让解题变得容易：一道学考数学题的解法探析

刘佛莲 孔德 张远雄

教育数学思想是张景中院士在新疆15年教学经验基础上作出的思考，于1989年正式提出，主张让数学变得容易.“重建三角”“三共定理”是教育数学中的具体方案，受“三共定理”启发，笔者对2023年云南省学业水平考试（以下简称“学考”）数学试卷第23题的解法产生了思考，并得出一些启示.

一、“三共定理”的内涵

【证明思路】

根据共高定理，有

【证明思路】

如图4，连接A′C，根据共边定理，则有

二、一道学考数学题的解法探析

（一）试题呈现

题目：如图5，BC是☉O的直径，A是☉O上异于B、C的点，☉O外的点E在射线CB上，直线EA与CD垂直，垂足为D，且DA·AC=DC·AB，设△ABE的面积为S1，△ACD的面积为S2.

（1）判断直线EA与☉O的位置关系，并证明你的结论；

（2）若BC=BE，S2=mS1，求常数m的值.

（二）试题分析

从题目的设置上看，本题主要考查切线的判定、相似三角形的判定与性质等；从知识点上看，涉及对直径所对的圆周角是直角、垂线的性质、相似三角形的判定与性质、切线的判定与性质、勾股定理等内容的考查；从核心素养层面看，主要考查学生的几何直观素养和推理能力等.

（三）解法探析

笔者主要对第（2）问的解法进行探究，因此第（1）问不作详细分析.

1.第（1）问解法

根据图5，容易猜测直线EA与☉O相切，连接OA，如图6所示.

∵BC是☉O的直径，A是☉O上异于B、C的点，

∴∠BAC=90°.

∵ED⊥CD，∴∠ADC=90°，∴∠BAC=∠ADC=90°.

又∵DA·AC=DC·AB，

∴△BAC∽△ADC

∴∠2=∠4.

∵OA=OC，∴∠1=∠2，∴∠1=∠4，∴OA∥CD.

∴∠EAO=∠ADC=90°，∴OA⊥AE.

∵OA是☉O的半徑，∴EA与☉O相切，切点为A.

【评析】实际上，得出∠1=∠4后，也可以直接由∠OAD=∠1+∠3=∠4+∠3=90°，得出OA⊥EA，无需再借助平行线的判定与性质.这样可使解题思路更清晰，过程更简洁.

2.第（2）问的解法探析

思路一：作辅助线

解法1：作辅助线的方法是2023年云南省数学参考答案及评分标准中给出的解法，具体如下：

如图7，过点B作ED的垂线BF，垂足为F.

∵OA∥CD，

在Rt△EBF中，BF=BE·sin∠E，同理CD=EC·sin∠E，

【评析】该解法利用平行线间线段的比例关系、正弦分别表示出△ABE与△CAD的底边之比、高之比，进而求出△ABE、△CAD的面积之比.实际上，过点B作ED的垂线BF（即△ABE的高）的过程并不容易想到，该解法的难点也就在于作出这条辅助线.由此笔者不禁思考，若不作辅助线，该题又该如何解答？

思路二：无辅助线

解法2：相似三角形+勾股定理.

∵OA⊥DE，∴∠OAE=90°.

∵∠BAC=∠OAB+∠OAC=90°，∠OAC=∠OCA，

∴∠BAE=∠OCA.

又∵∠E为△EAB与△ECA共同的角，

∴△EAB∽△ECA.

由第（1）问可知△BAC∽△ADC，

解法3：共角定理.

如图8，∵BC=BE，∴S△EAB=S△ABC=S1（共高）.

由（1）可知：△BAC与△ADC中，∠BCA=∠ACD，

∵∠E为共角，∠OAE=∠CDE=90°，

∴△OAE∽△CDE.

【评析】在解题过程中，不仅可以发现图形中存在共高三角形，由于图中存在多组相似三角形，容易发现存在多组共角三角形.这一解法是对“共角定理”的应用，由共

解法4：共边定理.

如图8，∵BC=BE，∴S△EAB=S△ABC=S1（共高）.

∵OA∥CD，

∴4S2=2S1+S2，

三、解题启示

1.开阔解题视野，助力拔尖创新人才培养

党的二十大报告指出，坚持教育优先发展，人才引领驱动，全面提高人才自主培养质量，着力造就拔尖创新人才.拔尖创新人才的培养是教育的时代使命，教师应深入课程改革，积极探索，更新教学理念，提升自身专业水平，从而切实提升拔尖创新人才培养质量.因此，教师对拔尖创新人才的培养不应受限于教材内容、考试内容要求等.张景中院士所提出的“三共定理”及其证明简明易懂，便于学生掌握，为学生解题提供新思路，不失为一种好的解题思想与方法.“三共定理”的学习与应用，不仅有利于开阔教师和学生的视野，提升教师专业水平，同时强化学生创新意识，助力拔尖创新人才的培养.

2.关注思维培养，促使数学解题变得容易

构造辅助线往往是求解几何问题的难点，是学生解题经验的凝结，考验学生对题目的敏感度，而对多数学生而言，如何作出适合的辅助线成了解题过程中的困扰.将“三共定理”应用于几何解题，实现了面积比与线段比之间的相互转化，为学生解决几何问题搭建了新的脚手架，提供了新的解题思路，一定程度上突破了解题时添加辅助线的难点.此外，传统几何问题的解决通常依赖于相似或全等三角形，但学生不易发现，证明过程较为烦琐.相对而言，共高、共角、共边三角形是更为常见的几何图形，普遍存在于几何题目中，更易于发现.因此，“三共定理”的适用范围较广，若能将“三共定理”作为学生的储备知识，不仅有助于学生思维的培养与提升，也找寻到了一条路径，使数学解题变得容易，让数学变得更容易学.

3.培养几何直观，加速数学核心素养落地

共高、共边、共角三角形的图形特征明显，是几何教学中一类基本的图形，“三共定理”则是对这组模型的总结与应用.解题过程中，熟悉并积极地应用“三共定理”内容，能够帮助学生把陌生的、复杂的几何图形化归为熟悉的、简单的几何图形，再结合学生解题的经验和体验，帮助学生形成解题的通性通法，让数学解题变得容易，增强学生学习数学的兴趣和自信心.此外，在解决几何问题的过程中，教师要不断提升学生观察分析图形的能力，让学生积极感知几何图形及其组成要素，并能够根据图形特征进行分类，引导学生自主提炼解题模型，强化学生的模型观念，由此培养学生的几何直观素养，真正实现核心素养的落地与发展.