圆电流在非均匀磁场中所受的安培力*

詹 琼 张兴刚

(贵州大学物理学院 贵州 贵阳 550025)

载流导线在磁场中受到的磁场力又称为安培力,用安培定律进行分析和计算,其数学表达式为dF=Idl×B.当外磁场是均匀磁场时,求解过程相对简单一些;当外磁场不是均匀磁场时,求解这一类问题时有一定的难度.

下面就一个例题的求解进行分析研究.此题可见马文蔚等教师编写的《物理学》第七版第295页的例题2.一般来说,大学物理教师在讲安培力的计算时要么不用该例题,要么主要讲解其涉及的物理模型,对计算结果不会作仔细推导.然而,仍有部分学生关心题目的具体求解方法和步骤.

1 例题分析

【例题】载流导线间的磁场力.如图1所示,一无限长载流直导线与一半径为R的圆电流处于同一水平面内,它们的电流分别为I1和I2,直导线与圆心相距为d,且d>R,求作用在圆电流上的磁场力.

图1 例题题图

解析：如图1,建立坐标系Oxy.由题知电流元I2dl所在处的磁感应强度方向垂直纸面向外,大小为

(1)

此电流元受到的安培力方向如图1所示,大小为

(2)

式中

dl=Rdθ

对于圆电流上处于不同位置的电流元,其受到的安培力有不同的方向.因此需要考虑dF沿x轴与y轴的分量,它们分别为

(3)

(4)

于是整个圆电流在y方向所受的安培力为

(5)

Fy=0也可以通过对称性分析得到.

同理有

(6)

这里直接给出了

这个积分比较困难.我们给出了两种计算这个积分的方法.

1.1 方法一——换元积分法

令

则有

由于θ的积分范围为[0,2π][1],故t对应的积分范围为[0,∞]与[-∞,0],于是

(7)

利用积分公式

对上式进行积分得

(8)

1.2 方法二——复变函数法

留数定理[2]:设C为一条简单正向闭曲线,若f(z)在C上连续,在C所包围的区域D内除有限个孤立奇点z1,z2,…,zk外解析,则

(9)

而对极点处的留数计算有:若z0为f(z)的m级极点,则

(10)

现在令z=eiθ,则

由于θ的积分范围为[0,2π],恰好对应z沿圆周|z|=1正向绕行一周,于是有

(11)

分母有两个根

为被积函数的奇点,其中z1在|z|=1内,于是有

(12)

2 讨论

通过前面的两种数学推导过程可以看到,对形如以下的积分

当被积函数的原函数很难看出或不能用初等函数的有限形式表示时,这时采用复变函数中的留数定理计算较为简单方便.而复变函数又是理工类专业常开设的一门课程,故在进行教学时适当进行一些引导,有利于培养学生学习的能力和兴趣.但当电流不是整个圆形,而是其中一部分圆弧时,换元积分法只需积分范围相应改变即可,而复变函数法就不能采用了.