双谐振环金属超表面中的连续域束缚态*

王玥 王豪杰 崔子健 张达篪

(西安理工大学,陕西省超快光电技术与太赫兹科学重点实验室,西安 710048)

超表面由于具备独特的电磁响应特性,在微波、太赫兹以及光学领域的应用十分广泛.在电磁超表面中构建连续域束缚态(bound states in the continuum,BIC)模式谐振可以产生尖锐的谐振透射峰,因此BIC 被广泛用于设计具有高品质因子谐振的超表面.本文实验研究了一种支持准 BIC (quasi-BIC,q-BIC)谐振的新型金属太赫兹超表面,通过设计两组金属开口谐振环(split ring resonators,SRRs)的结构参数来调节各自主导的谐振的工作频率,使不同模式谐振之间产生耦合,形成q-BIC 模式谐振.并利用电磁场分布及其散射功率的多极分解的计算结果证明了不同模式的共振机制.在入射电磁波分别沿x,y 偏振时,通过Jaynes-Cummings 模型计算了两模式之间的归一化耦合强度比,分别为0.54% (x 偏振)与4.42% (y 偏振),解释了不同谐振模式的工作频率随SRRs 器件结构参数改变而变化的规律.

1 引言

连续域束缚态(bound states in the continuum,BIC)是一类频率位于辐射连续域内但被完全局域的特殊电磁本征态,具有诸多有趣的物理特性和丰富的应用场景[1],最初由冯诺依曼(John von Neumann)和尤金维格纳(Eugene Paul Wigner)于1929 年在量子力学领域[2]中提出,后来同样发现于电磁波[3-5]、空气中的声波[6-8]、水波[9-11]和固体中的弹性波中.理想的BIC 模式谐振存在于无损结构或系统参数取极值时,在频谱上表现为零带宽谐振[12]、具有无限高的质量因子(quality,Q).而由于加工精度和损耗问题,在实际测试中通常只能观测到Q-因子有限的准BIC (quasi-BIC,q-BIC)模式谐振,因此需要打破谐振器结构的对称性或调节谐振器结构参数将其转变为q-BIC 模式谐振才能用于实际应用.

BIC 通常可以分为对称保护型BIC (symmetry protected BIC,SP-BIC)[1]和偶然型BIC (accidental BIC)[13],前者是由于谐振模式与辐射模式之间因模式对称性的差异而无法耦合,从而形成束缚态;而后者是通过调节结构参数使得谐振模式不再与辐射模式耦合.根据偶然型BIC 的相关理论[13],调整光学系统的某些参数可使某两种不同的辐射模式之间发生相互耦合作用,从而形成q-BIC 模式谐振,谐振耦合强度的变化导致q-BIC模式谐振的工作频率在频谱中的位置产生偏移.通过改变光学系统的结构参数,可以有效地控制q-BIC 模式谐振的带宽、工作频率和Q-因子[13,14],这有助于高Q-因子器件的实际设计.

超表面是一种由亚波长结构的人工结构组成的二维平面材料,可实现对入射电磁波的振幅、相位、偏振等灵活的调控,具有强大的电磁操控能力[15-20].由于超表面所具备的独特电磁响应特性而被广泛应用于传感器[21,22]、滤波器[23]、吸收器[24]和增强非线性效应[25]等各个领域.q-BIC 由于其极窄的带宽和高Q-因子,非常适用于设计高Q-因子的超表面[21-28].例如,在金属开口谐振环(split ring resonators,SRRs)、石墨烯、硅柱和光子晶体等超表面上构建的q-BIC 模式谐振都获得了极高的Q-因子,从而应用于窄带滤波[23]、高灵敏度传感[29]、分子光谱编码成像[15]和图像边缘检测等领域[30].

本文采用周期排列的SRRs 结构构建了透射型金属超表面,实验测试验证了在入射电磁波分别沿x,y偏振下,超表面的透射谱光谱特征;数值计算结果揭示了谐振的工作频率、带宽和Q-因子与超表面子单元结构参数之间的关系;不同模式谐振的电场分布与表面电流分布验证了多极分解的计算结果,阐明了q-BIC 模式谐振的物理机制;并通过Jaynes-Cummings (JC)模型计算了入射电磁波偏振方向不同情况下两种不同模式之间相互耦合的归一化耦合强度比;此外,还计算了超表面在用于传感检测领域时,其透射谱与待测物介电常数和损耗角正切之间的关系,验证了该超表面在痕量检测领域有潜在的应用价值.

2 结构设计

如图1(a)所示,超表面子单元由SRRs 层和石英衬底组成(石英的介电常数为3.6),SRRs 的几何中心共点且并都在x,y方向上都保持旋转对称性.其结构参数如图1(b)所示,超表面子单元的周期为r=230 μm,石英衬底厚度为h2=50 μm;SRRs 层厚度 为200 nm.本文按照结构特点将SRRs 分为大谐振环和小谐振环(图1(b)),大谐振环外边长a=198 μm、线宽m=10 μm、间隙x=10 μm,小谐振环外边长b=130 μm、线宽n=20 μm、间隙d=10 μm、间隔c=20 μm.为了研究所提出的超表面的电磁特性,本文采用基于有限元方法 (finite element method,FEM)的数值计算方法研究了该超表面的透射光谱,计算过程选取超表面SRRs 结构的一个周期作为仿真域,仿真域的x,y方向上均采用周期边界条件,入射平面是x-o-y平面,电磁波垂直入射到超表面结构上.

图1 (a) 金属太赫兹超表面阵列单元几何结构示意图;(b) 超表面子单元;(c) 超表面样品光学照片;(d) 超表面显微照片Fig.1.(a) Geometry diagram of metal THz metasurface array cells;(b) metasurface subunits;(c) metasurface sample photographs;(d) metasurface micrographs.

3 结果与讨论

在电磁波正入射(即传播方向垂直于x-o-y平面)的条件下,实验测试了超表面在入射电磁波沿x,y偏振时的透射谱光谱特性,如图2(a)、图3(a)中红色叉点所示,其透射谱都出现两个不同工作频率的谐振透射谷(红色和蓝色标注部分)和一个谐振透射峰(黄色标注部分).为方便描述,将超表面透射谱中对应的谐振分别命名为Mode 1 谐振和Mode 2 谐振(图2(a))、Mode 3 谐振和Mode 4谐振(图3(a)).通过数值计算,得到了超表面透射谱中谐振变化与其SRRs 结构参数之间的关系,并计算和分析了不同谐振处的电场分布与表面电流分布.

图2 入射电磁波沿y 偏振 (a) q-BIC 模式谐振时的透射谱(d=10 μm),Mode 1 的电场分布(c)和表面电流分布(f);Mode 2的电场分布(d)和表面电流分布(g);(b) BIC 模式谐振时的透射谱(d=30 μm),BIC 的电场分布(e)和表面电流分布(h)Fig.2.y-polarized:(a) Transmission spectrum at q-BIC mode resonance (d=10 μm),electric field distribution in Mode 1 (c) and surface current distribution (f);the electric field distribution (d) and surface current distribution (g) of Mode 2;(b) transmission spectrum at BIC mode resonance (d=30 μm),electric field distribution (e) and surface current distribution (h) of BIC.

图3 入射电磁波沿x 偏振 (a) q-BIC 模式谐振时的透射谱 (n=20 μm),Mode 3 处的电场分布(c)和表面电流分布(f),Mode 4处的电场分布(d)和表面电流分布(g);(b) BIC 模式谐振时的透射谱(n=14.6 μm);Mode BIC 处的电场分布(e)和表面电流分布(h)Fig.3.x-polarized:(a) Transmission spectrum at q-BIC mode resonance (n=20 μm),electric field distribution (c) and surface current distribution (f) at Mode 3,electric field distribution (d) and surface current distribution (g) at Mode 4;(b) transmission spectrum at BIC mode resonance (n=14.6 μm);electric field distribution (e) and surface current distribution (h) at Mode BIC.

当入射电磁波沿y偏振时,Mode 1 谐振的电场分布(图2(c))主要集中在小谐振环的SRRs 间隙处,其表面电流(图2(f))表现为集中在小谐振环的SRRs 臂上与大谐振环内侧,由于超表面SRRs的对称性设计,其电场、表面电流均沿y轴方向对称分布,且表面电流沿x轴的分量等大反向;而Mode 2 谐振的电场分布(图2(d))则集中在大谐振环的SRRs 间隙,其表面电流(图2(g))表现为集中在大谐振环的SRRs 臂上,且二者同样沿y轴方向对称分布.

不同谐振的电场分布的不同与超表面中不同SRRs 的结构尺寸相关,大、小谐振环的结构尺寸不同,因此会产生工作频率不同、主导模式不同的谐振.当参数d取30 μm 时,透射谱中只存在一个透射谐振谷(图2(b)),q-BIC 模式谐振透射峰消失,即形成BIC 模式,其电场分布和表面电流分布同时具备Mode 1 谐振与Mode 2 谐振的特征(图2(e)和图2(h)),说明这一频率处也同时存在两种不同的谐振,但由于不同谐振之间的相互耦合,使得其中一种谐振的对外辐射完全耦合到另一模式中,在透射光谱中表现为透射峰线宽为零而消失.在入射电磁波沿x偏振情况下,超表面透射谱特征与入射电磁波沿y偏振入射情况相似(图3(a));图3(c),(f)与图3(d),(g)分别为Mode 3 谐振与Mode 4 谐振的电场分布和表面电流分布情况,可见前者电场主要分布在大谐振环SRRs 的四个角和夹缝处、其电场与表面电流均沿x轴对称分布,且表面电流沿y轴的分量等大反向,后者主要集中在小谐振环SRRs 上,其电场与表面电流均沿x轴对称分布;当参数n取14.6 μm 时,超表面形成BIC模式(图3(b)),对应电场分布和表面电流分布也同时具备Mode 3 谐振与Mode 4 谐振的特征(图3(e),(h)).

为了定量分析q-BIC 模式谐振的物理机制,计算了磁偶极(MD)、电四极(EQ)、磁四极(MQ)、电偶极子(ED)和环偶极子(TD)[31]等笛卡尔坐标系中不同多极矩的散射功率(I).计算公式如下:

其中r是位置矢量;J是表面电流密度;ω 是入射电磁波频率;c是真空中的光速,i 是单位虚数;δα,β是δ 函数,且α,β=x,y.多极分解所计算的不同多极矩的散射功率可以展现不同多极矩在这一谐振中的贡献占比,也解释了不同谐振工作频率处近场分布情况的特点.如图4(a)所示,可见当入射电磁波沿y偏振时,其产生的Mode 1 谐振和Mode 2谐振的主要来源于MD;当入射电磁波沿x偏振时,其产生的Mode 3 谐振主要来源于TD,Mode 4谐振主要来源于EQ.

图4 当入射电磁波沿y (a),x (b)偏振时的多极分解结果.MQ,EQ,TD,MD 和ED 分别表示磁四极子、电四极子、环偶极子、磁偶极子和电偶极子Fig.4.Multipole decomposition results during irradiation of y-polarized (a) and x-polarized (b) waves:MQ,EQ,TD,MD and ED represent magnetic quadrupole,electric quadrupole,ring dipole,magnetic dipole,and electric dipole,respectively.

此外,计算了q-BIC 模式谐振透射峰的Q-因子(Q=λpeak/Δλ,Δλ=|λpeak-λdip|)随着超表面子单元谐振层SRRs 结构参数的变化情况.当入射电磁波沿y偏振,参数d由10 μm 增加到50 μm,超表面透射谱中Mode 1 谐振工作频率从0.42 THz蓝移至0.57 THz (图5(a)中黑色虚线所示);当d逐渐接近30 μm 时,q-BIC 模式谐振透射峰的线宽减小至趋于零,Q-因子增加并趋于无穷大(图5(b)).由于Mode 1 谐振与Mode 2 谐振之间的相互耦合作用,在二者工作频率接近的过程在频谱中表现为抗交叉线形(图5(a)).同样,入射电磁波沿x偏振时(图5(c),(d)),参数n由20 μm 减至10 μm,Mode 4谐振的 工作频率从0.92 THz 红移至0.72 THz(图5(c)中虚线所示,为标注明显,使用紫色加以区别,并插图放大);当n逐渐接近14.6 μm 时,透射谱中q-BIC 模式谐振透射峰的变化和Mode 3谐振、Mode 4 谐振的工作频率变化情况与前者相似(图5(d)).可见超表面透射谱中相关联谐振的工作频率决定于对应电磁场及表面电流主要分布所在的SRRs 的结构参数;当超表面的SRRs 的结构参数取适当值时,两不同模式谐振的工作频率相同,二者之间的相互耦合作用形成BIC 模式;当SRRs 的结构参数偏离该值时,两模式之间不能完美耦合,产生泄漏,形成q-BIC 模式谐振,这与以往的研究结果一致[32].

图5 y-偏振:透射谱 (a)和q-BIC 谐振透射峰的Q-因子(b)与参数d 的关系;x-偏振:透射谱(c)和q-BIC 谐振透射峰的Q-因子(d)随着参数n 的关系Fig.5.y-polarization:Relationship of the transmission spectrum (a) and the Q-factorof the q-BIC resonant transmission peak (b) to parameter d;x-polarization:relationship of the transmission spectrum (c) and the Q-factor of and the q-BIC resonant transmission peak (d) to the parameter n.

为描述不同模式谐振之间的耦合作用,采用标准的Jaynes-Cummings (JC)哈密顿模型来描述两模式谐振之间的耦合作用[33],以入射电磁波沿y偏振入射时的情况为例,旋转波近似 (rotatingwave approximation,RWA)下,系统的总哈密顿量为

图5(a),(c)中的Ω为真空拉比(Rabi)频率,其值为两不同谐振本征频率相同时(这一频率记为ω),在透射谱中的对应透射谷频率之差(即图5(a),(c)中两实曲线对应频率的差值).Ω与归一化耦合强度比g之间存在着g=Ω/2ω的数值关系,可算出当入射电磁波沿y偏振入射时其归一化耦合强度比g为4.42%;同理可算出当入射电磁波沿x偏振入射时,两不同模式(Mode 3 与Mode 4)谐振之间的归一化耦合强度比g为0.54%,这证明了入射电磁波偏振不同的情况下,构成q-BIC 模式谐振的不同模式谐振之间的耦合强度是不同的,也解释了图5(a),(c)中两模式谐振工作频率接近时抗交叉程度不同的原因.

此外,由于超表面所产生的谐振所激发的电磁场和待测物[34]之间会发生强烈相互作用,其透射谱中谐振的工作频率和幅值会受待测物物理性质的影响,因此,高Q-因子谐振在超灵敏传感应用中非常有前景.本文研究了超材料的传感性能,设待测物的折射率在1—2 的范围内(其中包括许多重要的材料和生物分子[35]).对于金属超表面而言,被增强的电磁场的体积通常不会很大,而当待测物到达一定厚度时,待测物会超过边缘电场,处于电场外的待测物将不再与超表面产生的谐振所激发的电磁场产生相互作用,当待测物厚度达到饱和厚度时,待测物厚度的增加将不再影响超表面透射谱中谐振工作频率的频移程度.设置待测物介电常数ε=2,超表面SRRs 结构几何参数不变,仿真得超表面透射光谱中q-BIC 谐振的工作频率与待测物厚度之间的变化关系,如图6 所示.

为了对比入射电磁波偏振不同情况下超表面灵敏度的差别,待测物厚度均取h=100 μm.图7 为不同待测物对超表面透射谱的影响.设待测物损耗角正切tan δ 为0,当其介电常数ε 从1 变化到2 (对应折射率从1 变化到1.4)时,入射电磁波沿y偏振入射时,q-BIC 模式谐振峰工作频率从0.4648 THz红移到0.42 THz,灵敏度为108 GHz/RIU(图7(a));入射电磁波沿x偏振入射时,q-BIC 谐振透射峰的工作频率则是从0.8485 THz 红移到0.7858 THz,其灵敏度为151 GHz/RIU(图7(c)),可见q-BIC谐振透射峰的工作频率和待测物介电常数之间存在明显线性关系.超表面传感灵敏度的不同与其在入射电磁波偏振方向不同时产生q-BIC 谐振的不同有关,相比于近场分布主要在超表面SRRs 内部的谐振,近场分布主要在超表面SRRs 外的谐振工作频率对环境介电常数更为敏感(图2(e)与图3(e)).此外,还检测了待测物损耗角正切tan δ 对超表面q-BIC 模式谐振峰的影响(图7(b),(d)),可见超表面透射光谱中q-BIC 谐振透射峰的频移只与待测物的介电常数相关.

图7 y-偏振 (a) q-BIC 谐振透射峰与待测物介电常数ε 的关系(损耗角正切tanδ=0);(b) q-BIC 谐振透射峰与待测物tanδ 的关系 (介电常数ε=1).x-偏振 (c) q-BIC 谐振透射峰与待测物介电常数ε 的关系(损耗角正切tanδ=0);(d) q-BIC 谐振透射峰与待测物tanδ 的关系(介电常数ε=1)Fig.7.y-polarization:(a) Relationship between transmission peak of the q-BIC resonance and the dielectric constant of the subject to be measured ε (loss angle tanδ=0);(b) relationship between q-BIC resonance transmission peak and tan δ to be measured(dielectric constant ε=1).x-polarization:(c) Relationship between transmission peak of the q-BIC resonance and the dielectric constant of the subject to be measured ε (loss angle tanδ=0);(d) relationship between q-BIC resonance transmission peak and tan δ to be measured (dielectric constant ε=1).

4 结论

本文提出了一种由两组SRRs 组成的金属太赫兹超表面,利用太赫兹时域系统实验验证了不同偏振的电磁波入射时,超表面的透射光谱特征;通过数值计算研究了超表面的SRRs 结构参数与其透射光谱中不同模式谐振之间的关系;不同谐振的电场分布及表面电流分布结合多极分解的计算结果,证实了超表面透射谱中的Mode 1 谐振和Mode 2 谐振的主要来源于MD,Mode 3 谐振主要来源于TD,Mode 4 谐振主要来源于EQ;在Jaynes-Cummings 模型下计算了形成q-BIC 模式谐振的两种不同模式谐振的归一化耦合强度比,分别为0.54% (x-偏振)和4.42% (y-偏振).结果表明:超表面透射光谱中的不同模式谐振之间通过相互耦合作用形成q-BIC 模式谐振,且不同谐振的工作频率取决于其主要响应的SRRs 的结构参数.因此,通过调节超表面SRRs 的结构参数可以有效控制其产生的q-BIC 模式谐振的工作频率、带宽和Q-因子,这有利于高Q-因子超表面的实际设计.此外,还研究了该超表面在传感方面的性能,计算结果表明该超表面在入射波为y偏振时的灵敏度为151 GHz/RIU;入射波为x偏振时,其灵敏度为108 GHz/RIU.