基于快速平稳幂次趋近律AGV滑模轨迹跟踪控制研究

龙琴, 袁森,2*, 李魏魏

(1.贵州大学机械工程学院, 贵阳 550025; 2.贵州理工学院机械工程学院, 贵阳 550003)

随着人工智能、智慧城市和机器人等技术的发展和国家政策大力支持的背景下,自动导引车 (automated guided vehicle,AGV)广泛应用在各个行业[1],它也将迎来新的发展机遇—AGV泊车机器人。

AGV泊车机器人能否胜任泊车任务,关键在于AGV轨迹跟踪的响应性、稳定性和精确性。文献[2]针对单舵轮AGV轨迹跟踪问题,提出一种基于双幂次趋近律的双闭环轨迹跟踪滑模控制策略,可以实现AGV轨迹跟踪快速稳定的响应。文献[3]针对工厂运送物料的差速驱动AGV,提出了一种自适应模糊滑膜轨迹跟踪控制律,协调控制外界因子对AGV的影响,提高轨迹跟踪精度。文献[4]针对AGV轨迹跟踪控制器中参数较多问题,提出一种基于自适应反演法的轨迹跟踪策略,可以提高AGV在不同工况下的轨迹跟踪响应性和稳定性。文献[5]以舵轮中线布置双舵轮AGV为研究对象,通过模型预测控制器实现AGV轨迹跟踪控制,具有较高的实时性和稳定性。文献[6]在比例积分微分(proportion integration differentiation,PID)算法中引入模糊控制算法,实现PID参数实时自适应调参,可以提高AGV轨迹跟踪的稳定性和精确性。文献[7]通过模糊控制与滑膜控制相结合,实现对对角式舵轮分布AGV路径纠偏控制,可提高AGV轨迹跟踪的稳定性和精确性。

对于非线性系统的轨迹跟踪控制是相当复杂的,需要考虑到跟踪控制的响应性、精确性和稳定性,还需考虑到外界的干扰[8]。据此,采用Lyapunov稳定性理论设计非线性轨迹跟踪控制器,可以帮助系统稳定性收敛。同时,对于非线性系统参数耦合和外界干扰的问题,滑膜控制是较为常用的控制算法,具有响应快、计算简单和鲁棒性的特点,但其存在控制率变换而产生抖振,如何消除抖振是滑模控制的一大难题[9]。文献[10]针对模型预测控制中存在的稳定性问题,提出一种基于Lyapunov函数输入约束的模型预测控制器,改善轮式移动机器人的轨迹跟踪稳定性问题。文献[11]基于反步法与分层滑模控制策略,提出一种轮式机器人轨迹跟踪算法,可以提高系统的鲁棒性和跟踪精度,但系统还存在响应性问题。由于轮式移动机器人在运动过程中还存在着模型的不确定性和外部的随机干扰,因此文献[12-14]结合自适应控制律与其他控制算法处理轨迹跟踪中稳定性、精确性和响应性问题,并通过Lyapunov稳定性理论验证所提算法的鲁棒性。

基于以上研究,为实现AGV泊车机器人可以快速平稳的跟踪预定轨迹,考虑到Lyapunov稳定性理论和滑模控制的特点,设计一种基于快速平稳幂次趋近律的AGV滑模轨迹跟踪控制策略。首先,对AGV非线性系统进行数学描述,建立AGV运动学控制模型。其次依据动力学模型,采用Lyapunov函数设计AGV泊车机器人的滑模切换函数,处理非线性AGV系统稳定性收敛问题;然后在幂次趋近律的基础上添加一指数项,并用连续函数替换符号函数,可削弱外界不确定性干扰的影响,保证系统的稳定性和快速响应性,减弱输出抖振,并保证了AGV泊车机器人可以快速稳定精确的跟踪参考轨迹。最后,通过仿真验证文中所述控制策略的有效性。研究成果为AGV泊车机器人未来的发展与研究提供一定参考依据。

1 AGV泊车机器人结构及数学模型

AGV泊车机器人的结构与运动存在着密切的关系,机械结构设计是否合理直接决定着AGV泊车机器人是否能够正常运动,进一步影响泊车机器人的轨迹跟踪精度。在建立运动学模型之前很有必要了解AGV泊车机器人的机械结构。

1.1 六轮式AGV泊车机器人结构

AGV轮式泊车机器人的整体结构如图1所示,主要由上盘和下盘组成。下盘是泊车机器人的核心部分,直接影响着泊车机器人能否正常完成泊车任务。针对其运输对象的质量和体积均较大,其运输环境的特殊情况,AGV轮式泊车机器人采用六轮式的配置方案。

图1 AGV泊车机器人整体结构图

1.2 AGV泊车机器人的运动学模型

在建立泊车机器人车轮运动与AGV机器人本体中心运动之间的关系前,做出如下假设：①AGV泊车机器人的所有车轮与地面之间的接触运动只有滚动而无滑动;②把AGV泊车机器人看作刚体;③AGV泊车机器人质心与结构几何中心重合;④AGV泊车机器人在水平地面上运动。

AGV轮式泊车机器人采用六轮式行驶方案。即是位于车体中心线的两个驱动轮和位于车体前后方向的4个万向支承轮。当驱动轮受到电机驱动运动时,万向支承轮也跟着运动。AGV泊车机器人的结构尺寸及相关运动参数如图2所示。

XHY为泊车机器人坐标系(以下称为B坐标系);H为车体结构的几何中心;O1、O2分别为前驱动轮、后驱动轮的中心;O3～O6分别为4个万向支承轮的中心;ω1～ω6为各车轮绕自身轮轴的旋转角速度;vp3、vp4、vp5、vp6分别为4个万向支承轮的横向移动速度;d1为几何中心H到车轮中心的距离;d2为几何中心H到车轴的距离;车体中心H的速度u=[vX;vY;ωH];ωH为几何中心H转动角速度

1.2.1 驱动轮的运动分析

驱动轮受到驱动电机的驱动后只能进行前后运动,其运动学方程为

v1=ω1R

(1)

v2=ω2R

(2)

式中：v1、v2分别为前后两个驱动轮沿着X方向移动的速度;R为车轮半径;ω1、ω2为各车轮绕自身轮轴的旋转角速度。

由于两个驱动轮是布置在AGV泊车机器人的车体中心线上,可得

v1=v2=vX

(3)

式(3)中：vX为几何中心H沿X方向速度。

综合以上各式可得两个前后驱动轮的旋转角速度与车体中心H的速度之间的关系为

(4)

式(4)中：vY为几何中心H沿Y方向速度。

1.2.2 万向支承轮的运动分析

万向支承轮有两种运动状态：一是绕自身车轴的旋转运动;二是横向移动。在AGV泊车机器人坐标系XHY下,以万向支承轮3为研究对象,由几何关系和运动关系可得

v3X=ω3R

(5)

v3Y=vp3

(6)

v3X=vX-ωHd1

(7)

v3Y=vY+ωHd2

(8)

式中：v3X、v3Y分别为万向轮3沿X、Y方向速度。

由式(5)～式(8)可得万向支承轮3的旋转角速度ω3、横向移动速度vp3分别为

(9)

(10)

同理,分析其余3个全向支承轮的旋转角速度和横向移动速度,可得4个万向支承轮的速度与车体中心速度之间的关系为

(11)

(12)

1.2.3 AGV泊车机器人整体运动分析

综合式(4)、式(11)、式(12)可得AGV泊车机器人的整体运动关系为

(13)

(14)

由式(13)可知,前后方向对应的车轮旋转角速度是相等的,且车体中心线方向的两驱动轮的速度均等于车体中心的速度,故可将六轮式的AGV泊车机器人简化为两轮式的AGV泊车机器人,以便研究AGV泊车机器人的轨迹跟踪问题。轨迹跟踪运动模型如图3所示。

xoy为全局坐标系(以下简称A坐标系);XHY为泊车机器人坐标系(以下简称B坐标系);θ为车体中心线与全局坐标系中x轴之间的夹角(航向角);(x,y,θ)为AGV泊车机器人在全局坐标系下的实际位姿;(xr,yr,θr)为AGV泊车机器人的理想位姿;(Xe,Ye,θe)为泊车机器人坐标系下的轨迹跟踪偏差;v、ω分别为车体中心线速度和角速度

假设汽车无侧滑运动,则有

(15)

由于假设所有车轮无纵向打滑,故AGV泊车机器人在全局坐标系下的运动学模型为

(16)

令L=Cq,其中,C为变换矩阵,q=(v,ω)T为AGV泊车机器人的实际速度向量。

1.3 AGV泊车机器人轨迹跟踪的数学模型

在图3中,对于任意一点p在A坐标系与B坐标系之间的坐标变换关系为

(17)

(18)

ApBo=(x,y,θ)T

(19)

结合式(17)～式(19),将理想位姿(xr,yr,θr)代入式(17)中可得

(20)

由式(20)可得,AGV泊车机器人的轨迹跟踪偏差的数学模型为

(21)

对式(21)求导可得AGV泊车机器人轨迹跟踪的状态方程为

(22)

2 基于Lyapunov函数的快速平稳趋近律的滑模轨迹跟踪控制器设计

根据Lyapunov函数直接法判定系统稳定性的条件,构造Lyapunov函数使其为正定函数(PD),对构造的Lyapunov函数求导,选取合适的θe使所构造的Lyapunov函数是负定函数(ND),则能使系统一致渐近稳定,即据此原理设计滑模切换函数。在传统的幂次趋近律的基础上增加一指数项,构成快速趋近律,同时将快速趋近律中的符号函数替换为连续函数,得到快速平稳的滑模趋近过程,使AGV泊车机器人运动时能快速稳定地从任意偏差位姿状态到达滑模面。

2.1 基于Lyapunov函数的滑模切换面设计

寻找合适的速度控制律q=(v,ω)T使位姿偏差均趋近于零是AGV泊车机器人轨迹跟踪的本质。式(16)的运动学模型表达的是一个多输入多输出的非线性系统,在利用滑模变结构控制多输入多输出系统时,难点在于滑模切换面的设计,故此采用Lyapunov函数直接法设计滑模切换面,可以解决多输入多输出非线性系统滑模切换面设计困难的难题。

引理[15]：若∀x∈R且x有界,则f(x)=xsin(arctanx)≥0,当且仅当x=0时,f(x)=0成立。在该引理的基础上,采用Lyapunov函数设计滑模切换面。

当AGV泊车机器人在运动过程中X轴方向的位置偏差为零时(即Xe=0时),令θe=-arctan(vrYe),选择Lyapunov函数可表示为

(23)

对式(23)求导,有

(24)

(25)

根据式(25)设计滑模控制器使s1→0,且s2→0,以实现AGV泊车机器人在运动过程中X轴方向的位移误差收敛到零(即Xe→0),且航向角偏差θe收敛到-arctanvrYe,最终达到Y轴方向的位移偏差Ye和方向偏差θe均收敛到零的目标,从而实现AGV泊车机器人较为精确地跟踪给定参考轨迹(期望轨迹)。

2.2 基于改进的幂次趋近律的速度控制律设计

滑模运动主要包括正常运动,滑动模态,稳态误差3个过程,正常运动指的是系统在有限的时间内,从任意初始状态到达滑模面这一过程;滑动模态指的是滑模面内系统状态的运动;稳态误差是指系统趋于稳态后出现的等幅振动现象。为削弱振荡,常采用趋近律的方法。一般趋近律的表达式为

(26)

(1)当f(si)=0时,得到等速趋近律为

(27)

(2)当f(si)=η2si时,得到指数趋近律为

(28)

式(28)中：η1、η2均为正数。

(3)当η=η3|si|n,得到幂次趋近律为

(29)

式(29)中：η3>0;0

以上趋近律各有特点。等速趋近律的性能取决于趋近系数η,η越大趋近速率越大,但系统产生的抖振也就越剧烈,η越小趋近速率越慢。指数趋近律相对等速趋近律趋近时间更短,运动点能够较为快速地到达切换面si=0,但由于等速项仍然存在,故抖振现象减弱效果不明显。幂次趋近律相对等速、指数趋近律抖振现象明显减弱,能够平滑地过度到滑模切换面,但趋近时间增加,趋近过程变得缓慢。

在滑模变结构控制系统中,既希望系统快速到达稳定状态,又希望系统到达稳定状态后出现的等幅振荡小。基于此,在幂次趋近律的基础上增加一指数项并用连续函数代替符号函数得到改进的快速平稳幂次趋近律。

(30)

证明如下。

(31)

(32)

由式(32)可得AGV泊车机器人从任意初始位置s=s0>0趋近到s=0的时间t为

(33)

由式(33)可知,系统运动点能在有限的时间内趋近到滑模面s=0。令β=arctan(vrYe),对式(25)求导可得

(34)

式(34)中：β为关于vr、Ye的函数。

联立式(30)、(34)可解得AGV泊车机器人轨迹跟踪的速度控制律u为

(35)

3 仿真分析

为了验证提出的基于Lyapunov直接法的快速平稳幂次趋近律AGV滑模轨迹跟踪控制算法的准确性、快速性和平稳性,分别以直线和圆弧轨迹为跟踪对象,采用MATLAB进行仿真试验。

3.1 直线轨迹跟踪仿真

图4 直线轨迹跟踪曲线

图4为直线轨迹跟踪曲线,由于参考轨迹与实际轨迹设定不同的初始位姿,导致AGV泊车机器人运行初期,实际轨迹与理想轨迹存在较大偏差,但很快便能高精度地跟踪参考轨迹,由此验证了AGV泊车机器人运动学模型的正确性。图5为AGV泊车机器人运行过程中,位姿偏差随时间的变化情况。从图5中可以看出,在0～1 s,纵坐标Y方向的位移偏差Ye的振荡最大,横坐标X方向的位移偏差Xe的振荡和AGV泊车机器人航向角偏差θe相对较小,三者中振荡最小的是Xe,主要原因在于设计滑模切换面时首先使Xe=0,据此构造关于Ye的合适Lyapunov函数,根据Lyapunov直接法稳定性的判定条件,选择了关于Xe、θe的滑模切换函数,通过控制滑模切换面s趋于s=0,控制Xe→0,θe→0,再间接控制Ye→0。在这个过程中存在误差累积,故Ye振荡最大、θe次之、Xe的振荡最小。1 s后,位姿误差均趋于0,且几乎不存在抖振现象。由此验证了提出的基于快速平稳趋近律的滑模轨迹跟踪控制算法的先进性、准确性、快速性。

图5 位姿误差随时间的变化曲线

图6、图7分别为AGV泊车机器人的线速度、角速度随时间的变化关系。由图6、图7可知,仿真线速度和仿真角速度由于初始值设置的不同,在1 s之前波动较大,这是在快速趋于期望值的表现,属于正常情况。AGV泊车机器人在追踪初始期望位姿的过程中,初始角速度的大小需要从正值开始减小,直到无限趋近于零,这个过程中惯性作用较大,且方向角也时刻在变化,故角速度存在的振荡现象较线速度严重,但在1 s后均与参考值重合,且无振荡,稳定性能好。图4～图7验证了本文设计的轨迹跟踪控制器能快速平稳地跟踪直线参考轨迹。

图6 速度随时间的变化曲线

图7 角速度随时间的变化曲线

3.2 圆弧轨迹跟踪

图8 圆形轨迹跟踪曲线

图8为AGV泊车机器人跟踪圆形轨迹时的跟踪曲线,可以看出,圆形跟踪效果良好,实际初始位姿和参考初始位姿的不同导致了较大的初始偏差。图9直观地反映了AGV泊车机器人的位置与姿态在跟踪过程中存在的偏差,从图中可以看出航向角偏差θe振荡现象最明显,而Xe、Ye几乎不存在振荡现象;同时Xe、Ye在3 s后稳定于零,θe的收敛速度相对于Xe、Ye显得较为缓慢,主要原因在于AGV泊车机器人在圆形轨迹跟踪过程中,航向角θ时刻都在变化,且参考初始航向角和实际初始航向角设置的偏差较大,但θe在4 s后也能稳定地收敛于零。

图9 位姿误差随时间的变化曲线

图10、图11分别反映了AGV泊车机器人在圆形轨迹跟踪过程中的速度、角速度随时间的变化关系。可以看出,实际线速度和实际角速度均能快速平稳地收敛到参考速度和参考角速度。图8～图11表明,所提出的基于快速平稳幂次趋近律的滑模轨迹跟踪控制算法在圆形轨迹跟踪过程中的准确性、快速性、平稳性与先进性。

图10 速度随时间的变化曲线

图11 角速度随时间的变化曲线

4 结论

为使AGV轮式泊车机器人能快速平稳地跟踪期望轨迹,提出基于快速平稳幂次趋近律的滑模轨迹跟踪控制策略。首先建立AGV泊车机器人的三维模型,根据三维模型进行运动分析,得到简化模型的依据,推导出简化后的运动学模型,在此基础上推导轨迹跟踪偏差的状态空间方程。然后选取合适的Lyapunov函数,在验证了系统的稳定性后设计滑模切换面,并使滑模切换面s→0,以实现X轴方向的位置偏差Xe和航向角偏差θe在AGV泊车机器人的运行过程中均收敛到零,从而间接实现Ye在AGV运行过程中能够在有限的时间内收敛到零。针对传统趋近律难以同时满足滑模控制趋近过程中的快速性与系统抖振弱的问题,在幂次趋近律的基础上添加了指数项,并将幂次项的符号函数替换为连续函数,得到快速平稳的幂指函数趋近律,根据该滑模趋近律设计了AGV泊车机器人轨迹跟踪的速度控制律,实现AGV泊车机器人既能快速地跟踪给定的参考轨迹,又能使系统的抖振现象得到较大的减弱。最后,通过MATLAB分别对直线和圆形两种参考轨迹进行仿真试验。仿真结果验证了所提算法的准确性、快速性和平稳性及先进性。该算法为AGV轨迹跟踪控制策略的进一步研究提供一定的参考与借鉴。