剖析极值点偏移问题的处理方法

■江苏省盐城市时杨中学 刘长柏

极值点偏移是指函数在极值点左右的增减速度不一样,导致函数图像不对称,极值点偏移问题常常出现在高考数学的压轴题中。这类题往往对思维要求较高,过程较为烦琐,计算量较大。解决极值点偏移问题,常见的有构造对称函数法和比值代换法,二者各有千秋,独具特色。

一、极值点偏移的概念

已知函数y=f(x)是连续函数,在区间(a,b)内只有一个极值点x0,f(x1)=f(x2),且x0在x1与x2之间,由于函数在极值点左右两侧的变化速度不同,使得极值点偏向变化速度快的一侧,常常有这种情况,称为极值点偏移。

二、极值点偏移问题的处理方法

1.对称构造法求极值点偏移问题

例1已知函数f(x)=ax2+ln(x-1)。

(1)求函数f(x)的单调区间;

点评:对称变换求极值点偏移,主要用来解决与两个极值点之和、积相关的不等式的证明问题。解题的关键在于构造函数,对结论x1+x2＞2x0型,构造函数F(x)=f(x)-f(2x0-x)或F(x)=f(x0+x)-f(x0-x),判断函数F(x)在某段区间上的正负,并得出f(x)与f(2x0-x)的大小关系,进一步转化为x与2x0-x之间的关系,进而得到所证或所求;对结论x1·x2＞x20型问题,构造函数,通过研究F(x)的单调性获得不等式证明。

2.消参减元法求极值点偏移问题

(i)比值代换法求极值点偏移问题。

例3已知函数f(x)=lnx-ax,a为常数,若函数f(x)有两个零点x1,x2,试证明:x1x2＞e2。

解析:不妨设x1＞x2＞0。

(ii)差值换元法求极值点偏移问题。

例4已知函数f(x)=xe-x(x∈R),若x1≠x2,且f(x1)=f(x2),证明:x1+x2＞2。

解析:由题意,函数f(x)=xe-x(x∈R),可得f'(x)=(1-x)e-x。

当x＜1时,f'(x)＞0;

当x＞1时,f'(x)＜0。

可知函数f(x)在(-∞,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,且f(0)=0。

又et-1＞0,故等价于证明2t+(t-2)·(et-1)＞0。②

构造函数G(t)=2t+(t-2)(et-1),t＞0,则G'(t)=(t-1)et+1,G″(t)=tet＞0。

故G'(t)在(0,+ ∞)上单调递增,G'(t)＞G'(0)=0。

从而G(t)也在(0,+∞)上单调递增,G(t)＞G(0)=0。

故②式成立,也即原不等式x1+x2＞2成立。

点评:比(差)值换元的目的是消参、减元,是根据已知条件首先建立极值点之间的关系,然后利用两个极值点之比(差)作为变量,从而实现消参、减元的目的。设法用比值(一般用t表示)表示两个极值点关系,即t=,化为单变量的函数不等式,继而将所求问题转化为关于t的函数问题求解。

变式训练

1.已知函数f(x)=2alnx-x2+2(a-1)x+a。若f(x)有两个不同的零点x1,x2,求a的取值范围,并证明:x1+x2＞2a。

解析:f(x)的定义域为(0,+∞)。

当a≤0时,f'(x)＜0 在(0,+∞)上恒成立,则f(x)在(0,+∞)上单调递减,不符合题意。

当a＞0时,在(0,a)上有f'(x)＞0,在(a,+∞)上有f'(x)＜0,所以f(x)在(0,a)上单调递增,在(a,+∞)上单调递减。

f(a)＞0,解得a＞1,经检验满足题意。