用画长方形图法巧解“鸡兔同笼”问题

张富强 王春林

“鸡兔同笼”问题是我国民间广为流传的数学趣题，最早出现在《孙子算经》中。在小学阶段教学此问题，主要目的是引導学生通过猜测、列表、画图、假设、转化等方法解决问题，培养学生有序思考及逻辑推理能力。笔者以画长方形图法帮助学生理解“鸡兔同笼”问题，提高学生解决问题的能力。

一、以画长方形图法直观地分析、解决问题

教学“鸡兔同笼”问题，教师常用的画图法是用一个小圆圈代表鸡和兔的头，在圆圈的下面画2条或4条短线分别代表鸡脚的只数、兔脚的只数。这样的画图法美中不足的地方在于笼中动物的头数不能太多，否则画起来费时、费力。为了避免这个问题，笔者在教学“鸡兔同笼”问题时引入画长方形图法（如图1）。

图1中，黑色、蓝色长方形的长分别代表鸡、兔的头数，宽分别代表每只鸡有2只脚、每只兔有4只脚，两个长方形长的和代表鸡和兔共有35个头，两个长方形的总面积代表鸡和兔的总脚数94只。这样就把“鸡兔同笼”问题转化成已知两个长方形的面积与长的和，以及每个长方形的宽，求每个长方形的长是多少。

二、借助画长方形图法理解、掌握假设法

假设法是解决“鸡兔同笼”问题最常用的方法，也是本课的教学重点；体会假设法的逻辑性和一般性是本课的教学难点。教学中，不少学生不明白“假设都是鸡（兔），先求出来的是兔（鸡）的只数”的道理。教师如果借助上面所画的长方形图引导学生分析问题，学生就比较容易理解、把握假设法的本质，进而顺利地解决这些问题。

图1实际上是一个组合图形，求这样的组合图形面积，学生已经掌握了许多种方法。其中，分割法和填补法正好与假设法的两种假设情况相对应，有利于学生理解、掌握假设法。

如图2，假设笼子里35只动物都是鸡，就把图中的长方形用红线横着分割一下。

上面组合图形被红线分成①和②两个长方形。长方形①的面积是“35×2=70”，就是有70只脚。长方形②的面积是“94-70=24”，就是比实际少了24只脚，需要增加兔的只数，同时对应减少鸡的只数。长方形②的宽是“4-2=2”，就是每增加1只兔即减少1只鸡，脚的总数增加2只。长方形②的长是“24÷2=12”，就是需要增加的兔的只数是12只。从长方形②中可以看出，先求出来的是兔的只数，最后用“35-12=23”求出鸡有23只。

再如，假设笼子里35只动物都是兔，如图3所示，把图中长方形左上角用黄线补一个小的长方形即长方形③，凑成一个大长方形。

图3

图3中，最大长方形的面积是“35×4=140”，就是有140只脚。黄色长方形③的面积是“140-94=46”，就是比实际多了46只脚，需要减少兔的只数，同时对应增加鸡的只数。长方形③的宽是“4-2=2”，就是每减少1只兔即增加1只鸡，脚的总数减少2只。长方形③的长是“46÷2=23”，就是需要增加的鸡的只数是23只。从长方形③中可以看出，先求出来的是鸡的只数，最后用“35-23=12”求出兔的只数为12只。

假设法比较抽象，借助画长方形图，学生可以便捷地解决问题，把握假设法的本质。

三、拓展运用画长方形图法，培养创新意识

教师可以设计项目化学习，先引导学生拓展运用画长方形图法，使它成为解决“鸡兔同笼”问题的主要方法，再引导学生通过变式练习建立“龟鹤问题”“坐船问题”“植树问题”“答题问题”等与“鸡兔同笼”问题的联系，灵活地运用画长方形图法解决这类问题，使它成为学生思考与解决问题的一种重要方法，从而拓展学生的数学思维，培养学生的创新意识。

教师可以利用信息技术使图1中表示鸡、兔的长方形的大小动态变化，使学生直观地感知如果鸡的只数增加，兔的只数减少，笼子里脚的总只数也随着减少；如果鸡的只数减少，兔的只数增加，笼子里的脚的总只数反而增加，但无论怎样变化，每只鸡和兔的脚的总数总是相差2只。

教师还可以利用人教版数学四年级下册“鸡兔同笼”中的“阅读材料”引导学生了解“抬脚法”：你知道古人是怎样解决“鸡兔同笼”问题的吗？（指《孙子算经》中的原题）假设让鸡抬起一只脚，兔抬起两只脚，还有“94÷2=47”只脚；这时每只鸡一只脚，每只兔两只脚，笼子里只要有一只兔，那么脚的总数就比头的总数多1；这时脚的总数与头的总数之差为“47-35=12”，兔的只数就是12。抬脚法也可以用画长方形图法来理表示，只要将图1中表示鸡脚、兔脚数量的长方形的宽分别变成1和2，就可以帮助学生轻松地掌握这种方法，进一步感悟我国古代数学家的智慧。

“鸡兔同笼”问题还可以用方程法解答，但不少学生找不到题目中隐含的等量关系。教师可以引导学生借助画长方形图直观地找出等量关系。通过观察图1，依据表示鸡、兔只数的长方形的两条长与35个头的关系，可以得出“鸡的只数+兔的只数=鸡、兔的总只数‘35”；依据表示鸡、兔脚数的长方形的面积与94只脚的关系，借助长方形面积计算公式，可以很容易地得出“鸡的只数×2+兔的只数×4=脚的总只数‘94”。如果设兔有x只，那么鸡就有“35-x”只。根据等量关系列方程“2（35-x）+4x=94”，解方程得“x=12”，即兔有12只，再用“35-12=23”求出鸡有23只。这样，教师利用画长方形图法帮助学生找到了数量关系，顺利地用方程法解决了问题。

（作者单位：老河口市实验小学）

责任编辑  张敏