优化模糊综合评价模型在水质评价中的应用

李鑫

【摘   要】   基于熵权法和层次分析法，并采用博弈论，将主客观权重相结合，确定了综合权重，优化了模糊综合评价模型的赋权过程，最后结合加权平均法，构建了水质评价优化模型。通过对案例中的水样进行评价，结果显示：7个采样点当中，II类水和III类水的采样点有4个，占比57.14%；IV类水的采样点有3个，占比42.86%。相较于单一熵权法赋权的模糊综合评价模型，优化后的评价模型综合考虑了主客观权重和评价因素对于整体水质影响，合理反映了水质特征，可为类似地区的水质评价工作提供参考。

【关键词】   熵权法；层次分析法；博弈论；加权平均法；模糊综合评价；水质评价

The Application of Optimized Fuzzy Comprehensive Evaluation Model

in Water Quality Evaluation

Li Xin

（Guizhou University， Guiyang 550025， China）

【Abstract】     Based on the entropy weight method and analytic hierarchy process， the author， by using game theory， combines the subjective and objective weights， determines the comprehensive weights and optimizes the fuzzy comprehensive evaluation model's assignment process， constructing the optimization model for water quality evaluation by combining the weighted average method. After evaluating the water samples in the cases， the author finds that， among the seven areas， the distribution areas of Class II and Class III water are four， accounting for 57.14%， and the distribution areas of Class IV water are three， accounting for 42.86%. Compared with the fuzzy comprehensive evaluation model assigned by the single entropy weighting method， the optimized evaluation model reasonably reflects the water quality characteristics under the comprehensive consideration of the subjective and objective weights and the influence of the evaluation factors on the overall water quality， which can provide a reference for the evaluation of water quality in similar areas.

【Key words】     entropy weight method; analytical hierarchy process; game theory; weighted average method; fuzzy comprehensive evaluation; water quality evaluation

〔中圖分类号〕  X824                 〔文献标识码〕  A              〔文章编号〕 1674 - 3229（2024）01- 0012- 06

0     引言

开展水质评价是合理利用水资源的基础性工作，目前，水质指数法、主成分分析法、灰色聚类分析等在水质评价中被广泛应用［1-2］。但在实际的评价工作中，上述方法存在一些局限性，主要体现在它们无法处理水质评价中的主观性、模糊性以及不确定性［3］。为了有效解决这些问题，许多学者开始将模糊逻辑引入到水质评价中，尝试把各种问题转化为数学结构来解决。模糊综合评价法就是基于模糊数学的概念，通过隶属度来表示各水质指标对各水质类型的归属程度，从而达到确定水质类型的目的［4］。

在模糊综合评价中，指标权重的确定尤为关键，直接影响评价结果的合理性。张岩祥等［5］采用层次分析法、邹志红等［6］利用熵权法确定了评价指标权重，分别对白城市和三峡库区进行了水质评价。钱程等［7］通过主成分分析法计算了权重矩阵，再结合模糊综合评价对洛河油田富县区块的地下水质进行了评价。上述研究均只单一地从主观或客观角度确定了指标权重，容易受到人为主观或某一因素的限制［8］，导致评价结果与真实水质情况之间可能会存在偏差。此外，评价结果的判定准则是否合理也是影响其准确性的一个重要因素。

过去的学者更多采用最大隶属度原则进行最终判定，忽视了最大隶属度原则存在的有效性问题［4］。因此，本文基于层次分析法和熵权法，采用博弈论将主观和客观权重相结合，确定综合权重，同时通过加权平均法对水质类型进行综合评价。将优化后的模糊综合评价模型与单一方法赋权的模糊综合评价模型进行对比，探讨该模型的实用性，为水质评价工作提供新的见解。

1     构建优化模型

1.1   确定综合权重

1.1.1   熵权法

熵权法主要是依据指标的离散程度来确定各指标的权重。对于某一指标，可以依据熵值的大小来判断指标的离散程度，熵值越大表明指标的离散程度越小，提供的信息量越少，则该指标对整体评价的影响（即权重）就越小［9］。作为常用的一种客观赋权方法，在水质评价中，具体赋权步骤如下［10］。

（1）构建标准化矩阵

基于n个评价指标，m个评价对象的地下水水化学数据矩阵，经归一标准化处理后，构成标准化矩阵，如式（1）：

[Y=yijn×m] （1）

在水质评价中，对于数值越小越优的指标，归一标准化公式如式（2）：

[yij=maxxij-xijmaxxij-minxij] （2）

式中：[0≤yij≤1]；[xij]为第j个评价对象的第i个评价指标的实测值；[minxij]和[maxxij]分别为[xij]的最小值和最大值。

（2）计算熵值

第i个评价指标的熵值（Hi）计算公式如式（3）和式（4）：

[Hi=-kj=1mfijlnfij （i=1，2，…，n;j=1，2，…，m）]（3）  [         fij=yijj=1myij，k=1lnm] （4）

式中，为避免出现[fij=0]的情况，需对其进行修正，具体修正公式如式（5）：

[fij=1+yijj=1m1+yij] （5）

（3）计算权重

计算出各评价指标的熵值后，便可确定各评价指标的熵权（wi），具体公式如式（6）：

[wi=1-Hin-i=1nHi] （6）

式中：[i=1nwi=1， 0≤wi≤1]，[wi]为各评价指标权重值。

1.1.2   层次分析法

层次分析法是一种解决多目标复杂问题的定性与定量相结合的决策分析方法。作为一种主观赋权方法，主要基于决策者的主观经验，在评价指标间进行相互比较，同时结合各准则层之间的相对重要程度构建判断矩阵，并得到各评价指标的权重。具体赋权步骤如下［11-12］。

（1）構建判断矩阵

对各评价指标进行相互比较，以9标度法作为比较尺度，衡量评价指标之间的相对重要程度，层次分析法中1到9标度是一种用于量化主观判断的方法，可以在多个目标或方案之间做出决策。1表示两个指标相比，具有相同的重要性；3表示两个指标相比，前者比后者稍微重要；5表示两个指标相比，前者比后者明显重要；7表示两个指标相比，前者比后者强烈重要，9表示两个指标相比，前者比后者极端重要；2，4，6，8是层次分析1到9标度中的中间值，它们表示两个指标之间的重要程度介于两个相邻的整数判断之间。例如6，表示因素A比因素B的重要程度是明显的，但不是强烈的。以此类推，构建判断矩阵A。

（2）求解权重

依据构建的判断矩阵A，计算得到判断矩阵的最大特征根[λmax]，从而确定归一化后的各指标权重，具体计算公式如式（7）：

[AW=λmaxW] （7）

式中：[W=w1，w2，…，wn]，[wi（i=1，2，…，n）]为各评价指标权重值。

（3）一致性检验

为进一步验证上述步骤所确定的指标权重的合理性，需对构建的判断矩阵A进行一致性检验，具体公式如式（8）和式（9）：

[CI=λmax-nn-1] （8）

[CR=CIRI] （9）

式中：[CI]为一致性判断指标；[RI]为平均随机一致性指标，1～9阶判断矩阵的[RI]取值见表1；[CR]为一致性比例，n为判断矩阵阶数。

若[CR]<0.1，则表明所构建的判断矩阵通过了一致性检验，权重赋值是合理的；反之，则表明未通过，需重新调整判断矩阵，再计算权重。

1.1.3   博弈论求解综合权重

博弈论综合赋权法实质是将不同赋权方法得到的权重进行线性组合，寻找最优权重组合的过程［13］。本文通过熵权法和层次分析法分别确定客观和主观权重，进而由博弈论确定综合权重，克服单一的熵权法和层次分析法赋权存在的缺陷，使其更具有科学合理性［14］。具体的组合赋权步骤如下：

[w1wT1w1wT2w2wT1w2wT2z1z2=w1wT1w2wT2] （10）

式中：w1为熵权法所确定的权重；w2为层次分析法所确定的权重；z1、z2为待求解的线性组合系数。

将式（10）求解得到的最优线性组合系数进行归一化处理，即可得到博弈论求解最优综合权重的公式，见式（11）。

[W=z*1wT1+z*2wT2] （11）

式中：[z*1=z1z1+z2；z*2=z2z1+z2]。

1.2   模糊综合水质评价模型

模糊综合评价通过模糊数学的隶属度理论把定性评价转化为定量评价，可以对受到多种因素制约的事物或对象做出一个总体的评价［15］。它具有结果清晰、系统性强和易于理解的特点，能较好地解决水质评价中涉及各种水化学指标模糊的、非确定性的、难以量化的问题［16］。使用该方法进行水质综合评价的步骤如下。

（1） 建立评价因子集

在原始水化学数据中选取合适的评价指标，建立评价因子集，设选取的评价指标有m个，选中的评价因子为ui，则评价因子集U=［u1，u2，...，um］。

（2） 建立评价集

在本文中，进行水质评价主要依据中国现行的地下水质量标准（GB/T14848-2017）［17］将水质分为5类，建立评价集V=［I，II，III，IV，V］。

（3） 确定模糊关系矩阵

在模糊综合评价中，隶属度表示水样中的各水质指标对5类水质的归属程度，可通过隶属度函数来求解，对评价集V中的5类地下水水质类型采用的隶属度函数具体如式（12）：

[yij=1                    Ci≤SijSij+1-CiSij+1-Sij      Sij

式中：Ci 为第i 个评价指标的实测浓度，i=1，2，3，…，m；j为水质类型，j=1，2，3，4，5；Sij 为第i个评价指标对j类水的评价界限值；yij为第i个评价指标对j类水的隶属度。

模糊关系矩阵由公式（12）计算的yi1 ，yi2 …yi5确定：

[Y=y11…y15??ym1…ym5] 。

（4） 矩阵复合运算

模糊综合评价中用于权重矩阵和模糊关系矩阵进行复合运算的模糊算子共有4种，其中加权平均算子既强调了权重矩阵中影响占比最大指标的作用，又考虑了所有参评指标在整体评价中的影响，实用性更强［4］。因而选择加权平均算子对权重矩阵和隶属度矩阵进行复合运算，如式（13）式（14）：

[B=W?Y] （13）

[B=b1，b2，…，bs ] （14）

式中：B为模糊矩阵结果，Y为隶属度矩阵，W为层次分析法和熵权法所确定的综合权重矩阵，bj为对j类水的隶属度。

（5） 水质综合评价

为有效解决最大隶属度原则的判定失效问题，本文通过加权平均法对模糊矩阵结果（B）中5个水质类型的隶属度进行处理［18］，使得各类水质类型的隶属度均能参与到水质评价中，得到一个综合评价值（G），并依据其大小确定水质类型［4］，如式（15）：

[G=j=1mjbkjj=1mbkj] （15）

式中：G为水质综合评价值；bkj 表示对j类水的隶属度的k次方；m为水质类型；k 为待定系数（文中取k=2）。G值与地下水水质类别的对应关系为：G＜1.5，Ⅰ类；1.5≤G＜2.5，Ⅱ类；2.5≤G＜3.5，Ⅲ类；3.5≤G＜4. 5，Ⅳ类；G≥4.5，Ⅴ类。

本文构建优化模型的主要技术路线如图1：

2     实例应用

为了分析比较本文所提出的优化模型的评价效果，以文獻［19］中的地下水水化学数据为算例（表2）。依据地下水质量标准（GB/T14848-2017），选取硝酸盐、氨氮、TDS、锰、总硬度和亚硝酸盐作为水质评价指标。在实际评价过程中，由于地下水质量标准中的V类水缺少各指标的上限值，为了有效区分每一类水并便于计算，对每一类水质的各评价指标界限值按以下规则进行划分：水质标准中Ⅰ类水的上限值作为模糊综合评价标准中第Ⅰ类水界限值，Ⅰ类和Ⅱ类水上限值的平均值作为第Ⅱ类水界限值，并以此类推，V类水的下限值作为第V类水界限值［7］，本文采用的各评价指标的5类水的界限值具体见表3。

2.1   求解综合权重

2.1.1   熵权法赋权

依据公式（2）水质数据进行归一标准化处理，构建标准化矩阵。再通过公式（3）～（5）计算得到硝酸盐、氨氮、TDS、锰、总硬度、亚硝酸盐各评价指标的熵值分别为：0.9982、0.9886、0.9882、0.9846、0.9823和0.9855。最后结合公式（6），计算得到各评价指标的权重如表4所示。

2.1.2    层次分析法赋权

本文基于专家评分原则，对6个评价指标进行两两比较，并构建判断矩阵如下。

[A=1245780.5156890.250.213670.20.1666670.3333331340.1428570.1250.1666670.3333333120.1250.1111110.1428570.250.51]

根据上述判断矩阵，计算得到其最大特征根为6.46344，结合公式（7）可得到各评价指标权重，如表5。再由公式（8）～（9），计算出一致性比例CR=0.0747<0.1，说明判断矩阵A通过了一致性检验，各指标的权重分配合理。

2.1.3   综合权重

通过将上述两种方法得到的权重代入到式（10）和式（11）中，即可得到由博弈论所确定的综合权重，如表6。

2.2   水质综合评价

以曹庄为例，将表中的水质数据及参评指标的界限值代入公式（12）后，计算出该样本点的各评价指标对各类水质标准的隶属度，并构成模糊关系矩阵Y：

[Y=00.78440.21560000.14580.85420000000.60530.99310.39470.006910000.98290.0171100.88890.111100]

将模糊关系矩阵Y与权重矩阵W= ［0.32141 0.28494  0.15044  0.10352  0.07879  0.06090］代入公式（13）中进行复合运算，即可得到曹庄的对评价集V中5类水质的模糊矩阵结果B：

B = ［0  0.3478  0.5907  0.0614  0］

同理可以得出其他地区的模糊矩阵结果，见图2。

通过方程（15），即采用加权平均法对模糊矩阵结果B进行处理，计算得到曹庄的水质综合评价值（G）为2.75，对应的水质类型为III类水。

同样，依据上述方法，可计算出其他地区的水质综合评价值（G），并确定其水质类型，具体结果如表7和图3。将本文最终的评价结果与文献中所得到的评价进行了对比，两种评价模型的对比结果见表8。

3     分析与讨论

从本文构建的优化模型得到的水质评价结果看出，7个采样点当中，II类水和III类水的分布地区共计有4个，占比达到57.14%，而IV类水的分布地區共计有3个，占比达到42.86%。在所评价区域的地下水中，仅有4个采样点达到了国家规定的地下水质量标准并满足人类生活饮用水水质标准。部分采样点如堰口、小河赵、姜庄，水质均为IV类水，说明当地的地下水水质已经受到了较为严重的污染，不再适宜人类生活使用，应加强这些区域的地下水水质调查评价及污染防控。同时李村的水质综合评价结果，依据G值的分类，属于III类水，但其G值已达到3.31，有逐渐向IV类水变化的趋势，因此，对于李村附近的地下水水质也应加强管理。

将本文提出的评价模型与模糊熵权评价法进行对比（表8），显示两种方法得到的水质评价结果存在较大的差异。由传统模糊熵权评价法得到的水质评价结果中，II类水和III类水的采样点共计有6个，占比达到了85.71%，而V类水的地区仅有1个，占比14.29%，根据采样点结果显示，地下水体质量整体较好。而依据本文模型得到的水质评价结果可知，仅有57.14%的地下水适宜人类生活使用，其余42.86%的地下水水质达到了IV类水标准，表明上述区域的水资源已经受到了较为严重的污染。传统的评价方法完全基于实测数据，仅从片面的角度去考虑各水质指标对于整体水质的影响，对于权重的分配并不合理，削弱了水样中主要污染因子的危害程度，最终导致所得到的评价结果并不能真实反映水质特征。

本文的优化模型将主客观权重相结合，综合考虑了参与评价的各水质指标以及各类水质隶属度在整体水质评价的作用，对地下水质进行了综合评价。例如，在堰口和姜庄的地下水中，传统的模糊熵权评价法将其判定为III类水，而本文的评价模型得到的结果为IV类水。结合两个地区的评价结果分析可知，堰口的硝酸盐含量和姜庄的氨氮含量已达到V类水的标准，且堰口的氨氮和TDS含量、姜庄的硝酸盐和TDS含量也较为接近于IV类水的界限值，综合考虑其他指标对于整体水质的影响，显然本文模型将上述两个地区地下水水质评定为IV类水更为合理。

4     结论

本文基于熵权法和层次分析法，分别计算客观和主观权重，采用博弈论将主客观权重相结合，计算了综合权重，构成了模糊综合评价模型的权重矩阵。最后利用加权平均法，对模糊综合评价模型的模糊矩阵结果进行处理，得到了综合评价结果。

相较于单一熵值法赋权的模糊综合评价模型，本文提出的优化模型综合考虑了主客观权重的作用，避免了单一赋权方法存在的局限性。在强调主要污染因子的同时，也兼顾其余影响较小因子的作用，能更好地反映真实的水质水平，并给出水质综合评价结果，具有较强的实用性，可为今后的水质评价工作提供新的技术参考。同时，该模型应结合评价区域的水质特征，进一步完善评价指标体系和数据来源，更为全面地对水体质量情况做出评价。

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