一种快速高精度正弦信号频率估计新方法

杨建

【摘   要】   针对受高斯白噪声干扰的正弦波信号，提出了一种基于DFT 插值的信号频率估计的新方法。在总结经典插值算法的基础上，充分利用DFT后频谱峰值及其左右谱线的实部和虚部值进行高精度频率估计。经理论分析和仿真实验证明，当信噪比（SNR）在-5 dB以上时，频率估计的方差趋近于克拉-美罗下界（CRLB）。与经典Rife法对比，相同条件下该算法综合性能更好、更稳定，并且计算复杂度更低，便于实现和应用。

【关键词】   频率估计；快速傅里叶变换；正弦波信号；高斯白噪声；信噪比

A Fast and Accurate Frequency Estimation Algorithm of Sinusoid Signal

Yang Jian

（National Key Laboratory of Electromagnetic Space Security， Chengdu 610036， China）

【Abstract】    For the sinusoidal signal disturbed by Gaussian white noise，a frequency estimation algorithm based on DFT interpolation algorithm is proposed in this paper. Based on the classical interpolation algorithm， the algorithm of this paper takes full use of the Peak Spectral Frequency and its neighbor spectral lines to estimate the frequency of the signal. The analysis and simulation results indicate that the performance of the algorithm approaching to the Cramer Rao lower bound （CRLB） when the signal to noise ratio （SNR） is higher than -5 dB. Compared with the classical Rife algorithm， the proposed algorithm is better and more stable in performance under the same conditions， and the algorithm has low computational complexity and is easy to implement and apply.

【Key words】     frequency estimation; fast Fourier transform （FFT）; single sine signal; Gauss white noise; SNR

〔中图分类号〕  TN971               〔文献标识码〕  A              〔文章编号〕 1674 - 3229（2024）01- 0042 - 05

0     引言

目前应用于通信领域的数字接收机的信号处理要求具有良好的带通采样和高效的下变频功能，这就需要测量信号频率以便于实施后续的信号和信息处理。接收机需要对待接收的电磁信号进行采样并下变频后精确估计其频率。对接收的信号（如通信信号等）载频精确估计，是几乎所有数字接收机的基本而关键的技术。测频算法包括时域法、频域法以及时频分析法等等。这些算法中，多信号分离能力强且信噪比要求较低的频域算法，非常适合在多种通信信号混叠环境以及复杂通信信号调制的情况使用。频谱分析为傅里叶变换的最重要功能，频域算法大多采用离散傅里叶变换（DFT，discrete fourier transform）进行频谱分析。DFT算法成熟且所得频谱的含义明确，通过快速傅里叶变换（FFT，fast fourier transform）可以使计算量降低到可接受范围，因此频域分析法估计频率得到了广泛应用。

频域法估计信号频谱时，在信号功率未被噪声功率覆盖（信噪比高于某一阈值）情况下，定位幅度谱峰值位置可以计算出信号载频。离散化的两谱线距离为[fsN]（[fs]是信号采样率，N是FFT点数），介于谱線间的频率都会划归到最近的谱线上，故FFT后直接估计载频的误差范围是[0～[fs2N]]。应用于通信等领域的数字接收机需要更高的频率测量精度，因此需要采用更好的频率估计算法来提高测频的精度，以保证信息传输质量和接收效果。

针对频域算法进行信号频率估计，学者们已经提出很多方法。文献［1］和文献［2］提出了频率的最大似然估计（ML）算法，该算法对受高斯白噪声干扰的正弦信号的估计误差能达到克拉-美罗下限（CRLB，Cramér-Rao low bound），是一种最优估计，该算法缺点是需要采用搜索运算，计算量很大。文献［3］提取出Rife算法，利用最大的两根谱线进行插值运算，然后对频率进行估计，该算法优点是在两离散量化频率间的中心位置附近时，频率估计非常接近真实值，并且估计方差值趋近于CRLB，缺点是在信号频率位于离散的量化频率点附近时频率估计误差很大，甚至大于最简单的FFT法。文献［4］和文献［5］提出修正Rife算法，优点是在最大谱线之间所有区域上估计方差都接近CRLB，缺点是需要进行迭代以提高精度，使运算量大大增加。

上述算法各有优点，但应用于数字接收机却受其缺点限制，很难兼顾高稳定性、计算量小和精度高这三方面。实际应用中需要的是一种在两量化频率之间整个区域都有很高估计精度、计算量小的频率估计算法。对此本文提出了一种三谱线频率估计插值算法，充分利用信号FFT计算结果的实部与虚部值，进行内插计算便可获得很高的估计精度，计算量比Rife法稍大，但频率估计稳定性优于Rife算法，且兼顾了高估计精度，便于实现和应用。

1     经典频域插值测频算法

应用DFT进行谱估计，硬件实现中可用成熟的FFT降低算法复杂度。目前的频率估计插值法主要是DFT变换并结合幅度谱进行插值以提高测频准确度。目前公认高效的频率估计插值算法包括：经典的双线幅度法（Rife法）、二次频率内插法、双线性对称频率内插法、单线相位法等［6］。

单载频实正弦信号数字化为

[x（n）=asin（2πnf0/fs）]               （1）

其中[a]是信号幅度，[fs]是采样频率，[f0]是信号频率。该信号N点的DFT为

[X0（k）=n=0N-1x（n）e-j2πkn/N=a2j1-ej2π（k0-k）1-ej2π（k0-k）/N-1-ej2π（k0+k）1-ej2π（k0+k）/N                         （2）]            其中，[k0=Nf0/fs]为信号真实频率位置。由信号的DFT变换得到其幅度谱

[S（k）=X0（k）]                 （3）

然后用幅度谱进行各种插值运算，使测频精度在直接FFT法基础上有了不同程度提高。

1.1   双线幅度法

双线幅度法即Rife方法是一种经典的频域插值频率估计算法，它的修正因子为

[Δk=-S（km-1）S（km）+S（km-1）                0S（km+1）S（km）+S（km+1）当S（km-1）>S（km+1）當S（km-1）=S（km+1）当S（km-1）

[f0=（km+Δk）*fs/N]                   （5）

再根据式（5）计算估计频率[f0]。该算法的修正因子算法决定，当[f0]离幅度值最大谱线[km?fs/N]稍远时，由Rife插值算法估计的[f0]性能较好；缺点是当信号频率[f0]接近最大谱线[km?fs/N]时，估计误差很大甚至大于直接FFT后的频率估计误差。

1.2   二次频率内插法

该算法假设二次方程[S（k）=ak2+bk+c]是幅度谱的逼近，取[（km-1，S（km-1））][（km，S（km））][（km+1，S（km+1））]三点组成一个方程组求解可以得到

[Δk=-b2a=12*S（km+1）-S（km-1）2S（km）-S（km-1）-S（km+1）]   （6）

二次逼近频率内插法算法复杂度低、运算量小且估计精度较高有一定应用价值。

1.3   双线性对称频率内插法

该算法利用了信号FFT后的离散化频谱之间的时间间隔一般很小的特点，在此基础上最大谱线两端次大值谱线间隔时间也接近。由此可以推导出本算法的频率修正因子为

[Δk=-S（km-1）-S（km+1）S（km）-S（km+1）               0S（km+1）-S（km-1）S（km）-S（km-1）当S（km-1）>S（km+1）当S（km-1）=S（km+1）当S（km-1）

再根据式（5）计算估计频率[f0]。双线性频率内插法主要基于近似认为次大谱线关于最大谱线对称，然后进行频率修正因子计算。这种插值法在二次频率内插法优点的基础上进一步提高了测频的精度。

1.4   单线相位法

该算法适合已知初相的情况，主要是利用最大谱线和提取其DFT后的相位来估计频率。去掉初相的方法是取两不同点数的来自原信号序列，然后对这两个序列做DFT运算，将所得的频谱最大值相位相减即可去掉相位影响。设[N、M]为两序列的点数，[km0]、[km1]为[N、M]点FFT后所得频谱的峰值位置，[β]是两个序列的相位差。综合本算法的频率估计为

[f0=fsN-MN-1Nkm0-M-1Mkm1-βπ]   （8）

2     频率估计新方法

Rife算法只利用了FFT后频谱的幅度信息进行内插计算修正因子，并没有充分利用FFT后频谱实部与虚部两部分的信息。先验信息并未得到充分利用也是Rife算法精度不稳定的原因。本文提出了一种充分利用FFT后频谱实部和虚部先验信息的内插算法，计算过程如下：

（1） 对（1）式信号进行N点FFT计算，得到频谱的复数序列[Xk]。

（2） 对所得的复数频谱序列[Xk]求绝对值并取其前N/2点，然后找到绝对值最大谱线所对应的序号[ko]，其中0≤[ko]≤N/2。

（3） 计算得到[ko]的修正因子

[δk=-realXko+1-Xko-12Xko-Xko+1-Xko-1]     （9）

（4） 将[δk]带入式（5）得到频率的估计值

[f0=（ko+δk）*fs/N]                （10）

式（9）是新算法核心，新算法充分利用了FFT后频谱峰值的实部与虚部值来进行修正因子的计算，可以充分利用实部和虚部信息不断修正FFT计算所得的频率，由于真实频率在最大谱线和次大谱线之间所有区域对应了不同的频谱峰值复数值，所以修正因子计算更稳定，保证了算法的稳定性。

3     算法建模仿真与性能分析

用MATLAB对新算法进行建模和仿真，为了保证仿真结果的稳定性和可靠性，应用了蒙特卡罗方法。仿真中观测到信号序列的点数为N，信号的采样率为[fs]，信号频率[f0=（ko+Δk）*fs/N]，其中[1≤ko≤N2-1]且为整数，[-0.5≤Δk≤0.5]。信号经过DFT变换后对应的最大谱线位置为[ko+Δk]，由于[Δk]在-0.5～0范围与其在0～0.5范围对应频率估计性能的变化曲线关于[Δk=0]对称，所以只研究后者对应曲线即可。仿真中可以通过固定[ko]并使[Δk]在0～0.5范围，此时经过算法前两步得到最大譜线位置为[ko]。取合适的增量使[Δk]从0递增到0.5，继续本文算法的后两步，便可以在仿真中得到信号真实频率偏离FFT所得频谱最大谱线范围为0～[fs/2N]时，新算法得到的修正因子[δk]以及频率的估计值[f0]。为了量化测频精度，用归一化后频率估计误差的方差来衡量新算法的估计精度，以下简称为归一化频偏方差，它的定义式为

[var=Ef0-fo2]                （11）

文中以归一化频偏方差的大小作为对算法的估计性能优劣的衡量标准。 此外本文要将新算法与经典的Rife算法进行性能比较以论证其是否具有应用价值。用受高斯白噪声干扰的单载频正弦波信号作为仿真实验待估计频率信号

[x=asin2π（ko+Δk）*fs/N+Noise]   （12）

其中[a]为信号幅度，[Noise]为所加高斯白噪声。

3.1   估计性能

由采样定律可知载波频偏[fo≤12fs]时，本算法适用；当采样速率[fs=1T]时， 新算法的估计范围为[fo≤fs2]。图1是[Δk]在0～0.5范围变化时， 归一化频偏方差随[Δk]变化的曲线，4条曲线分别是信噪比为-5 dB、0 dB、5 dB、10 dB时归一化频偏方差变换规律。图1表明在几种信噪比下，新算法的归一化频偏方差随[Δk]取值不同可基本保持平稳。

为进一步评价新估计方法的估计精度，将新算法归一化频偏方差与克拉-美罗界进行比较。载波频率估计的修正克拉-美罗下界是估计能达到的最小值，对于相位和幅度没有给出时，正弦信号的归一化频率估计误差方差的下界是：

[CRB（fo）=6f2s2π2N（N2-1）SNR]          （13）

式中SNR为信噪比，且满足[SNR=A2/2δ2]。

图2表明信噪比低于某个门限值时， 归一化频偏方差值急剧增大，估计精度大幅降低。原因是信噪比低于门限时，噪声淹没信号频谱，最大幅值位置随机变化，使估计误差非常大。综合图2各条曲线随信噪比变化的规律，可以得出新算法的信噪比门限值为-5 dB，使得新算法可以对低信噪比含噪信号的频率估计更准确。

3.2   与Rife算法性能比较

首先将新算法与Rife算法进行性能稳定性比较。信噪比为5 dB时，新算法和Rife算法的归一化频率估计方差随[Δk]变化曲线如图3所示。新算法在[0≤Δk≤0.25]范围内性能有了明显的改善，解决了Rife算法在这个范围内估计精度较差的问题。这是因为新算法充分利用最大幅度及其左右的幅度进行修正因子的计算（式（9），不需要对左右幅度值比较，也不必再次用大幅度值对修正因子计算，很大程度上避免了Rife算法当真实频率在量化频率附近时最大幅度的误选，故新算法稳定性比Rife算法好。

其次将新算法与Rife算法进行高精度估计时的信噪比门限比较。由图3仿真结果及前述分析可知，Rife法在[Δk]取值在0.25～0.5范围时，估计精度接近CRLB性能，因此有更好的信噪比门限特性。如图4所示，仿真中取Rife算法估计精度非常高的[Δk]=0.40和估计精度低的[Δk]=0.15进行实验。

图4说明Rife算法对噪声更为敏感：[Δk]=0.40时，Rife算法性能较好，其噪声门限达到-8 dB，而新算法信噪比门限约为-8.2 dB；[Δk]=0.15时Rife算法性能较差，信噪比门限约为-7 dB，而新算法信噪比门限约为-9 dB，尽管这种条件下Rife算法信噪比门限接近本文算法，但是其估计性能远低于新算法。综合比较上述两种条件下仿真结果，新算法的工作信噪比门限比Rife算法好。

最后将新算法与Rife算法进行运算量比较。通过表1得出对信号进行FFT运算由位数N决定，所以新算法的运算量仅比Rife算法多1次复乘和3次复加运算。而M-Rife算法相比前两者增加了大量复乘以及复加运算，其高精度的频率估计建立在很高的计算复杂度上。综合来看本文算法性能优于经典Rife算法并且几乎没有增加运算量，与M-Rife算法相比运算复杂度低，在一般情况下本文算法更容易硬件实现。

4     结语

本文提出了一种高精度频率插值估计新算法，仿真实验表明，估计精度非常高近修正克拉-美罗限，并且稳定性比Rife算法好。此外，新算法信噪比门限比Rife算法低3 dB左右，当信噪比不理想时能更精确测得频率值。与此同时，本文算法的计算量与Rife算法计算量相当，较当前性能研究很多的M-Rife算法，新算法的运算量大大降低。新算法的关键是快速傅里叶变换求频谱，在硬件上非常容易实现，因此新方法可以在通信领域数字接收机的信号处理中获得应用并提高其解析和處理信号的能力。

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