2024年高考三角热点考向预测

李昭平

“三角”是高中数学的重要内容，是高考经久不衰的考查热点. 纵观近几年全国和各省市的高考数学试卷，我们发现 高考在加大对三角问题的考查力度，不仅题型在变化，而且试题的深度、广度与难度也在不断增大.下面结合一些最新模考试题预测热点考向，供参考．

热点考向1： 求三角函数值

“角”是三角函数的基本元素，求三角函数值离不开“角”的变换. 对单角、倍角、和角、差角等进行适当的变形转化，往往能起到化难为易、化繁为简的作用. 解三角函数求值问题，灵活运用诱导公式、和差的正余弦公式、倍角公式及其变式进行三角恒等变换是关键.

例1.（2023年3月安徽安庆二模）已知第二象限角y=tan x满足sin（π+α）=-23，则sin 2β-2sin（α+β）cos（α-β）的值为（）

A. -19 B. -459C. 19D. 459

解析： 因为sinα=23，且α为第二象限角，

【评析】（1）利用频率分布直方图各个小矩形的面积和为1，确定m的值，进而可求出上四分位数；（2）可求出数学优秀和不优秀的人数，常整理错题和不经常整理错题的人数，作出2×2列联表，根據2×2列联表带入公式求解χ2值，从而得出判断；（3）先求出X的可能取值，并求出相应取值的概率，从而求出分布列和期望．

【练7】“十四五”规划纲要提出，全面推动长江经济带发展，协同推动生态环境保护和经济发展长江水资源约占全国总量的36%，长江流域河湖、水库、湿地面积约占全国的20%，珍稀濒危植物占全国的397%，淡水鱼类占全国的33%.长江经济带在我国生态文明建设中占据重要位置.长江流域某地区经过治理，生态系统得到很大改善，水生动物数量有所增加.为调查该地区某种水生动物的数量，将其分成面积相近的100个水域，从这些水域中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区，调查得到样本数据（xi，yi）（i=1，2，…，20），其中xi和yi分别表示第i个样区的水草覆盖面积（单位：公顷）和这种水生动物的数量，并计算得∑20i=1xi=60，∑20i=1yi=1200，∑20i=1（xi-）2=120，∑20i=1（yi-）2=9000，∑20i=1（xi-）（yi-）=1000.

（1）求该地区这种水生动物数量的估计值（这种水生动物数量的估计值等于样区这种水生动物数量的平均数乘以地块数）；

（2）求样本（xi，yi）（i=1，2，…，20）的相关系数（精确到001）；

（3）根据现有统计资料，各地块间水草覆盖面积差异很大.为提高样本的代表性以获得该地区这种水生动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由．

附：相关系数r=∑ni=1（xi-）（yi-）∑ni=1（xi-）2∑ni=1（yi-）2，3≈1732.

【解析】（1）样区水生动物平均数为120∑20i=1yi=120×1200=60，

地块数为100，该地区这种水生动物的估计值为100×60=6000．

（2）样本（xi，yi）i=1，2，…，20的相关系数为：

r=∑20i=1xi，yi-∑20i=1xt-2∑20i=1yi-2=1000120×9000=539≈096.

（3）由（2）中相关系数的值为正且接近1，可以判断相关相关变量有较强的正相关性. 各地块间水草覆盖面积差异很大，从而各地块间这种野生动物的数量差异很大，所以采用分层抽样的方法较好地保持了样本结构与总体结构得以执行，提高了样本的代表性，从而可以获得该地区这种水生动物数量更准确的估计．

【评析】（1）根据该地区水生动物数量的平均数，进一步计算出估计值；（2）将题目信息中的数据带入相关系数的公式，计算即可求解；（3）根据（2）中的结论各样区的这种水生动物的数量与水草覆盖面积有很强的正相关性来作决策．

【本文系2022年度湖北省武汉市长江生态环境保护专项课题“长江生态文明教育与学科教学深度融合实践研究”（编号：2022CBA36）阶段性研究成果】

责任编辑徐国坚所以cos α=-1-232=-53．

于是，sin 2β-2sin（α+β）cos（α-β）=sin［（α+β）-（α-β）］-2sin（α+β）cos（α-β）

=-［sin（α+β）cos（α-β）+cos（α+β）sin（α-β）］

=-sin 2α=-2sin αcos α

=-2×23×-53=459. 故选D．

点评：本题中的参变角β是搭桥的，要善于消去β，结果用已知角α的三角式表示.解题的关键是变角2β=（α+β）-（α-β）.一般地，要关注以下“角”的变形： α=2·α2，2α=（α+β）+（α-β），β=（α+β）-α， α=（α-β）+β， β=（β-α）+α，2β=（α+β）-（α-β），α=（α+β）-β.

训练1：已知sin（A+π4）=7210，A∈（π4，π2），则cos A的值是．

简析：∴A∈（π4，π2），∴A+π4∈（π2，3π4），

∴cos（A+π4）=-1-sin2（A+π4）=-210.

∴cos A=cos（A+π4）-π4=cos（A+π4）cosπ4+sin（A+π4）sinπ4=35.

训练2：（1）计算sin 9°+cos 15°sin 6°cos 9°-sin 15°sin 6°的值是；（2）当cos α≠0时，计算sin（15°-α）+cos 15°sin αcos（15°-α）-sin 15°sin α=；（3）当cos α≠0时，计算sin（β-α）+cos βsin αcos（β-α）-sin βsin α= ．

简析：（1）注意到9°=15°-6°， 原式

=sin（15°-6°）+cos 15°sin 6°cos（15°-6°）-sin 15°sin 6°

=sin 15°cos 6°-cos 15°sin 6°+cos 15°sin 6°cos 15°cos 6°+sin 15°sin 6°-sin 15°sin 6°

=sin 15°cos 6°cos 15°cos 6°=tan 15°=tan（45°-30°）=2-3.

（2）的值为2-3；（3）的值为tan β.

热点考向2： 三角复合型函数的零点

函数y=f（x）的零点虽是新增内容，但其实质还是函数方程f（x）=0的实数根问题.因此，三角复合型函数的零点也是高考一个常考考点.这种问题往往涉及面广、综合性强，易错点多.

例2.（2023年12月耀正优教育联考题）已知函数f（x）=mcos x+sin x+n在区间π3， π2上存在零点，则m2+n2的最小值为（）

A. 1B. 22C. 35D. 12

解析：设函数f（x）在区间π3， π2上的零点为t，则mcos t+sin t+n=0．

（m，n）是直线xcos t+sin t+y=0上的点，m2+n2表示（m，n）到原点（0，0）的距离.因此，m2+n2≥｜sin t｜cos2t+1，m2+n2≥（｜sin t｜cos2t+1）min.

函数｜sin t｜cos2t+1=sin t2-sin2t=12sin2t-1在π3， π2上单增，其最小值为：

12sin2π3-1=35.

于是，m2+n2≥35，m2+n2≥35.故选C．

点评：本题主要考查函数的零点、m2+n2的几何意义、三角函数式的化简和单調性、能成立不等式等等，跳出常规、设计新颖、解法创新，有较大的综合性和难度，能有效考查考生的直观想象、逻辑推理和数学运算等核心素养．

训练3：已知=（asin x，cos x），=（sin x，bsin x），其中a，b，x∈R，f（x）=·，且满足f（π6）=f（3π2）=2. 若关于x的函数y=f（x）+lnk总有零点，求实数k的取值范围．

简析：f（x）=·=asin2x+bsin xcos x．

由asin2π6+bsinπ6cosπ6=2，

asin23π2+bsin3π2cos3π2=2，解得a=2，

b=23.

函数y=f（x）+lnk总有零点就是方程f（x）+lnk=0总有实数根，

即lnk=-2sin（2x-π6）-1.总有实数根．

由-3≤lnk≤1，解得e-3≤k≤e.

训练4：已知函数f （x） = 2sin x-xcos x+ax （a∈R）， f′（x）是f（x）的导函数.

（1） 若f′（x）在区间（0，π）内存在唯一零点，则a的取值范围是；

（2） 若f′（x）在区间（0，π）内存在两个零点，则a的取值范围是．

简析：f′（x）=cos x+x sin x+a，f″（x）=xcos x．

因为 x∈（0，π），所以当x∈（0，π2）时，f″（x）>0，f′（x）单增；

当x∈（π2，π）时，f″（x）<0，f（x）单减．

f′（x）在区间（0，π）内的最大值是f′（π2）=π2+a，且f′（π）=a-1，f′（0）=1+a，f′（π）

（1）若f′（π2）=π2+a=0，则a=-π2， 此时f′（x）在区间（0，π）内存在唯一零点π2．

若f′（x）在区间（π2，π）内存在唯一零点，在区间（0，π2）内没有零点，

则f′（π）<0，

f′（0）≥0，解得-1≤a<1. 故a的取值范围是-π2∪-1，1．

（2）若函数f′（x）在（0，π2）内有唯一零点，则f′（x）在区间（π2，π）内必有一个零点，

则f′（π2）>0，

f′（0）<0，解得-π2

故a的取值范围是-π2，-1.

热点考向3： 三角复合型函数的单调性

导数的引入，开辟了研究三角复合型函数的单调性问题的新思路和新途径，拓宽了高考对三角复合型函数问题的命题空间和解题空间，以致在近年来的高考和模考中，利用导数处理三角复合型函数的单调性成为高频考点．

例3.（2024年元月南昌市模考题）若函数f（x）=43x-13sin 2x+acos x在（-∞，+∞）内单调递增，则实数a的取值范围是．

解析：因为函数f（x）在（-∞，+∞）内单调递增，

所以f′（x）=43-23cos 2x-asin x≥0，即asin x≤43-23cos 2x，asin x≤43sin2x+23.

若sin x=0，则0≤23成立，a∈R.

若sin x>0，a≤43sin x+23sin x. 而（43sin x+23sin x）min=423，因此a≤423.

若sin x<0，a≥43sin x+23sin x. 而（43sin x+13sin x）max=-423，因此a≥-423.

綜上可知，实数a的取值范围是-423，423．

点评：本题以三角复合型函数为载体，主要考查可导单调函数的导数式充要条件、分类讨论思想和参变分离法.对于可导函数f（x）在区间D上单增（或单减）的充要条件是：在x∈D上恒有f′（x）≥0 （或f′（x）≤0），且或f′（x）在D的任意子区间上都不恒为零. 显然，这种逆向型试题用单调性的定义求解， 将会十分复杂， 甚至无法求解.而活用单调的导数式充要条件来处理则是一种有效途径. “已知三角函数的单调性，反过来确定解析式中参数的范围”的逆向设置方式，在近几年的高考和模考中也经常出现．

训练5： 若函数f（x）=sin 2x+4cos x+ax在R上单调递减，则实数a的取值范围是（）

A.（-∞，-3］B.（-∞，-3）

C.（-∞， 6］D.（-∞， 6）

简析：f′（x）=2cos 2x-4sin x+a=2（1-2sin2x）-4sin x+a≤0，

a≤4sin2x+4sin x-2=4（sin x+12）2-3，

4（sin x+12）2-3的最小值是-3，

所以a≤-3.故选A．

热点考向4：三角与相关知识的交汇

近几年的高考和模考，在不断加大对三角问题与相关知识交汇的考查力度， 其中以与向量交汇、与平几交汇、与立几交汇、与解几交汇居多.解题的关键在于灵活运用正余弦定理及其变式、三角函数的运算、向量的运算、平几立几知识等，复习中不容忽视．

例4.（2023年5月皖江联盟最后一卷）设两个向量=（λ+2，λ2-cos2α）和=（m，m4+sin α），其中λ，m，α为实数.若=4，则m的取值范围是．

解析：由=4，得λ2-m=cos2α+4sin α，

λ=4m-2，

所以λ2-m=5-（sin α-2）2，

于是-4≤λ2-m≤4.将λ=4m-2代入，得-4≤（4m-2）2-m≤4，

解得0≤m≤1716. 故m的取值范围是0，1716．

点评：本题主要是三角与向量的交汇，重点考查向量的代数化、三角恒等变换、求三角最值和不等式的求解等知识，难度比较大.主要表现在以下两点：一是字母参数多（共有λ，α，m三个）；二是综合性强，涉及到向量的坐标运算、三角函数的有界性、二次函数的最值、解不等式等等.将向量关系（=4）代数化（坐标化）仍然是求解这种问题的通性通法．

例5.（2023年12月河北省名校联盟联考题）在圆内接四边形ABCD中，已知AB=2， AD=3， AC平分∠BAD.

（1）若BC=2，求BD的长度；（2）求AC·BD的值．

解析： （1）因为∠BAD+∠BCD=π，

所以 cos∠BAD+cos∠BCD=0.

因为AC平分∠BAD，所以CD=BC=2.

于是9+4-BD22×3×2=4+4-BD22×2×2，解得BD=10.

（2）AC·BD=AC·（AD-AB）=AC·AD-AC·AB

=AC·ADcos∠DAC-AC·ABcos∠BAC

=AC2+AD2-DC22-AC2+AB2-BC22=AD2-AB22=9-42=52.

点评：本题主要是三角与平几、向量的交汇.一是根据平几中的对角互补和三角形的公共边BD， 利用余弦定理建构方程求BD的长度；二是对数量积AC·BD进行几何运算，利用图形的性质和余弦定理转化，变成已知条件，实现目标.显然，活用平几图形的相关性质、三角形中的公共边公共角，以及三角形中的边角关系等，都是解题的关键．

训练6： 阿波罗尼奥斯是与阿基米德、欧几里得齐名的古希腊数学家，以他姓名命名的阿氏圆是指平面内到两定点的距离的比值为常数λ（λ>0，λ≠1）的动点的轨迹.已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且sin A=2sinB，acosB+bcosA=3，则△ABC面积的最大值为（）

A.3B.33C.6D.63

简析：sin A=2sin B就是a=2b，即ab=2acos B+bcos A=3就是c=3.

因此顶点A的轨迹是阿氏圆，其半径是λc｜λ2-1｜=2×322-1=2.

ΔABC的底c=3是定值，当高为阿氏圆的半径时，面积最大，且为12×3×2=3.

故选A．

训练7：如图，用小刀切一块长方体像皮的一个角，在棱AD、AA1、AB上的截点分别是E、F、G，则截面△EFG（）

A.一定是等边三角形

B.一定是钝角三角形

C.一定是锐角三角形

D.一定是直角三角形

简析：如图，设AE=a，AF=b，AG=c.

则EF=a2+b2，FG=b2+c2，GE=c2+a2.

在ΔEFG中，cos∠FEG=a2+b2+c2+a2-b2-c22EF·GE=2a22EF·GE>0，所以∠FEG是锐角. 同理得到，∠EFG，∠FGE是锐角. 故选C．

热点考向5： 新定义型三角题

在高等数学与高中数学的知识交汇处命题是近几年高考命题的一种新趋势， 其中以三角复合型函数为载体的是一种重要题型.此类问题往往具有背景新、结构新、覆盖面广、综合性强的特点，常常置于选择题、填空题或解答题靠后的位置，成为高考或模拟试卷的亮点．

例6.（2023年10月山东济南模考题）定义在D上的函数f（x），如果满足：存在常数M>0，对任意x∈D，都有｜f（x）｜≤M成立，则称f（x）是D上的有界函数．

（1）试判断函数f（x）=2sin（x+π6）+3在实数集R上是不是有界函数？若是，给出证明；若不是，请说明理由．

（2）若函数g（x）=2cos（2x-π3）满足｜g（x）｜≤1，求x的取值范围．

解析：（1）∵|f（x）|=|2sin（x+π6）+3|≤|2sin（x+π6）|+3＝2|sin（x+π6）|+3 ≤2×1+3=5，此不等式对任意x∈R都成立，∴f（x）是R上的有界函数．

（2）|g（x）|≤1|cos（2x-π3）|≤12-12≤cos（2x-π3）≤12

2kπ+π3≤2x-π3≤2kπ+2π3或2kπ-2π3≤2x-π3≤2kπ-π3

kπ+π3≤x≤kπ+π2或kπ－π6≤x≤kπ，k∈Z，即为x的取值范围．

点评：本题以高等数学中函数的有界性为背景，给出新定义（设置新情境），考查考生阅读、理解、迁移新知识的能力.具有一定的创新性.解题的基本步骤是：弄懂新定义，按定义判断和列式，发现关系．

训练8：若直线l与曲线C满足下列两个条件：（1）直线l在点P（x0，y0）处与曲线C相切；（2）曲线C在P附近位于直线l的两侧，则称直线l在点P处“切过”曲线C.则下列命题中正确的是（）

A.直线l：y=x在点P（0，0）处“切过”曲线E：y=sin x；

B.直线l：y=x在点P（0，0）处“切过”曲线E：y=tan x；

C. 直线l：y=2在点Pπ6，2处“切过”曲线E：y=sin x+3cos x．

D. 直线l：y=-8x+π+1点Pπ8，1处“切过”曲线

E：y=2cos2（2x+π6）+3sin（4x+π3）

简析：由y′=cos x得曲线E：y=sin x点P（0，0）处的切线的斜率为1，故切线方程为y=x，且曲线C在P附近位于直线l的两侧，所以A对.

由y′=1cos2x得曲线E：y=tan x点P（0，0）处的切线的斜率为1，故切线方程为y=x，且曲线E在P附近位于直线l的两侧，所以B对.

y′=cos x-3sin x，在P（π6，2）点处切线的斜率是0，所以l：y=2与曲线E：y=sin x+3cos x相切，但曲线C在P附近位于直线l的同侧，所以C错.

y=2cos2（2x+π6）+3sin（4x+π3）=1+2cos 4x，在P（π8，1）处切线的斜率是-8，所以l：y=-8x+π+1与曲线E：y=2cos2（2x+π6）+3sin（4x+π3）相切，且曲線E在P附近位于直线l的两侧，所以D对.故选ABD．

热点考向6： 限制角条件的三角问题

近年来，高考和模考中出现了不少限制角条件的“三角”问题，比如锐角三角形、钝角三角形、三内角成等差数列、三边成等比数列、某些角之间的特殊关系、图形中隐含的角的条件等等，使得试题的结构更加新颖、更加活泼、更加全面，有效考查了考生思维的缜密性、严谨性、深刻性和灵活性．

例7.（2023年11月安徽合肥质检题）在钝角△ABC中，三内角A，B，C成等差数列，且a>c，则sin2C2+3sinA2·cosA2-12的取值范围是．

解析：因为A、B、C成等差数列，所以2B=A+C，B=π3.

于是，sin2C2+3sinA2·cosA2-12=1-cos C2+32sin A-12

=32sin A-12cos（2π3-A）=12sin（A+π6）．

由π2

∴14<12sin（A+π6）<34. 故sin2C2+3sinA2·cosA2-12的取值范围是（14， 34）．

点评：本题中角的限制条件是“ΔABC是钝角三角形”，将sin2C2+3sinA2·cosA2-12化为关于角A的一元函数，由钝角三角形条件确定角A的范围是解题的关键.易错在只考虑角A是钝角（π2

训练9：在锐角ΔABC中， 内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且（sin A-sin C）2=sin2B-（2-3）sin A·sin C．

（1）求角B的大小；

（2）若BA·BC+AB·AC=22c， 求ΔABC面积的取值范围．

简析：（1）易得B=π6.

（2）由BA·BC+AB·AC，得acos B+bcos A=22，

即a·a2+c2-b22ac+b·b2+c2-a22bc=22，解得c=22.

由asin A=csin C，得a=csin Asin C=22sin（5π6-C）sin C．

于是，SΔABC=12acsin B=2sin（5π6-C）sin C=1tan C+3．

由0

故ΔABC面积的取值范围是（3， 433）．

训练10：在锐角ΔABC中， 内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且ccos B+bcos C=2acos A，则角A的大小是，1tan B+1tan C的取值范围是．

简析：易得A=π3. π6

sin Bsin C=sin Bsin（2π3-B）=34sin 2B-14cos 2B+14=12sin（2B-π6）+14.

故1tan B+1tan C的取值范围是233，3.

热点考向7： 三角知识的实际运用

三角知识在实际问题中的运用，主要涉及到测量问题、用料问题、行程问题、天文问题、物理问题等等，其中的优化问题往往要求其最值， 选择恰当的角参数、建立目标函数、构建方程和不等式是解题的关键．

例8.（2023年12月湖北武汉模考题） 如图，某学校有一块平面四边形ABCD空地，已知AD+CD=8，∠ADC=120°，且SΔADC=1534.

（1）求A、C两点间的距离；

（2）设ΔABC的角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足a+bc=sin A-sin Csin A-sin B，现要在ΔABC内做一个最大的圆形花圃，求这个最大圆形花圃的面积．

解析：（1）在△ACD中，因为SΔADC=12AD·CDsin 120°=1534，所以AD·CD=15.

于是，AC2=AD2+CD2-2AD·CD·cos 120°=（AD+CD）2-AD·CD

=64-15=49，AC=7. 故A、C两点间的距离是7.

（2）由正弦定理，得a+bc=sin A-sin Csin A-sin B=a-ca-b，即b2=a2+c2-ac.由余弦定理，得cos B=12．

又B∈（0，π），所以B=π3. 设ΔABC内切圆的半径是r.由（1）可知a2+c2-ac=49，

即（a+c）2=49+3ac.S△ABC=12acsin B=12（a+b+c）·r，

因此r=32ac7+a+c=123×（a+c）2-497+a+c=123（a+c-7）．

在ΔABC中，由正弦定理得asin A=csin C=bsin B=1433，

所以a=1433sin A，c=1433sin C．

于是a+c=1433（sin A+sin C）=1433［sin A+sin（120°-A）］

=1433sin A+32cos A+12sin A

=143332sin A+32cos A

=14sin A·32+cos A·12=14sinA+π6．

又A∈0，2π3，所以A+π6∈π6，5π6．

当A+π6=π2时，a+c取得最大值14，从而内切圆的半径r取得最大值736.

故最大圆形花圃的面积是π（736）2=49π12.

点评：本题其实是“以图形（四边形）为载体的解三角形问题”，主要考查数形结合、直观想象、灵活运用正余弦定理和三角恒等变换的技能，将边角关系与三角形、正余弦定理有机结合是解题的要点．

训练11：某公园计划改造一块四边形ABCD区域建设草坪（如图），其中AB=2百米， BC=1百米，AD=CD，AD⊥CD.草坪内需要规划4条人行道DM，DN，EN，EM，以及两条排水沟AC，BD.其中M，N，E分别是边BC，AB，AC的中点．

（1）若∠ABC=π2，求排水沟BD的长；

（2）当∠ABC变化时，求4条人行道总长度的最大值．

简析：（1）易在ΔBCD中，求出cos∠MCD=-1010，BD=322．

（2）设∠ABC=α，∠BAC=β，∠ACB=θ.

由ACsin α=1sin β=2sin θ，得sin β=sin αAC， sin θ=2sin αAC.

易得cos∠MED=cos（β+π2）=-sinβ，cos∠NED=cos（θ+π2）=-sinθ.

AC2=5-4cos α， MD2=94+sin α-cos α，ND2=32+sin α-cos α.

于是，DM+DN+EN+EM=94+t+32+t+32，其中sin α-cos α=t，-1

故DM+DN+EN+EM的最大值為94+2+32+2+32=6+322.

以上介绍了高考对三角问题七大热点考向预测，这些内容很好地体现了三角中的核心知识和重要思想方法（数形结合、变角、换元、建模、转化与化归等）.需要注意的是， 由于新课标教材体系、结构、内容的变化和高考能力立意思想的加强，三角问题的题型、内容、背景、设置方式以及解题方法都有较大的变化，与相关知识交汇的力度也在不断加大.因此， 我们在切实掌握基础知识、基本技能和基本方法的基础上， 还要重视对新题型的训练和探究， 在高考中以不变应万变．

责任编辑徐国坚