基于核心素养的微单元教学——对高考试题的课堂探究

安徽省萧县中学(235200) 殷雪剑 路召飞

近些年来,函数的导数大题中的极值点偏移问题多次作为压轴题呈现,试题中把函数的零点,函数的最值,函数的极值,不等式的证明,函数的同构构造等知识点交叉融合,再改变试题的结构层次.这对教学与研究提出了更高的要求,在实际的数学课堂上,弄清知识的基础内涵以及更深层次的本质,才能培养学生的数学核心素养.下面以2021,2022 年全国卷中的两道极值点偏移问题进行深入的课堂教学探究,挖掘其核心本质要素: 极值点单侧的单调性、多变量化归单变量、不等式放缩、同构构造等,这将有利于高考前的一轮复习、培优学习,通过单元专题的设计,极大的提升学生学习此类问题的效率.

1 提出问题,再思考

问题1(2022 年高考数学理科全国甲卷第21 题)f(x)=-lnx+x-a.

(1)若f(x)≥0,求a的取值范围;

(2)证明:若f(x)有两个零点x1,x2,则x1x2＜1.

试题分析试题以指数函数、对数函数、幂函数为背景,以函数的最值,参数范围为出发点,由非对称函数的零点引入不等式的证明.既可以通过常规的方法解决问题又可以构造同构函数另辟途径,试题的设计既基础常规又满足综合能力考查的要求,在新课标的理念下,体现了价值引领、素养导向、能力为重、知识为基的新理念.

解析(1)f′(x)=,x∈(0,1),f′(x)＜0,x∈(1,+∞),f′(x)＞0,则f(x)min=f(1)=e+1-a≥0,即a≤e+1.对于(2)采用如下的思路探究:

思路点评由非对称函数的极值点单侧单调,可以构造对称函数,再利用其单调性即可完成证明,这也是此类题的常规处理方法,教学中务必夯实通性通法,有助于提高学生的数学逻辑推断能力.此题同时出现了指、对函数,能否尝试一下构造呢?

思路点评对于原函数先构造同构函数f(x)=ex+x-a,问题即转化为对数平均不等式的证明,进而完成本题的证明.构造同构函数亦是近些年来高考命题的热点与难点,特别是大小比较中尤为常见,在教学中渗透同构思想亦显得尤为重要,常见同构式x=elnx=ln ex.

思路点评对于双变量证明,要化归为单变量问题,即通过比值代换,构造单变量的函数,再利用函数的单调性证明,比值换元可以避开极值点,因而也是不等式证明问题中常用的思路,所以教学中,既要夯实双基,又要掌握必要的技巧和多法的归一.

2 问题结构的变式探究

导数作为压轴题,既要考查综合能力,又要承担具备很好的选拔功能,因而试题的结构形式呈现多元化.深化命题情景,搭建函数模型,挖掘题目深意,化归问题本质.

(2021 年新高考Ⅰ卷第22 题) 已知函数f(x)=x(1-lnx).

(Ⅰ)讨论f(x)单调性;

(ⅠⅠ)设a,b为两个不相等的正数,且blna-alnb=a-b,证明: 2＜＜e.

解析(Ⅰ)函数f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=-lnx,令f′(x)＞0,解得0＜x＜1,令f′(x)＜0,解得x＞1,所以f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减.

(ⅠⅠ) 因为blna-alnb=a-b,所以.令x1=,x2=,则x1,x2为f(x)=k的两个实根,且设x1∈(0,1),x2∈(1,e),则2-x1＞1,e-x1＞1,即x1+x2＞2 为极值点偏移问题,采用对称构造即可(证明省略).再证右边不等式x1+x2＜e.

思路探究1

对比左端,右侧显然不适合再用对称构造来处理问题,换元亦是处理多变量问题的常用手段,进而达到问题单变量的化归,故可以尝试比值换元.

思路探究2发散思维,拓展深化,构建不等式模型,另辟路径,即有“柳暗花明又一村”的感觉.因为0＜x1＜1,所以1-lnx1＞1,因为x1(1-lnx1)=x2(1-lnx2)＞x1,所以x1+x2＜2x2-x2lnx2.令G(x)=2x-xlnx,x∈(1,e),则G′(x)=1-lnx＞0,G(x) 在(1,e) 单调递增,所以G(x)＜G(e)=e,即2x2-x2lnx2＜e,故x1+x2＜e.

思路点评极值点偏移问题呈现命题多样化,首先应该把问题等价转化为极值点偏移的结构,彰显数学的构造思想和化归思想,否则很难完成证明,因而掌握其核心结构显得尤为关键.

反馈练习

1.已知函数f(x)=lnx-ax2+(2-a)x

(1)讨论f(x)的单调性;

(2)设a＞0,证明: 当0＜x＜时,;

(3)若函数y=f(x)的图像与x轴交于A,B两点,线段AB的中点的横坐标为x0,证明f′(x0)＜0.

2.已知函数f(x)=-x+alnx.

(1)讨论f(x)的单调性;

(2)若f(x)存在两个极值点x1,x2,证明:

3.已知a∈R,函数f(x)=x-aex+1 有两个零点x1,x2,(x1＜x2).

(1)求实数a的取值范围;

简要解析(1)问题等价于a=,令g(x)=,g′(x)=,x∈(-∞,0),g′(x)＞0;x∈(0,+∞),g′(x)＜0 易得0＜a＜1.

(2) 易知x1＜0＜x2,构造函数h(x)=g(x)-g(-x),x＜0,求导可得h′(x)=g′(x)+g′(-x)=x(ex-e-x)＞0,h(x)＜h(0)=0,所以g(x2)＜g(-x1)⇔x1+x2＞0,进而可得＞2.

3 高考新题型预测

(2023 长郡中学高三月考)已知a＞b,c＞d,=1.01,(1-c)ec=(1-d)ed=0.99,则

A.a+b＞0 B.c+d＞0

C.a+d＞0 D.b+c＞0

解:令f(x)=,(x＞-1),则f′(x)=,f(x)在(-1,0)单调递减,(0,+∞)单调递增,且f(0)=1.故a＞0,-1＜b＜0.令h(x)=lnf(x)-lnf(-x),x∈(-1,1),则h′(x)=2-＜0,所以h(x)在(-1,1)单调递减,且h(0)=0,易知f(b)＞f(-b)⇔f(a)＞f(-b),即得a＞-b⇔a+b＞0 故A 正确.令g(x)=(1-x)ex,x＜1,易求g(x)在(-∞,0)单调递增,在(0,1)上单调递减,且g(0)=1,故0＜c＜1,d＜0.令

x∈(-1,1),所以m(x)在(-1,1)单调递减,且m(0)=0,因为c∈(0,1),所以g(c)＜g(-c),即得c+d＜0.故选项B 错误.由于f(x)=,g(-a)=＞0.99,a∈(-1,0),即得g(-a)＞g(d),又因为g(x)在(-∞,0)上单调递增,所以a+d＜0,故C 错误.同理可得D 正确.故选择AD.

方法点睛本题是以选择题的结构来命制的,考点依然是极值点偏移问题,题型新颖难度极大,融合函数构造,大小比较等高考热点,因此平时教学中务必夯实学生的基础知识,才能较好的处理此类问题.

4 教学反思与总结

在教学中,数学问题是不断变化的,既要注重基本知识技能培养,还要拓展知识的深度和广度,掌握问题中变化的不变量,慢慢培养学生的高阶数学思维,才能帮助其提高解决导数压轴题的硬实力,进而才能挖掘出内在的数学本质,在课堂教学上立足单元高度,彰显数学思想,才能将新课标的核心理念落到实处.