基于电压图方法的LDPC码构造与设计研究

王成东 马纪成 游龙 邹余

【摘   要】   近年来，LDPC码的研究重点是其构造方法和译码算法。已知在LDPC码的构造与译码过程中，对应的Tanner图中短环的存在严重影响译码性能，现有的QC-LDPC码方法虽然在一定程度上规避了长度为6，8的短环，但对大围长的Tanner图的构造理论与算法仍需要进一步研究。为此，引入拓扑图论中电压图的相关理论与算法。首先，对电压图的相关理论与算法进行优化，从算法上缩小了电压图中赋值电压的选取范围；其次，对电压基图的选取作出优化，选取非完全二部图作为基图；最后，通过选取不同的电压群进行提升图的构造与结果分析。已知[（J，L）]-QC-LDPC码的围长小于等于12，电压图方法所得的LDPC码围长范围被推广到了小于等于16，同时给出了围长为10、12、14、16的提升图实例。因此，利用电压图方法构造的LDPC码能够有效提升围长范围，其中电压基图的选取尤为关键。

【关键词】   QC-LDPC码；LDPC码；电压图；围长

Research on the Construction and Design of LDPC Codes Based

on the Voltage Graph Method

Wang Chengdong1 ， Ma Jicheng1，2*， You Long1 ， Zou Yu1

（1.Chongqing Jiaotong University， Chongqing 400074， China;

2.Chongqing University of Arts and Sciences， Chongqing 402160， China）

【Abstract】    In recent years， the research of LDPC codes focuses on the construction methods and decoding algorithms of LDPC codes. It is known that the existence of short cycles in the corresponding Tanner graph seriously affects the decoding performance during the construction and decoding process of LDPC codes. Although the existing QC-LDPC code method avoids short cycles with lengths of 6 and 8 to some extent， further research is still needed on the theory and algorithm of constructing Tanner graphs with large girth. Therefore， the relevant theories and algorithms of voltage graphs in topological graph theory are introduced. Firstly， the relevant theories and algorithms of voltage graphs are optimized， and the selection range of assigned voltages in voltage graphs is narrowed from the algorithm. Secondly， the selection of voltage base graphs is optimized， and non-complete bipartite graphs are selected as base graphs. Finally， the construction and result analysis of lifting graphs are carried out by selecting different voltage groups. Compared with the known [（J，L）]-QC-LDPC codes with girth less than or equal to 12， the girth range of LDPC codes obtained by the voltage graph method is extended to less than or equal to 16， and lifting graph examples with girth of 10， 12， 14， and 16 are given. Therefore， the LDPC codes constructed using the voltage graph method can effectively improve the girth range， and the selection of voltage base graphs is particularly crucial.

【Key words】      QC-LDPC code; LDPC code; voltage graph; girth

〔中圖分类号〕  TN911.22                 〔文献标识码〕  A              〔文章编号〕 1674 - 3229（2024）01- 0005 - 07

0     引言

1962年，Gallager［1］博士首次提出了低密度奇偶校验码（简称为LDPC码）的概念，并且给出了该码的简单构造和硬判决概率译码的方法。1981年，Tanner［2］建立起了LDPC码的图论模型，并利用Tanner图来表示LDPC码。1996年，David[3]证明了置信传播（Belief Propagation）迭代译码算法。在该算法的基础上，LDPC码译码性能非常接近香农极限且易于实现。因此LDPC码成为当前5G网络信道编码的研究热点。到目前为止，LDPC码的构造主要是根据不同的设计方法得到具有低密度特性的校验矩阵[H]；一是随机构造法，比如Gallager方法［1］、MacKay的随机方法［4］、比特填充与扩展比特填充法［5-6］、PEG（Progressive Edge Growth）法［7］等；二是代数构造法，比如有限几何构造法［8］、组合设计法［9-11］、RS（Reed Solomon）码的LDPC码［12］以及基于循环置换矩阵的准循环LDPC码（称为QC-LDPC码）［13-14］等，其中QC-LDPC码已经得到广泛研究。2004年，Fossorior［13］针对QC-LDPC码给出了围长的限定范围小于等于12，并构造出编码易于实现的QC-LDPC码。2006年，OSullivan［15］提出了一种具有紧描述的QC-LDPC码构造方法，该码具有大围长和纠错性能良好的特点。同年，Milenkovic［16］设计出大围长结构化QC-LDPC码，该方法通过删除其奇偶校验矩阵的某些列来缩短数组，从而增加其围长。2007年，Kim等［17］提出了新的原型图组合构造方法，提升了QC-LDPC码的围长。2013年，Wang等［18］基于原型图映射到一组分层准循环（HQC，Hierarchical Quasi-cyclic）LDPC码，获得了更大围长的码。2023年，袁建国等［19］基于Stanley序列（Stanley sequence）给出了一种围长大于等于8的QC-LDPC码构造方法。

研究表明，Tanner图中短环的存在严重影响译码性能，因此构造大围长的LDPC码对于译码具有积极作用。2008年，Kelley等［20］针对LDPC码中短环严重影响误码率的问题采用电压图的方法研究LDPC码，并使用更复杂的电压分配，获得性能更好的LDPC码。目前使用电压图构造更大围长的LDPC码的研究还相对较少。因此，本文主要将电压图的理论与方法运用到LDPC码的构造上，一方面寻找已有的图论法，极大缩减了复杂电压分配的选取范围，另一方面选取了一类无限个基图进行提升，推广了QC-LDPC码，并构造出大围长的LDPC码。

1     相关介绍和定义

1.1   QC-LDPC码

Tanner图［2］是对应于校验矩阵[H]的二部图，用[G=V，E]表示，顶点集合[V=Vc?Vb]，其中[Vc=c1，c2，…，cm]是校验节点，对应校验矩阵的行，也就是校验方程，[Vb=b1，b2，…，bn]称为变量节点，对应校验矩阵的列，同时对应码中的位，[E?Vc×Vb]，同类节点之间没有边相连。若校验矩阵在第[i，j]个位置的元素为[1]，那么在该矩阵对应的Tanner图中表示第[i]个校验节点和第[j]个变量节点之间有一条边存在。节点的度定义为与该节点相连的边数。从某个节点出发又回到此节点为圈，其中最短圈长称为图[G]的围长。

在文献［21］和［22］中选择特殊的基图或原图进行随机提升得到LDPC码。同样，由完全二部图[Kr，t]作为基图进行提升后可以构造出QC-LDPC码［23］。

设[G′=V′，E′]是一个由[Kr，t]扩张的[P]次提升图，[P]为提升度，顶点[V′]是由[Kr，t]的顶点和对[P]取余的整数组成的有序二元组集合，记作[V′=V′c?V′b]，其中[V′c]表示提升图的校验节点集合，[V′b]表示提升图变量节点集合，[V′c=v，k|v∈Vc]，[V′b=v，k|v∈Vb]，定义偏移函数[f（?）：E→ZP]，提升图边集[E′=Vi，k，Vj，（k-f（e））modP（vi，vj）∈E]，其中 [0≤k≤P-1]，該定义下的[G′]对应的码称为QC-LDPC码［24］。

此外，Tanner图对应的校验矩阵也能描述QC-LDPC码。一个码长为[N]的LDPC码可由一个稀疏的奇偶校验矩阵[H=[H（i，j）]]的零空间来定义，其中列重为[J]，行重为[L]，且都为常数，若各行重和各列重保持不变，则称为规则LDPC码，记作[（N，J，L）]-LDPC码。否则为非规则的LDPC码［1］。

[（J，L）]-QC-LDPC码是由循环移位系数[pj，l]和提升度[P]确定的一种高度结构化的LDPC码［21］，其奇偶校验矩阵[H]［13］表示为

[H=I（0）I（0）…I（0）I（0）I（1，1）…I（p1，L-1）????I（0）I（pJ-1，1）…I（pJ-1，L-1）]  （1）

其中[pj，l∈0，1，…，P-1]，[1≤j≤J-1]，[1≤l≤]

[L-1]，式（1）中，[I（0）]代表[P×P]单位矩阵，[I（pj，l）]是将大小为[P×P]的单位矩阵向左循环移位[pj，l]个单位。

文献［13］中证明了任意[（J，L）-]QC-LDPC码的围长小于等于12。为了构造出更大围长的LDPC码，下面将引入电压图的方法。

1.2   相关定义

定义1［24］ 对于无向图[X=V，E]，令集合[A（X）]为图的弧集，[α]为[A（X）]到有限群[G]的函数（即[α：AX→G]），则[α]称为电压分布，群[G]称为电压群。若[X]中任一弧[c∈AX]均被赋予电压[αc∈G]，则称图[X]为电压图。

定义2［24］ 对于无向图[X=V，E]，有限群[G]与电压分布[α]，可构造图[Xα=Vα，Eα]，其中[Vα=V×G]，[Eα=v1，g，v2，g?α（v1，v2）]，[0≤g≤G]，[v1，v2∈V]，[v1，v2∈AX]。

不难发现，上文中提到的偏移函数[f（?）]为电压分布函数的特殊情况。

定义3   对于整数[m≥2]，在完全二部图[K3，3m]中，定义[3，2m，3m]-图为[K3，3m]的生成子图，使得一部3个顶点的度为[2m]，另外一部[3m]个顶点的度为2。

2     主要结果

本文所讨论的图均为连通、无向的简单图，即图中不存在重边、环及半边。同时文中所讨论的电压群均为有限群。

定理1［25］   设[Γ]是一个连通图，[TΓ]为[Γ]的一棵生成树，对于任意的电压分布[α]，一定存在一个约化的电压分布[β]满足其在[TΓ]中所有边[e]的电压值为[β（e）=0]，使得[Γα]与[Γβ]同构。

（1）对于任意的电压分布[α]和任意[Γ]的顶点[v]，令电压分布[αv，x]为在[α]的基础上将所有指向顶点[v]的弧集电压值均右乘元素[x]，则电压分布[αv，x]与[α]所确定的电压图同构。

（2）将指向顶点[v]的弧边集推广到经过顶点[v]的路径，则电压图也同构。

（3）最后将经过顶点[v]的路径推广到图[Γ]的生成树，则定理1证毕。

定理2   设[Γ]是一个连通图，[TΓ]为[Γ]的一棵生成树。对于任意的电压分布[α]及电压群[G]来说，提升图[Γα]为连通图，当且仅当非生成树边的电压值生成电压群[G]。

证明  令[v1，v2∈V]为图[Γ]的任意两相邻顶点，由定义2可知，对于给定的电压分布[α]和电压群[G]，提升图[Γα]中的边集定义为[Eα=v1，g，v2，g?α（v1，v2）]。结合定理1可知，提升图[Γα]的顶点集[Vα=V×G]可以划分为[G]的阶数个分拆子集，每一个分拆子集均包含顶点集[V]的阶数个顶点。令[g]属于[G]，对于分拆子集（记为[Sg]）来说其包含的顶点为[v，gv∈V]。令[g1，][g2]为群[G]中的两个元素，两个对应的分拆子集[Sg1，][Sg2]相连，当且仅当存在非生成树弧边[h]使得[g1=g2αh]，否则两个分拆子集之间不存在直接边使其连接。因此[Γα]连通当且仅当所有[αh]生成电压群[G]。证毕。

由定理1与定理2可知，在利用电压分布方法构造提升图时，只需要选取合适的约化电压分布即可。具体的电压提升图构造算法如下。

步骤1   令[Γ]为选取的基图，任意选取[Γ]的生成树[TΓ]，并标记所有非生成树边为[e1…et]，其中[t]为非生成树边的条数。

步骤2   选取阶为[n]的有限群[G]作为电压群，并给出群元素的合适表示形式。

步骤3   选取[α]作为电压分布使得其在生成树边的电压值为群[G]的单位元，非生成树边的电压值分别记为[αe1…αe2]。计算[αe1…αe2]是否生成电压群[G]，若生成群[G]，则进入步骤4，否则重复进行非生成树的电压分配。

步骤4   利用定义2进行提升图的构造，并计算提升图的围长等结构性质；否则，重复步骤3，遍历所有电压分布。需要说明的是，在步骤4构造提升图的过程中，若不在图同构的意义下区分提升图，则电压选取的遍历次数为[nt]。

步骤5   重复步骤2，选取下一个电压群，并依次进入步骤3、4、5。否则，停止计算。

推论1    令连通图[Γα]为提升图，设其基图、电压分布及电压群分别为[Γ]、[α]及交换群[G]。若基图[Γ]包含[n]个顶点及[m]条边，则交换群[G]的秩小于等于[m-n+1]。

证明   由有限群的定义可知，交换群[G]的秩等于其极小生成集所含元素的个数。因此，由定理2可知，基图[Γ]中非生成树边的电压值生成交换群[G]，同时易知非生成树边的条数为[m-n+1]。因此，交换群[G]的秩必小于等于[m-n+1]。证毕。

若上文构造提升图的过程中要求电压群G为交换群，则由推论1可知。

（1）如果[G]为循环群，在步骤3中只需任取一条非生成树边并赋其电压值为1，显然所有非生成树边的电压值生成电压群[G]。同时，步骤4中的电压选取遍历次数降为[nt-1]。

（2）如果[G]为一般交换群并假设其秩为r，则在步骤3中先任取[r]条非生成树边并分别赋电压值为[G]的生成元。此时，自然所有非生成树边的电压值生成电压群[G]。同时，步骤4中的电压选取遍历次数降为[nt-r]。

下文将对[3，2m，3m]-图的提升图进行讨论。主要步骤：首先对[3，2m，3m]-图的结构性质进行讨论，然后通过对部分[3，2m，3m]-图的结构性质进行提升得到其提升图的结构性质。

引理1   任意[3，2m，3m]-图中至少存在一个长度为[4]的圈。

证明   在[3，2m，3m]-图中，记三个校验顶点分别为[v1]、[v2]和[v3]，由于[v1]的度数[degv1≥4]，因此不妨设[v1]的三个邻接点分别为[u1]、[u2]、[u3]。校验顶点的度数和与变量顶点的度数和相等，且已知[degu1=degu2=degu3=2]，则三个邻接点[u1]、[u2]、[u3]必须与三个校验顶点[v1]、[v2]、[v3]中的两个相邻。因此，不妨设[u1]和[u2]的鄰接点为[v2]和[v3]，那么[u3]的另外一个邻接点只能是[v2]或[v3]，此时分别有圈[C=v1u1v2u2v1]或[C=v1u1v3u3v1]存在。因此，[3，2m，3m]-图中一定存在一个长度为[4]的圈。证毕。

根据引理1，下文证明[3，2m，3m]-图中存在两个长度为4的圈使得其仅存在1个公共顶点，如图1所示。

引理2   任意[3，2m，3m]-图中必存在如图2所示子图。

证明   首先，在[3，2m，3m]-图中，令[v1]、[v2]、[v3]为校验顶点部。由引理1可知，任意的[3，2m，3m]-图至少存在一个长度为[4]的圈，不妨记为[C=v1u1v2u2v1]，其中[v1]、[v2]为校验顶点，[u1]、[u2]为变量顶点。由于校验顶点[v2]的度为[degv2=2m]，因此不妨设[v2]的[2m]个邻接点分别为[u1，u2，u3，…，u2m]。若顶点[u3，…，u2m]均为顶点[v1]的邻接点，则此时[v1]的邻接点为[2m]个，同时[v3]的邻接点只能是这[2m]个顶点之外的顶点，这与[3，2m，3m]-图为连通图相矛盾。因此，顶点[v3]存在[u1，u2，u3，…，u2m]之外的邻接点。同时，若在顶点[u3，…，u2m]中存在两个顶点的公共邻接点为顶点[v3]，则证毕。已知变量顶点个数为[3m]，不妨记其余的[m]个变量顶点为[u2m+1，…，u3m]。再由顶点[v3]的度为[degv3=2m]，那么在[u3，…，u2m]中必存在至少两个点与[v3]邻接，分别记为[ui]和[uj]，所以由顶点[u1]、[v1]、[u2]、[v2]、[ui]、[uj]、[v3]及其相连的边所得的子图（图2）必为[3，2m，3m]-图的子图。证毕。

根据引理2，在图2所示的[3，2m，3m]-图的子图中，无论如何选取[3，2m，3m]-图的生成树，图2所示的子图中必包含2条[3，2m，3m]-图的非生成树边。在下述定理中，将利用图2所示的子图中的2条非生成树边构造出[3，2m，3m]-图的圈。

定理3   任意[3，2m，3m]-圖的非平凡的电压图的围长小于等于16。

证明  由引理2可得，任意[3，2m，3m]-图存在如图2所示的子图。在该子图中，不妨取其中弧边[u2，v2]、[ui，v3]所对应的边为两条非生成树边。令任意有限群[G]为电压群，在任一电压分布[α]下，令弧边[u2，v2]、[ui，v3]的电压值分别为[a]、[b]，属于电压群[G]。根据定理1，记有限群[G]的运算为“+”，令其单位元为0。那么[3，2m，3m]-图的提升图（记为[Γα]）的顶点集[Vα=v，g]，其中[v]为[3，2m，3m]-图的顶点，[g]为电压群中的元素，由定义2可知[Γα]的两个顶点[a1，g1]与[a2，g2]相连当且仅当[g2=g1+αa1，a2]。

对于[3，2m，3m]-图的任一生成树，将所有生成树边赋电压值为0后进行提升。接下来主要围绕图2所示子图的提升子图进行讨论。不妨自顶点[v1，0]起，取其邻接点[u2，0]。此时，弧边[u2，v2]经过提升后，可知顶点[u2，0]与顶点[v2，a]必相邻。同理，顶点[v2，a]的邻接点[ui，va]必与顶点[v3，a+b]相邻。类似地，[Γα]中存在长度最大为16的圈，路径表示为[Wg=][v1，0][u2，0][v2，a][ui，a][v3，a+b][uj，a+b][v2，a+b][u2，b][v1，b][u1，b][v2，b][uj，b][v3，b][ui，0][v2，0][u1，0][v1，0]。不难发现，当[a]、[b]及[a+b]的取值均不等于单位元0时，[Wg]的长度必为16。事实上，当电压图的阶大于等于3时，[a]、[b]及[a+b]的取值均可不等于单位元0。因此，[3，2m，3m]-图的提升度大于等于3的提升图[Γα]中存在一个最大长度为16的圈，故任意的[3，2m，3m]-图的电压图进行提升后，提升图的围长小于等于16。证毕。

3     仿真实验与结果分析

为了体现本文优化的提升图算法的有效性，本节通过具体例子的构造将提升图算法进行比较。数值结果如表1所示，其中电压群的选择为低阶交换群，自由电压数为基图非生成树边的条数减去电压群的秩，运行时间为CPU运行时间（单位s），所有代码在计算代数软件Magma V2.23-1系统下运行，计算机基本参数为Intel Core i7 CPU@2.8GHz Quad-Core。

以[Γ=3，6，4]-图作为给定的基图，选取弧边[（2，8）]、[（3，9）]、[（4，9）]、[（5，9）]对应的边为非生成树边，如图3所示，分别选取不同阶数的循环群或交换群进行提升，具体如下。

情形1   如图3所示，选取[33]阶交换群[G1=Z33]作为电压群进行提升，提升度[P=33]，记对应的提升图为[Γ1]。在电压图的生成树选取中，对4条非生成树边分别赋值为[1，0，0]、[0，1，0]、[0，0，1]与[1，1，0][∈G1]，其余生成树边均赋电压值为[0]，由此得提升图的围长为[10]。围长圈路径可表示为[Wg=][9，1，1，1][3，1，3，1][7，1，3，1][1，1，3，1][8，1，3，1][2，3，3，1][7，3，3，1][1，3，3，1][8，3，3，1][5，3，3，1][9，1，1，1]。

若将弧边[（5，9）]赋值更改为[1，1，1][∈Z33]，其余弧边的赋值保持不变，则所得的提升图围长为[12]。围长圈可表示为[Wg=][1，1，1，1][8，1，1，1][2，3，1，1][7，3，1，1][1，3，1，1][8，3，1，1][2，2，1，1][7，2，1，1][1，2，1，1][8，2，1，1][2，1，1，1][7，1，1，1][1，1，1，1]。

情形2   若将[4]条非生成树的弧边分别赋值为[1]、[3]、[7]、[15]属于[Z43]或[1]、[47]、[73]、[113]属于[Z44]，其余生成树边均赋电压值为[0]，由此所得提升图的围长分别为14、16。围长圈的路径分别为[Wg=][1，0][7，0][3，0][9，3][4，60][7，60][2，60][8，61][1，61][7，61][3，61][9，0][6，0][8，0][1，0]和[Wg=][7，0][2，0]

通过表1可以发现，在优化的提升图算法下，电压群、自由电压数、提升图的围长以及运行时间之间的关系，从中可以明显得到如下结果。首先，在不考虑自由电压数的情况下，电压群的阶越大，所得提升图的围长范围越广。其次，当电压群的阶相同时，自由电压数的個数严重影响运行时间，说明本文的优化提升图算法优于已有电压图算法。再次，从提升图围长的角度来看，自由电压数不会产生影响，但从计算的角度来看，自由电压数越少越好，说明本文优化的提升图算法具有极大的理论与应用价值。最后，给出自由电压数为0，即基图中的非生成树的边等于交换电压群的秩时的例子。

情形3   选取电压群[t4]阶交换群[G3=Zt4]（[t≥4]）进行提升，提升度[P=t4]。4条非生成树弧边分别赋值为[1，0，0，0][0，1，0，0][0，0，1，0]与[0，0，0，1][∈G3]，其余生成树边均赋电压值为0，由此得提升图的围长必为16。提升图的一个围长圈路径可以表示为[Wg=][（7，0，0，0，0）][（2，0，0，0，0）][（8，1，0，0，0）][（5，1，0，0，0）][（9，1，0，0，1）]

4     结论与展望

本文引入了拓扑图论中关于电压提升图的重要理论与方法，大大降低了QC-LDPC码的计算量。首先，对电压图的相关理论与算法进行优化，从算法上缩小了电压图中赋值电压的选取范围；其次，对电压基图的选取作出优化，选取非完全二部图作为基图；最后，选取不同的电压群进行提升图的构造与结果分析。与已知[（J，L）]-QC-LDPC码的围长（小于等于12）比较，电压图方法所得的LDPC码围长范围被推广到了小于等于16，同时给出了围长为10、12、14、16的提升图实例。因此，利用电压图方法构造的LDPC码能够有效提升围长范围，其中电压基图的选取最为关键，在电压群的选取中一般交换群较循环群没有特别优势。这对未来LDPC码的构造选取具有一定的理论研究价值与算法指导意义。

［参考文献］

［1］ Gallager R. Low-density parity-check codes ［J］. IRE Transactions on information theory， 1962， 8（1）： 21-28.

［2］  Tanner R M. A recursive approach to low complexity codes ［J］. IEEE Transactions on Information Theory， 1981， 27（5）：533-547.

［3］ David J C. Near Shannon limit performance of low density parity check codes［J］. IET Electronics Letters， 1996， 33（6）：457-458.

［4］ Mackay D J. Good error-correcting codes based on very sparse matrices ［J］. IEEE Transactions on Information Theory， 1999， 45（2）： 399-431.

［5］Jorge C， Dharmendra S M， Sridhar R. Designing LDPC codes using bit-filling[A]. IEEE International Conference on Communications[C]. New York： IEEE， 2001：55-59.

［6］ Jorge C， Dharmendra S M. Extended bit-filling and LDPC code design [A]. IEEE Glbal Telecommunications Conference[C]. New York： IEEE， 2001：985-989.

［7］ Hu X Y， Eleftheriou E， Arnold D M. Regular and irregular progressive edge-growth tanner graphs ［J］. IEEE Transactions on Information theory， 2005， 51（1）： 386-398.

［8］ Kou Y， Lin S， Fossorier M P. Low-density parity-check codes based on finite geometries： a rediscovery and new results ［J］. IEEE Transactions on Information Theory， 2001， 47（7）： 2711-2736.

［9］ Ammar B， Honary B， Kou Y， et al. Construction of low-density parity-check codes based on balanced incomplete block designs ［J］. IEEE Transactions on Information Theory， 2004， 50（6）： 1257-1269.

［10］ Ammar B， Honary B， Kou Y， et al. Construction of low density parity check codes： a combinatoric design approach[A]. IEEE International Symposium on Information Theory[C]. New York： IEEE， 2002：311.

［11］ Vasic B， Milenkovic O. Combinatorial constructions of low-density parity-check codes for iterative decoding ［J］. IEEE Transactions on Information Theory， 2004， 50（6）： 1156-1176.

［12］ Djurdjevic I， Xu J， Abdel-Ghaffar K， et al. A class of low-density parity-check codes constructed based on Reed Solomon codes with two information symbols［J］. IEEE Communication Letters， 2003， 7（7）：317-319.

［13］ Fossorier M P. Quasi-cyclic low-density parity-check codes from circulant permutation matrices ［J］. IEEE Transactions on Information Theory， 2004， 50（8）： 1788-1793.

［14］ 雷菁，王建輝，唐朝京. 基于PEG算法的准循环扩展LDPC码构造［J］. 通信学报， 2008， 29（9）： 103-110.

［15］ O′Sullivan M E. Algebraic construction of sparse matrices with large girth［J］.IEEE Transactions on Information Theory， 2006， 52（2）： 718-727.

［16］ Milenkovic O， Kashyap N， Leyba D. Shortened array codes of large girth［J］. IEEE Transactions on Information Theory， 2006， 52（8）： 3707-3722.

［17］ Kim S， No J S， Chung H， et al. Quasi cyclic low density parity check codes with girth larger than 12［J］. IEEE Transactions on Information Theory， 2007（8）：2885-2891.

［18］ Wang Y， Draper S C， Yedidia J S. Hierarchical and high-girth QC LDPC codes［J］. IEEE Transactions on Information Theory， 2013， 59（7）： 4553-4583.

［19］ 袁建国，蒯家松，张帅康.基于Stanley序列的QC-LDPC码新颖构造方法［J］.重庆邮电大学学报（自然科学版）， 2023， 35（3）：427-433.

［20］ Kelley C A，  Walker J L. LDPC codes from voltage graphs  [A].            IEEE International Symposium on Information Theory  [C].                 New York： IEEE， 2008：792-796.

［21］ Ma X， Yang E. Constructing LDPC codes by 2-lifts[A].              IEEE International Symposium on Information Theory[C].             New York：IEEE， 2007： 1231-1235.

［22］ Thorpe J. Low-density Parity-check codes constructed from protographs ［J］. IPN progress report， 2003， 42（154）： 42-154.

[23] Tanner R M. On graph constructions for LDPC codes by quasi-cyclic extension[A]. Information， Coding and Mathematics：Proceedings of Workshop honoring Prof. Bob McEliece on his 60th birthday [C]. New York：Springer US， 2002： 209-220.

［24］ Gross J L， Tucker T W. Topological graph theory［M］.New York：Wiley，1987：57-62.

［25］ Loz E. The degree diameter and cage problems： a study in structural graph theory ［D］. New Zealand：The University of Auckland， 2009： 32-33.