一类随机SWEIA艾滋病毒传播模型的动力学分析

马怡婷 张太雷 邓金超

摘 要：研究了一类具有随机效应的SWEIA艾滋病毒传播模型.首先，通过构造Lyapunov函数证明了确定性模型平衡点的全局渐近稳定性，利用停顿理论等方法证明了随机模型正解的全局存在唯一性与有界性；其次，分析了随机模型的解在相应确定性模型的无病平衡点与地方病平衡点附近的震荡行为，并得到了随机模型解的平均持续与灭绝性的充分条件；最后，通过数值模拟进一步显示了模型的动力学行为.

关键词：随机模型；It?公式；震荡行为；持久性；灭绝性

中图分类号：O175.1文献标志码：A文章编号：1000-2367（2024）02-0041-10

艾滋病（AIDS）是一种对人类健康危害极大的传染病，它由人类免疫缺陷病毒（HIV）引起，通过大规模破坏人免疫系统中最重要的CD4-T淋巴细胞，使免疫功能失控，从而丧失抵御疾病的能力.因此，人体易感染各种慢性疾病，引发并发症，并能导致恶性肿瘤，疾病的死亡率较高^［1］.国内外的多个学者对HIV/AIDS的传播规律进行了深入研究^［2-3］.SHOFIANAH等^［4］讨论了具有垂直传播与治疗且具有两个潜伏期的HIV/AIDS传染病模型的最优控制问题，利用Pontryagin原理，得到了以最小的控制成本减少感染/症状亚群数量的最有效控制.MARSUDI等^［5］研究了一类确定性的HIV/AIDS模型，得到了各类平衡点的全局稳定性，并对参数进行敏感性分析，结果表明：无症状感染者（艾滋病前期）与易感者的有效接触率对HIV/AID的传播影响最大.但是在现实中，由于环境多变，生物会受到各类随机因素的干扰，且大多数问题都具有不确定性，确定性的传染病模型很难做到对实际情况进行具体描述.因此，学者们开始重视随机数学模型^［6-9］，并取得了很大进展^［10-12］.KHAN等^［13］考虑了具有随机扰动和时滞的冠状病毒流行模型，研究结果表明：布朗运动与噪声项对流行病传播的影响非常高，若噪声很大，疾病可能会减少或消失.HOU等^［14］提出了一类随机SIHR的 COVID-19流行模型，数值分析了传播速率、噪声强度等参数对疾病传播的影响，并得到结果：在忽视环境噪声影响的情况下，确定性模型的阈值水平被高估.文献［15］研究了确定性的SWEIA艾滋病毒传播模型：

为更好地描述HIV传播的动力学行为，在文献［15］的基础上引入随机扰动因素，建立具有随机扰动的SWEIA艾滋病毒传播模型.

1 模型建立

2 全局正解的存在与唯一性与有界性

3 随机模型（2）的解在无病平衡点附近的渐近行为

4 随机模型（2）的解在地方病平衡点附近的渐近行为

5 平均持续性

6 随机灭绝性

注 定理7表明，当R₀＞1时，确定性模型（1）的艾滋病还在流行，但随机模型（2）的艾滋病已经灭绝，说明强噪声可以使疾病灭绝.

7 数值模拟

利用MATLAB模拟确定性模型与随机模型（2）的解曲线，比较二者解的渐近行为之间的差异.取初值（S（0），W（0），E（0），I（0），A（0））=（1.4，0.9，0.5，0.5，0.5）.

（1）分别取参数Λ=1，μ=0.5，β₁=0.05，β₂=0.1，β₃=0.2，σ=0.3，α=0.1，γ=0.2，ρ=0.3，σ₁=0.01，σ₂=0.1，σ₃=0.1，σ₄=0.1，σ₅=0.1，此时R₀＜1，且滿足定理4的条件，模拟结果如图1（a-d）所示.其他参数不变，取σ₁=0.1，σ₂=0.5，σ₃=5.0，σ₄=0.5，σ₅=0.5，满足定理4的条件，模拟结果如图1（e-h）所示.从图1可看到，随机模型（2）与确定性模型（1）均收敛于P⁰，且震荡幅度与σ_i（i=1，2，…，5）相关.

（2）分别取参数Λ=0.4，μ=0.1，β₁=0.1，β₂=0.3，β₃=0.4，σ=0.1，α=0.05，γ=0.2，ρ=0.25，σ₁=0.005，σ₂=0.004，σ₃=0.005，σ₄=0.004，σ₅=0.003，此时R₀＞1，模拟结果如图2（a-d）所示.其他参数不变，取σ₁=0.05，σ₂=0.04，σ₃=0.05，σ₄=0.04，σ₅=0.03，模拟结果如图2（e-h）所示.从图2可观察到随机模型（2）与确定性模型（1）均收敛于P^*，且随机模型（2）的解围绕P^*做随机震荡.震荡幅度与σ_i（i=1，2，…，5）成正比.

（3）分别取参数Λ=1，μ=0.1，β₁=0.01，β₂=0.02，β₃=0.05，σ=0.3，α=0.1，γ=0.2，ρ=0.4，σ₁=0.005，σ₂=1.5，σ₃=1.3，σ₄=1.5，σ₅=0.8，此时R₀＞1.取M=m₂，θ₁=1.2，θ₂=1.0，满足定理7的条件，得到图3.从图3中可以看出，此时虽确定性模型的解仍在地方病平衡点处稳定，但随机模型（2）中的艾滋病已经灭绝，由此可知，当随机干扰强度足够大时，可以导致W（t），E（t），I（t）灭绝.

8 结 论

本文首先研究了具有随机效应的SWEIA艾滋病毒传播模型，得到了确定性模型（1）平衡点的全局渐近稳定性与随机模型（2）正解的全局存在唯一性与有界性.其次，讨论了当R₀＜1时，随机模型（2）的解在相应确定性模型的无病平衡点附近扰动，且扰动程度与σ_i（i=1，2，…，5）相关；当R₀＞1时，随机模型（2）的解在相应确定性模型的地方病平衡点附近扰动，且扰动程度与σ_i（i=1，2，…，5）成正比.之后，分析了艾滋病传播的灭绝趋势，进而可以控制随机模型（2）中相应参数的大小，达到控制艾滋病传播的效果.最后，通过数值模拟验证了理论结果.

参 考 文 献

［1］王楚雯，胡颖，侯颖.广西壮族自治区艾滋病模型及预测分析［J］.检验检疫学刊，2020，30（2）：6-9.

WANG C W，HU Y，HOU Y.Modeling and predictive analysis of AIDs in Guangxi Zhuang autonomous reigion［J］.Journal of Inspection and Quarantine，2020，30（2）：6-9.

［2］WU P，ZHAO H Y.Mathematical analysis of an age-structured HIV/AIDS epidemic model with HAART and spatial diffusion［J］.Nonlinear Analysis：Real World Applications，2021，60：103289.

［3］张婷，张太雷.一类具有VCT意识的HIV/AIDS传染病模型［J］.重庆理工大学学报（自然科学），2022，36（4）：254-261.

ZHANG T，ZHANG T L.A class of HIV/AIDS epidemic model with VCT awareness［J］.Journal of Chongqing University of Technology（Natural Science），2022，36（4）：254-261.

［4］SHOFIANAH N，FITRI S，TRISILOWATI，et al.Optimal control of HIV/AIDS epidemic model with two latent stages，vertical transmission and treatment［J］.Journal of Physics：Conference Series，2020，1562（1）：012017.

［5］MARSUDI，TRISILOWATI，SURYANTO A，et al.Global stability and optimal control of an HIV/AIDS epidemic model with behavioral change and treatment［J］.Engineering Letters，2021，29（2）：575-591.

［6］BARDINA X，FERRANTE M，ROVIRA C.A stochastic epidemic model of COVID-19 disease［J］.AIMS Mathematics，2020，5（6）：7661-7677.

［7］RAZA A，RAFIQ M，BALEANU D，et al.Competitive numerical analysis for stochastic HIV/AIDS epidemic model in a two-sex population［J］.IET Systems Biology，2019，13（6）：305-315.

［8］张启敏，曹博强，牟晓洁.具有信息干预的随机SIRS传染病模型正解的存在性与灭绝性［J］.河南师范大学学报（自然科学版），2018，46（4）：1-7.

ZHANG Q M，CAO B Q，MU X J.The existence of positive solution and extinction of a stochastic SIRS epidemic model with information intervention［J］.Journal of Henan Normal University（Natural Science Edition），2018，46（4）：1-7.

［9］RIFHAT R，TENG Z D，WANG C X.Extinction and persistence of a stochastic SIRV epidemic model with nonlinear incidence rate［J］.Advances in Difference Equations，2021，2021（1）：1-21.

［10］ZHANG Y H，MA X S，DIN A.Stationary distribution and extinction of a stochastic SEIQ epidemic model with a general incidence function and temporary immunity［J］.AIMS Mathematics，2021，6（11）：12359-12378.

［11］郭曉霞，孙树林.混合随机SIR传染病模型的动力学分析［J］.系统科学与数学，2022，42（4）：992-1010.

GUO X X，SUN S L.Dynamic analysis of a hybrid stochastic SIR epidemic model［J］.Journal of Systems Science and Mathematical Sciences，2022，42（4）：992-1010.

［12］胡瑞，黄立冬，李荣庭，等.一类潜伏期与染病期均具有传染性的随机传染病模型［J］.云南民族大学学报（自然科学版），2022，31（2）：213-220.

HU R，HUANG L D，LI R T，et al.A stochastic epidemic model with infectivity in both incubation period and infection period［J］.Journal of Yunnan Minzu University（Natural Sciences Edition），2022，31（2）：213-220.

［13］KHAN A，IKRAM R，DIN A，et al.Stochastic COVID-19 SEIQ epidemic model with time-delay［J］.Results in Physics，2021，30：104775.

［14］HOU T F，LAN G J，YUAN S L，et al.Threshold dynamics of a stochastic SIHR epidemic model of COVID-19 with general population-size dependent contact rate［J］.Mathematical Biosciences and Engineering，2022，19（4）：4217-4236.

［15］龚道远，李智明，张宇翔，等.SWEIA艾滋病毒传染模型及应用［J］.数学的实践与认识，2017，47（6）：170-179.

GONG D Y，LI Z M，ZHANG Y X，et al.SWEIA HIV/AIDS epidemic model and application［J］.Mathematics in Practice and Theory，2017，47（6）：170-179.

Dynamic analysis of an SWEIA HIV infection model with stochastic effects

Ma Yiting， Zhang Tailei， Deng Jinchao

（School of Science， Chang'an University， Xi'an 710064， China）

Abstract： An SWEIA HIV epidemic model with stochastic effects is studied. Firstly， the global asymptotic stability of the equilibrium of the deterministic model is proved by constructing Lyapunov function， and the global existence， uniqueness， and boundedness of the positive solution of the stochastic model are proved by using stopping time theory. Secondly， the oscillation behavior of the solution of the stochastic model around the disease-free equilibrium and endemic equilibrium of the corresponding deterministic model is analyzed， and the sufficient conditions for the mean persistence and extinction of the solution of the stochastic model are obtained. Finally， the numerical simulation further shows the dynamic behavior of the model.

Keywords： stochastic model; It? formula; oscillating behavior; persistence; extinction

［責任编校 陈留院 赵晓华］