三角函数在高中数学教学中的应用研究

马忠平

摘 要：在新课程改革下，三角函数可以广泛应用于解决几何形状的问题，教师引导学生利用正弦、余弦和正切函数来计算三角形的边长、角度和面积.熟练掌握函数概念可以帮助学生理解和计算各种图形的属性.同时，三角函数在物理学中也具有广泛的应用，在运动学中的平抛运动和斜抛运动，通过三角函数来描述分析和计算抛射角度.此外，三角函数还可以用于描述波动、振动、电路、光学等现象，也可以应用于统计学和数据分析中，计算周期性数据的分析，通过正弦函数和余弦函数进行建模和预测，转换和调整数据的规律、趋势和周期性变化，有助于学生深入理解数学的实际应用领域，培养学生的数学建模和解决实际问题的综合素养能力.

关键词：新课程；三角函数；高中数学；重要作用

在新课改背景下的高中数学课堂中，教师通过贯穿“合理情境”来培养抽象思维素养，以“探究性活动”来培养直观想象素养，以“变式训练”来培养创新能力，以“归纳提炼”来培养归纳概括素养，可以帮助学生在数学课堂中更好地理解和运用三角函数，培养学生的数学综合运用能力.在数学课堂教学中，教师培养核心素养的“生长点”的，需要注重问题引导、情境设计、探究引导和合作学习等方面，通过激发学生的兴趣，让学生参与到数学的探索、思考和解决问题的过程中，从而逐步培养和发展学生的核心素养.

1 三角函数的应用领域

三角函数在高中数学教学中扮演着重要的角色，它的应用范围涵盖了几何学、物理学、工程学等多个领域.

1.1 几何应用

直角三角形是三角函数在几何学中最常见的应用之一.通过三角函数，可以计算出任意一条边的长度以及角的大小.例如，利用正弦定理和余弦定理，可以在不知道全部边长和角度的情况下，求解任意一个三角形的边长和角度.

1.2 物理应用

三角函数在物理学中有着广泛的应用.例如，在转动运动中，角速度和角加速度的变化可以用正弦型函数或余弦型函数来描述.在声学中，声音的传播和波动也可以用三角函数来表示.此外，光的折射和反射中也涉及三角函数的应用.

1.3 工程应用

三角函数在测量和计算中有很多应用.例如，通过测量角度和边长，可以使用三角函数计算出无法直接测量的高度、距离和角度.此外，三角函数还在航海、航空、建筑和地理测量中起着重要的作用，能够培养学生的综合素养和实际应用能力.

2 三角函数培养学生的核心素养

在新课改下，高中数学三角函数的教学旨在培养学生的核心素养，学生通过学习三角函数的相关概念和性质，培养抽象思维、逻辑思维和推理能力，學会运用数学方法解决实际问题，培养问题解决能力和创新思维.在学习三角函数时，新课改下注重学生的主体性，鼓励学生通过课前预习、课堂互动和课后总结等方式进行深入学习，掌握建立数学模型的方法和技巧，进行小组合作和团队讨论.教师引导学生将实际问题转化为数学模型，并运用三角函数的知识进行分析和求解，培养学生解决实际问题的能力，以及数学建模和分析问题的能力^［1］.具体细化分析如下：

2.1 以合理情境来培养学生抽象思维素养

在新课改下教学过程中，教师提供具体的实际情境，让学生通过观察和分析情境中的问题，从中抽象出数学模型和规律，来引导学生理解正弦和余弦函数等高中三角函数概念，从而培养学生的抽象思维能力^［2］.教师需要在教学中不断反思和改进，寻找适合自己学生的教学方法和策略，以达到更好的教学效果.例如，在坐标系中画出这些点，并将它们连接起来形成曲线.横坐标表示角度，纵坐标表示函数值，通过连接这些点，可以得到一个近似的图象，表示正弦函数和余弦函数在这些角度上的取值^［3］.

此时，教师引导学生探究正弦、余弦、正切函数的图象与性质，见表1．

教师可以引导学生通过汇总、整合三角函数的概念及公式，主动探究正弦、余弦、正切函数的图象与性质：一是给出定义域让学生理解正弦、余弦函数的定义域是整个实数集R.二是绘制基本图象，让学生根据定义和初等函数的性质，绘制出正弦函数sin x、余弦函数cos x和正切函数tan x在一个周期内（如从0到2π或从－π到π）的基本图象，帮助学生理解三角函数的周期性和曲线形状^［4］.三是让学生观察并比较这三个函数的图象，引导学生讨论正弦函数和余弦函数的值域都在闭区间［－1，1］之间的论点，以及正切函数的值域是整个实数集R.另外，分析正弦函数和余弦函数的最大值是1，最小值是－1，而正切函数没有最大值和最小值；正弦函数和余弦函数都是周期函数，周期为2π，正切函数也是周期函数，周期为π；余弦函数是偶函数，即cos（－x）＝cos x；而正弦函数、正切函数是奇函数，即sin（－x）＝－sin x，tan（－x）＝－tan x.四是通过探究其性质，引导学生进一步探究和验证一些性质，在特殊角度上的函数值，例如sin 0，cos 0，tan 0等，函数在特定区间如0，π2上的变化趋势，寻找最值点和极值点，函数的增减性、奇偶性和周期性等.五是教师组织学生小组合作学习讨论三角函数在实际问题中的应用，例如在几何学、物理学和工程学中的应用，如波动、振动和角度计算等，促进学生理解并掌握正弦、余弦、正切函数的基本图象和性质，并进一步应用到实际问题中.教师可以在课堂中引入更具有情境感和亮点，让学生自主建构知识，学生将在探究和解决问题的过程中，逐渐培养数学抽象素养，理解数学的本质和应用意义.

2.2 以探究性活动来培养学生直观想象素养

鼓励学生进行实验、观察和发现，通过自己动手探索和推导，理解三角函数的性质和特点，让学生通过调整角度观察三角函数图象的变化，从中发现正弦、余弦和正切函数的周期性和对称性，从而培养学生的直观想象能力.

教师为了加深学生对三角函数的定义域的理解，在课堂上讲解历年考试题的解题步骤，促进学生跟着老师的思路，主动探究掌握直观学习的思维想象力，培养学生的主动性和学习兴趣，使学生逐一攻破数学三角函数的知识难题.

3 结语

综上所述，在新课程理念下，教师依据三角函数的教学需求，认真落实在学生的学习上，教师需要引导学生积极主动地去掌握数学基本知识和技能，发展学生的数学思维及核心素养，使得学生掌握各种综合能力.教师可以利用实际生活中的问题、案例或故事情节，引起学生的兴趣和好奇心，通过引入情景，学生能够更好地理解和感受数学概念的应用背景，从而激发学习的积极性，让学生的数学思维得到全面发展.

参考文献

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