多角度科学建模 殊途一定能同归——对2013年浙江高考理综物理第25题的再思考

王朝辉

(南京市江宁高级中学,江苏 南京 211100)

近日阅读文献时发现,不少文献对浙江省2013年高考理综第25题的看法各异,众说纷纭,莫衷一是.[1-7]准确理解试题物理情境,科学合理地建立物理模型,是正确解决问题、实现多种方法殊途同归的关键.下面从海水在推进器通道中的运动、海水压力对通过推进器通道的海水是否做功、出水口海水速度值自洽性等3个方面分析论证,准确理解试题物理情境,并在不同参考系中应用不同的物理规律多角度科学建模,分析得到了多种方法相一致的结果.

1 试题再现

例题.(2013年浙江高考理综第25题)为了降低潜艇噪声,提高其前进速度,可用电磁推进器替代螺旋桨.潜艇下方有左、右两组推进器,每组推进器由6个相同的、用绝缘材料制成的直线通道推进器构成,其原理示意图如图1所示.在直线通道内充满电阻率ρ=0.2 Ω·m的海水,通道中a×b×c=0.3 m×0.4 m×0.3 m的空间内,存在着由超导线圈产生的匀强磁场,其磁感应强度B=6.4 T,方向垂直通道侧面向外.磁场区域上、下方各有a×b=0.3 m×0.4 m的金属板M和N,当其与推进器专用直流电源相连后,在两板之间的海水中产生了从N到M,大小恒为I=1.0×103A的电流,设该电流只存在于磁场区域.不计电源内阻及导线电阻,海水密度ρm≈1.0×103kg/m3.

图1 推进器原理图

(1)(2) 两问略.

(3) 当潜艇以恒定速度v0=30 m/s前进时,海水在出口处相对推进器的速度v=34 m/s,思考专用直流电源所提供的电功率如何分配,求相应功率的大小.

2 从3个方面分析论证,准确理解试题情境

2.1 海水在推进器通道中运动的分析论证

试题情境是潜艇电磁推进器中海水在磁场安培力作用下的能量转化问题,而海水在管道中的运动属于流体力学问题.忽略流体的压缩性、内部黏滞阻力以及流体与管道内壁的摩擦阻力后,在与管道相对静止的潜艇参考系中观察,流体在通道内做稳定流动,称为理想流体的定常流动,也叫稳流,其运动规律遵循连续性原理和伯努利方程.

海水相对于进口处、进口和直线通道交界处、出口处3个截面的速度分别为v0=30 m/s、v′、v,如图2所示.根据连续性原理有

图2 通道截面处的压强温度

v0S0=v′bc=vbc.

(1)

由式(1)和图示截面积的大小关系可知v0

2.2 海水压力是否做功的分析论证

由于推进器通道进、出口位于海洋中同一深度,根据液体内部压强公式p液=ρ海gh,则进口、出口处的海水压强p0=p.

(1) 在潜艇参考系中.

在潜艇参考系中观察,在图2中,极短时间Δt内,进口处海水压力对进入通道的海水做的功W1=p0S0v0Δt,出口处海水压力对喷出通道的海水做功为W2=-pbcvΔt.由连续性原理式(1)可知,进口、出口处海水压力所做的总功

W=W1+W2=p0S0v0Δt-pbcvΔt=0.

(2)

式(2)表明:在潜艇参考系中,海水压力对通过推进器通道的海水所做的总功为0.因此,对通过推进器通道的海水仅有安培力做功,则由动能定理可知:安培力的功率等于单位时间内从直线通道出口喷出海水动能的增加值.

在潜艇参考系中,潜艇速度为0,提供潜艇前进的牵引力功率为0.因此,潜艇参考系中的观测者认为:专用直流电源提供的电功率转化为两部分,一是磁场区域内通电海水产生的焦耳热功率,二是单位时间内从直线通道出口喷出海水动能的增加值(也等于安培力做功的功率).

(2) 在地面参考系中.

在地面参考系中观察,在图2中,极短时间Δt内,由于进口处海水速度为0,则进口处海水压力对进入通道的海水做的功为0,即W1′=0,而出口处海水压力对喷出通道的海水做的功为W2′=-pbc(v-v0)Δt.因此,进口、出口处海水压力所做的总功

W′=W1′+W2′=-pbc(v-v0)Δt≠0.

(3)

式(3)表明:在地面参考系中,海水压力对通过推进器通道的海水所做的总功不为0.因此,对通过推进器通道的海水不仅有安培力做功,还有海水压力做功,则由动能定理可知:海水动能的增加等于安培力和海水压力的总功,即安培力的功率不等于单位时间内从直线通道出口喷出海水动能的增加值(高考参考答案在地面参考系中未加论证而误认为“等于”).

因此,地面参考系中的观测者认为:专用直流电源提供的电功率转化为3部分,一是提供潜艇前进的牵引力功率,二是磁场区域内通电海水产生的焦耳热功率,三是安培力做功的功率(但不等于单位时间内从直线通道出口喷出海水动能的增加值).

2.3 出口处海水速度值自洽性的分析论证

重力场中的伯努利方程为

(4)

(5)

(6)

上述分析及式(6)表明:题目条件v=34 m/s,确实是为了方便学生解题给定的多余条件,且不自洽.

3 应用不同物理规律多角度科学建模论证

以下均以单个推进器为例,为了便于看清应用不同物理规律多角度建模,分析论证所得结果是否殊途同归,只进行字母运算,不做数值计算.

海水产生的焦耳热功率与参考系的选择无关,均为

(7)

3.1 应用力的功率公式P=Fv计算

(1) 在潜艇参考系中.

在潜艇参考系中,潜艇速度为0,潜艇牵引力(直通道内海水所受磁场安培力的反作用力)功率为0.

直通道内海水相对于推进器的速度为v,直通道内海水所受安培力为F安=BIc,则安培力对直通道内海水做功的功率为

P安=F安v=BIcv.

(8)

由式(7)(8)得,专用直流电源所提供的电功率为

(9)

(2) 在地面参考系中.

在地面参考系中,直通道内海水相对于地面的速度为v-v0,直通道内海水所受安培力为F安=BIc,则安培力对直通道内海水做功的功率为

P安=F安(v-v0)=BIc(v-v0).

(10)

潜艇牵引力(直通道内海水所受磁场安培力的反作用力)功率为

P牵=F安v0=BIcv0.

(11)

由式(7)(10)和(11)得,专用直流电源所提供的电功率为

(12)

式(12)与式(9)一致,两种方法殊途同归.

3.2 应用闭合电路的功率关系计算

(1) 在潜艇参考系中.

设专用直流电源的电动势为E,在潜艇参考系中,观测者观测到的只是静磁场B,直通道磁场区域内海水以速度v切割磁感线产生的动生电动势E动生=Bcv,根据右手定则可知其方向与海水中的电流方向反向,等效电路如图3所示,则有E=IR+E动生,两端乘以电流I,得专用直流电源所提供的电功率为

(13)

图3 潜艇参考系的等效电路

式(13)与式(9)(12)一致,3种方法殊途同归.

另外,式(13)中动生电动势方向与回路电流方向相反,是反电动势,在消耗推进器专用直流电源的能量.动生电动势消耗的功率E动生I=BIcv对应着潜艇参考系中安培力的功率式(8).在这里,我们看到了潜艇参考系中,电路分析和力学分析的对应关系以及力、电分析的统一性.

(2) 在地面参考系中.

(14)

图4 地面参考系的等效电路

式(14)与式(9)(12)(13)一致,4种方法殊途同归.

另外,从式(14)中可以看出:动生电动势和感生电动势方向与回路电流方向相反,都是反电动势,消耗推进器专用直流电源的能量.动生电动势消耗的功率BIc(v-v0)对应着地面参考系中安培力对直通道内海水做功的功率式(10);感生电动势消耗的功率BIcv0对应着地面参考系中潜艇牵引力(直通道内海水所受磁场安培力的反作用力)功率式(11).在这里,我们又看到了地面参考系中,电路分析和力学分析的对应关系以及力、电分析的统一性.

3.3 应用单位时间内喷出的海水动能的增加值计算

无论在哪个参考系,极短时间Δt内,从出水口喷出的海水质量为

Δm=ρmbcvΔt.

(15)

(1) 在潜艇参考系中.

式(2)表明:在潜艇参考系中,海水压力对通过推进器通道的海水所做的总功为0.因此,对通过推进器通道的海水仅有安培力做功,则由动能定理可知:安培力的功率等于单位时间内从直线通道出口喷出海水动能的增加值.

在极短时间Δt内,以从进水口进入、出水口喷出的海水以及推进器管道中的海水(这部分海水的动能没有变化)为研究对象,从直通道喷出的海水增加的动能为

(16)

由式(15)(16)得单位时间内从直线通道出口喷出海水动能的增加值为

(17)

因此,专用直流电源所提供的电功率为

(18)

显然式(18)与式(9)(12)(13)(14)一致,5种方法殊途同归.

(2) 在地面参考系中.

前面式(3)表明:在地面参考系中,海水压力对通过推进器通道的海水所做的总功不为0.因此,安培力的功率不等于单位时间内从直线通道出口喷出海水动能的增加值(高考参考答案在地面参考系中未加论证而误认为“等于”).若认为安培力功率等于单位时间内从直线通道出口喷出海水动能的增加值,则会出现与前述5种方法不同的结果.

在极短时间Δt内,以从进水口进入、出水口喷出的海水以及推进器通道中的海水(这部分海水的动能没有变化)为研究对象,考虑到从进口进入的海水的速度为0,则从直通道喷出的海水增加的动能为

(19)

由式(15)(19)得安培力对直通道内海水做功的功率为

(20)

潜艇牵引力(直通道内海水所受磁场安培力的反作用力)功率为P牵=F安v0=BIcv0,则专用直流电源所提供的电功率为

(21)

显然,式(21)与式(9)(12)(13)(14)(18)明显不一致,这是误认为“地面参考系中,安培力的功率等于单位时间内从直线通道出口喷出海水动能的增加值”造成的.

4 结束语

综上所述,在单位时间内专用直流电源消耗的电能是一个客观事实,与参考系的选择无关,即专用直流电源所提供的电功率在不同参考系中相同.5种方法殊途同归,其本质就是潜艇参考系中两部分功率之和等于地面参考系中三部分功率之和,均等于专用直流电源所提供的电功率.