  10   -13  .

算例5.1    本算例中的参数 β n=200 ， β s= -100  ，磁场强度 B=3+4 i，势能为2维光学晶格势能（two-dimensional optical lattice potential）

V 2（x，y）= x 2+y 2 2 +25   sin   2（ πx 4 ）+  sin   2（ πy 4 ）   （29）

初值函數为 φ 0（x，y）=  e   -（x 2+y 2）/2    π    ， 计算结果如图1所示.

图2中展示了在该算例的计算过程中总质量和总能量随计算时间的变化.

从图2中我们可以看到，在计算过程中质量保持守恒，能量单调下降，说明数值方法是可靠的.

算例5.2    在此算例中，我们研究不同参数对基态能量的影响. 设置势能函数为2维简谐势能 V 2（x，y）=（x 2+y 2）/2 . 首先，我们固定磁场强度 B（x）≡6+8 i  ，对不同的相互作用参数 β n ， β s ，spin-1 BEC基态的能量如图3所示.

从图3中我们可以看到，在其他条件相同的情况下，当 β n 与 β s 之和相同时基态解的能量也相同，且基态的能量随 β n+β s 的增大而增大.

然后，为研究不同磁场强度 B 对总能量的作用，我们计算了几组 β n+β s 相同但磁场强度 B 不同的算例. 为演示方便，我们取 B 为实数，计算结果如下图4所示.

从图4中我们可以看到，当 β n+β s 固定时，基态能量只与磁场强度 B 的绝对值有关，并且  B  越大基态的能量越小.

算例5.3    最后我们研究SMA-GFDN方法在计算恒定磁场中铁磁性spin-1 BEC基态时的效率. 在本算例中，取参数 β n=200 ， β s=-100 ，势能为2维简谐势能. 我们分别用普通GFDN方法和SMA-GFDN方法计算不同磁场强度下的基态，并记录两种方法所用的时间，结果如表1所示.

数值求解spinor BEC的基态解主要有两种方法. 第一种是离散归一化梯度流方法（Gradient Flow with Discrete Normalization， GFDN）. 该方法最早由Bao和 Du于2004年提出，用于计算单组分BEC的基态解  ［7，8］ . 由于spin-1 BEC只有质量和磁通量这两个守恒量，不足以确定三个组分的单位化系数，因而该方法不能直接用于计算自旋为1的玻色-爱因斯坦凝聚体的基态解  ［8］ . 2008年， Bao和Lim  ［9］ 基于spin-1 BEC三个组分之间的化学势能关系提出了第三个单位化系数，从而令该方法可被用于求解spin-1 BEC的基态. 第二种方法是带拉格朗日乘子的梯度流方法（Gradient Flow with Lagrange Multiplied， GFLM）. 该方法是一种基于拉格朗日乘子法的、满足质量守恒和磁通量守恒的 最优化方法. 2008年，Tian等  ［10］ 利 用该方 法数值模拟了一般旋量F的BEC （spin-F BEC） 的基态解.

特别地，在计算恒定Ioffe–Pritchard磁场中的spin-1 BEC的基态解时，已有的方法  ［11］ 一般基于spin-1 BEC的通用数学模型来设计，需要考虑spin-1 BEC的三个组分及其相互作用. 这就导致在大规模的数值模拟中这些方法的计算效率不高，计算时间长，对计算资源的占用大.

在本文中，注意到耦合Gross-Pitaevskii方程组的基态解具有的特殊性质，我们基于单组分近似方法（Single Mode Approximation， SMA）提出了一种新的基态解的数值求解方法，并给出了数值算例. 相较于已有方法，在相同计算精度下，本算法高效且可靠.

由表1我们可以看到，在恒定磁场中，SMA-GFDN方法计算铁磁性spin-1 BEC的基态耗时大约是普通GFDN方法的一半，说明在这种情况下前者更高效.

6 结 论

本文应用单组分近似理论分析了铁磁性spin-1 BEC在恒定磁场中的数学模型和能量泛函表达式，给出了SMA能量泛函的具体表达式. 在此基础上，本文利用离散归一化梯度流的思想提出了一种计算恒定磁场中铁磁性spin-1 BEC基态的数值方法. 数值算例验证了该方法的可靠性及高效.

参考文献：

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［14］ Lieb E H， Loss M. Analysis［M］. Rhode Island： AMS， 2001.

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收稿日期：  2023-04-12

基金项目：  国家自然科学基金（11801387）; 四川省自然科学基金（2022NSFSC0322）

作者简介：   赵子尧（1998- ）， 男， 重庆市人， 硕士， 主要从事数值分析与数值方法研究. E-mail： ziyao.zhao@foxmail.com

通讯作者：  马强. E-mail： maqiang809@scu.edu.cn