核心素养导向下初中数学建模能力培养探究

⦿ 江苏省扬州市广陵区霍桥学校 景国玲

作为《义务教育数学课程标准(2022年版)》所倡导的十大核心概念之一,模型思想不仅对达成“四能”目标具有导向作用,也是数学核心素养的重要组成部分.事实上,数学教材对模型思想的渗透十分重视,教师能深挖教材中的有效素材,不失时机地对学生进行渗透,则可以让学生切实体验建模的过程,积累建模的经验,提高数学建模能力,提升数学核心素养[1].那么,落实到具体的教学实践中如何让学生切实体验建模过程,提高建模能力呢?下面结合具体的教学实例,阐述教法指导的灵活应用,以飨读者.

1 从变量关系的分析着手,通过数据的梳理助力数学模型的建立

剖析教材不难发现,模型思想的渗透随处可见,例习题、复习题及阅读材料中不乏各种应用性问题,其中,一些问题是通过自然语言表示的,只需先转化为数学语言,再利用已学模型求解即可;另一些则是贴近现实生活并具备现实生活的元素特征,需要通过抽象,才能转化为数学问题求解.这种需要深度加工的数学问题需从模型的假设与变量关系的分析着手,实现数学建模,一旦分析变量关系的角度偏离,则数学建模也会徒劳无功.由此可见,从变量关系的分析着手,引导学生梳理和厘清数据,有利于学生快速建立数学模型,从而提升数学建模能力.

案例1一元一次不等式

问题某超市体育用品采购员去厂家踩点并批发购进100个篮球与足球,超市一共支付了11 815元.已知篮球与足球的批发价分别为130元/个和100元/个,且商场的零售价分别为160元/个和120元/个.

(1)采购员最多可以批发多少个篮球?

(2)若该超市进货后全都以零售价卖出了这100个球,且获得了不低于2 580元的利润,你觉得采购员购进的篮球至少是多少个?盈利了多少?

师生活动:在对题设和问题深入解读的基础上,教师引导学生分析题目中的数量关系,将现实问题转化为数学问题,并构建不等式模型,这样的过程就是数学抽象与建模的过程.例如,第(1)问,学生容易在分析后设有x个篮球,并列出不等式130x+100×(100-x)≤11 815,解得x≤60.5.又因为x为正整数,所以最多可批发60个篮球.就这样,在深入思考与分析后,学生能感受到抽象、假设和转化的必要性,并将实际问题巧妙转化为不等式问题,在建立不等式模型后运用不等式的性质解决问题.

这样的过程中,正是因为教师有意识地让学生在体验变量间的关系和梳理数据中真切感受到模型的抽象与转化,使得模型思想的渗透水到渠成,促进数学建模能力的自然发展.

2 重视图象表格的绘制,通过数形结合的渗透助力建模效率的提高

一般来说,对于学生建模能力的发展,数形结合可以起到事半功倍之效.借助数形结合思想,通过“以形助数”的策略,教师引导学生“形”中探“数”,在图形中探寻数量关系,寻求解决问题的途径,最终在分析和抽象中让问题获解[2].基于此,笔者认为教师应重视图象、表格的绘制,引导学生以表格或图象等方式阐述数据关系,激活学生的思维,最终通过直观解读与剖析助力快速建模,最终提高建模的效率.

案例2反比例函数

师生活动:为了让问题快速、准确获解,学生在教师的引导下充分利用数形结合的思想绘制图象(如图1),并借助待定系数法确定一次函数与反比例函数的解析式,最后通过几何关系求解,得出了△AOB的面积.

图1

图2

数形结合思想的孕育就是将数学运算、数量关系与几何图形充分沟通,让“数”与“形”各展所长,从而使逻辑思维与形象思维完美统一.以上案例中,通过图形探寻数学问题中的数量关系,借助“以形助数”促进学生开阔思维,以培养学生的数学建模能力,进而提高数学核心素养.

3 关注隐性规律的探寻,通过多元整合提升建模的灵敏度

在解决一些数学问题时,我们会发现有些问题中的数量关系较为明确,而有些问题中的变量关系却较为隐晦,这就需要在探寻到题目中隐含的隐性规律之后再进行数学建模,最终使问题获解[3].基于此,教师想要训练学生数学建模的能力,就需提高学生探寻隐性规律的能力,即增设难度问题,有意识地让学生真切体验探寻隐性规律的过程,从已有数据与线索着手深度挖掘其中的隐性规律,并通过多元整合达成数学建模,以提升建模的灵敏度,使数学建模能力得到快速发展.

案例3一次函数

问题王阿姨提着家中0.25 kg重的篮子去菜市场购买5 kg鸡蛋.菜市场的摊贩将装有5 kg鸡蛋的篮子递还给王阿姨,王阿姨立刻察觉出鸡蛋的个数较以往同样购买5 kg少了许多.于是,王阿姨要求摊贩重新称重,摊贩照做,并称得5.275 kg.王阿姨即刻指出“篮中仅有4.5 kg鸡蛋,需找回0.5 kg鸡蛋的钱”.你们知道这是为什么?王阿姨是如何知道摊贩少给了约0.5 kg鸡蛋呢?

由于初中生对于隐含数量的敏锐度不足,需要教师从多侧面、多角度来引导学生互译现实问题和数学问题,在深入思考与探索中加深对各种数学模型的体会,进一步感悟模型思想的本质,进而积累数学建模的经验和提升思维的灵活度.以上案例中,教师以一道趣味性的现实问题为载体,引导学生挖掘和探寻问题中的隐含规律,让学生在拾级而上的探索中强化新知,经历建模的抽象过程,发展自身的想象力,深化模型思想的认知.

总之,初中阶段教师需注重模型思想的发掘与渗透,将建模能力的发展作为学生素养的载体,无论是教学目标的定位、教学素材的选择、问题情境的创设、探究活动的设计以及教材方法的孕育,都需围绕建模能力这条主线展开,为学生的思维留足发展空间,让学生具备良好的建模意识和丰富的建模经验,最终内化为数学核心素养[3].