核心素养导向的问题变式设计

刘心华

一、问题提出

问题是发展学生数学学科核心素养的平台，看过问题三百个，不会解题也会问.《普通高中数学课程标准（2017年修订版）》要求在数学学习中发展学生的数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析等学科核心素养，教师应结合教学任务及其蕴含的数学学科核心素养创设合适的情境和问题，引导学生用数学的眼光观察现象、发现问题，使用恰当的数学语言描述问题，用数学的思想、方法解决问题.在问题解决的过程中，理解数学内容的本质，促进学生数学学科核心素养的形成和发展.

本文以2023年高考新课标Ⅰ卷第16题为例，探求问题解法并对问题进行变式设计，让学生掌握一类椭圆（双曲线）焦点三角形问题的解答、几何性质及一般解题方法，提升能力，感悟思想，积累经验，发展学生的数学核心素养.

二、试题解答

解法1：如图1，不妨设点B在y轴非正半轴，依题意，设AF2=2t，t>0，

则BF2=3t=BF1，AF1=2a+2t，在Rt△ABF1中，9t2+（2a+2t）2=25t2，

解得t=a，所以AF1=4a，AF2=2a，BF2=BF1=3a，

评注：解法1是从条件出发，数形结合，把向量关系转化为几何等式，考察焦点△AF1F2与Rt△ABF1的边角联系，借助三角形的正（余）弦定理找到基本量a，b，c的齐次式，从而求解问题；解法2将问题坐标化，把向量关系转化为坐标等式，借助双曲线定义，通过坐标运算，找到基本量a，b，c的齐次关系求解问题.

三、变式设计

（一）变中求真，把握本质

变式1 （2019年全国Ⅰ卷理10）已知椭圆C的焦点为F1（－1，0），F2（1，0），过F2的直线与C交于A，B两点.若AF2=2F2B，AB=BF1，则C的方程为（  ）.

变式2 （2014年新课标Ⅱ卷理20）设F1、F2

（2）若直线MN在y轴上的截距为2，且MN=5F1N，求a，b．

评注：以上变式问题从双曲线到椭圆，由向量关系到长度关系，问题情境类似，问题解答都是从几何（解三角形）或代数（坐标运算）的角度出发，寻求基本量a，b，c的齐次关系或求解基本量a，b，c.

（二）变中求活，举一反三

解法1：如图5，不妨设左、右焦点为F1、F2，由题意a=2c，则△AF1F2为正三角形，由过F1且垂直于AF2的直线与C交于D，E两点，所以∠EF1F2=300，

评注：变式3考察椭圆焦点三角形的中线问题，变式4考察椭圆焦点三角形的周长问题，解答时不变的是合理地设而不求、整体代换，变化的是灵活运用正余弦定理、三角变换、面积公式、坐标运算等寻找变量间关系.

（三）变中求新，触类旁通

（法二）由题意，设点P（x，y），则x2a2+y2b2=1，

x2+y2=c2， 解得y2=b4c2，又S△PF1F2=12F1F2·y=16，所以cy=16，故b=4，因为存在点P使得PF1⊥PF2，则c≥b，即a2≥2b2=32，即a∈［42，+∞）.

评注：变式5求解离心率问题，审题分析要明确过点F1的直线与圆相切时，此切线与双曲线左右两只的交点情况，问题解决需分类讨论；变式6問题求解要考察等边△POF2与Rt△F1PF2之间的边角关系，转化化归垂直关系求解问题.

（四）变中求异，融会贯通

评注：在求异中突破，在超越中贯通.变式7和变式8虽然不是焦点三角形问题，但问题解决的方法与思路完全可以迁移应用焦点三角形问题；变式9焦点三角形角平分线的长度问题，统一整合转化为角度问题，借助三角变换求解.

核心素养导向下的问题变式设计，需要教师深入理解数学学科核心素养，把学生数学学科核心素养的养成渗透到日常教学中，遵循学生认知规律，优化设计出合适的问题，展示数学概念、结论、应用的形成发展过程.在教学实践中，需要教师不断探索和创新教学方式，不仅重视如何教，更要重视如何学，引导学生会学数学，积极探索开发出符合学生认知规律、有助于提升学生数学学科核心素养的优秀案例.