乘型模糊判断矩阵排序向量的递推方法

何 霞，杜迎雪，刘卫锋

（郑州航空工业管理学院 数学学院，河南 郑州 450046）

在决策过程中，人们对方案或元素的重要性进行两两比较，并进行量化时，往往采用判断矩阵这一行之有效的工具。然后，通过各种方法求出判断矩阵的排序向量，并依靠排序向量分量值的大小实现方案或元素的优劣排序。目前决策中最常用的判断矩阵有两种，一种是互反判断矩阵［1］，一种是模糊判断矩阵（或称为互补判断矩阵）［2-3］，由于后者在表示方案或元素两两重要性比较的结果上更加科学合理，而且具有许多良好的性质，尤其是它的中分传递性与人类思维判断的一致性相符合［3-4］，因此在决策过程中，其更加符合人们的心理习惯，当然也更容易为决策者掌握和应用。近年来，关于模糊判断矩阵排序方法的研究已经取得了丰硕的成果。从判断矩阵的一致性的角度来考虑，上述研究成果大致可分为两类：一类是满足加型一致性的模糊判断矩阵的排序方法，如文献［5-19］；另一类是满足乘型一致性的模糊判断矩阵的排序方法，如文献［20-28］。

在上述研究的基础上，我们继续研究满足乘型一致性的模糊判断矩阵的排序方法。由于模糊判断矩阵上三角元素和下三角元素互补，即rij+rji= 1，因此只要知道上三角元素（或下三角元素）就可以知道下三角元素（或上三角元素），故而在求解模糊判断矩阵的排序向量时，只需要知道上三角元素（或下三角元素）就可以了。考虑到模糊判断矩阵的乘型一致性以及矩阵元素和权重之间的关系，我们结合模糊判断矩阵的上三角矩阵元素，构建一个关于权重和矩阵上三角元素的方程组，证明了该方程组存在唯一的正解，并指出方程组的证明过程就是模糊判断矩阵排序向量的求解过程，从而给出了乘型一致性模糊判断矩阵的排序向量的一种递推方法。然后，考虑到模糊判断矩阵并不总是满足乘型一致性的，为此通过引入偏差项和偏差函数，通过构造并求解一个优化模型，求出了非乘型一致性模糊判断矩阵的排序向量，结果发现，其解的形式与乘型一致性模糊判断矩阵递推方法得到的排序向量完全一样。最后，通过实例以及相关方法对比说明所提出的排序向量的递推方法是可行的和有效的。

1 基本概念

定义1[4]设矩阵R=(rij)nn，若0 ≤rij≤1，则称矩阵R是模糊矩阵。

定义2[4]设矩阵R=(rij)nn为模糊矩阵，若rij+rji=1，i,j= 1,2,…,n，则称矩阵R是模糊判断矩阵。

考虑到人们在对方案或准则进行两两判断时，常常使用0.1—0.9 标度，同时考虑到我们在相关内容的推导过程中，rij常常出现在分母上，为此，我们约定下面涉及的模糊矩阵其标度均为0.1—0.9标度。

定义3[29-30]设R=(rij)nn为模糊判断矩阵，若rik rkj rji=rki rjk rij,i,j,k= 1, 2,…,n，则称R是乘型一致性模糊判断矩阵。

定理1[28]设R=(rij)nn为乘型一致性模糊判断矩阵，w=(w1,w2,…,wn)T是R的排序向量，则rij=

2 乘型一致性模糊判断矩阵排序向量的递推方法

设R=(rij)nn为乘型一致性模糊判断矩阵，w=(w1,w2,…,wn)T是模糊判断矩阵R的排序向量，由于rij+rji= 1，故我们只考虑该矩阵的上三角元素构成的矩阵即可，为此令A=(aij)nn，其中并称A为R的上三角矩阵。

考虑上三角矩阵A的第2 列以及乘型一致性，有从而有w1=a12w1+a12w2，即有

考虑上三角矩阵A的第3 列，则有a13=从而得到和和，将这两个等式左右分别相加，得到

考虑上三角矩阵A的第4列，则可得到

依次类推，考虑上三角矩阵A的第n- 1列，则可得到

考虑上三角矩阵A的第n列，则可得到

由于w= (w1,w2,…,wn)T是模糊判断矩阵R=(rij)nn的排序向量，故有

将上述n个等式放在一起形成一个方程组，该方程组可以写成一个矩阵形式Mw=e，其中

定理2方程组Mw=e存在唯一的正解。

证明：先证方程组的解是唯一的，为此只需证明系数矩阵M对应的行列式不为零即可。

观察该系数矩阵M对应的行列式。从行列式的倒数第2 行起，每行乘以-1 后加到下一行，则行列式的值为由于aij＞0，故则系数矩阵M非奇异，因此方程组存在唯一解。

然后，证明方程组的解是正的。

考虑方程组的第n- 1个方程，则有

等式两端同时加上wn，则可以得到

由于0.1 ≤akn≤0.9,k= 1,2,…,n- 1,所以wn＞0。

考虑方程组的第n- 2个方程，则有

等式两端同时加上wn-1，则得到

即有

从而得到

同样，由于0.1 ≤akn≤0.9，k= 1,2,…,n- 2,wn＞0，所以wn-1＞0。

假设已经求出wi,wi+1,…,wn，并设

现在求出wi-1。为此，考虑方程组的第i- 2 个方程，则有等式两端同时加上wi-1，则得到

即有

从而得到

综上所证可知方程组的解是正的。

注1由于定理2 中排序向量的求解，是从wn开始，依次迭代递推出wn-1,…,w2,w1，因此我们不妨称此方法为排序向量的递推方法。

注2定理2 不仅从理论上保证了排序向量递推方法的正确性，而且证明过程也告诉了我们如何利用该方法求解排序向量。

注3为了求解方便，将求出的wi依次代入wi-1，可以直接利用模糊判断矩阵的上三角元素来表示排序向量，即

为了表示方便，令

3 非乘型一致性模糊判断矩阵排序向量的递推方法

当模糊判断矩阵满足乘型一致性时，我们可以利用递推方法得到排序向量，但是由于人类思维的不一致性，决策者给出的模糊判断矩阵往往是不一致的，此时应该如何得到其排序向量呢？

当模糊判断矩阵R=(rij)nn具有乘型一致性时，已知或者wi=Ni，而当R不具有乘型一致性时，wi=Ni往往是不成立的，于是可以引入偏差项，即令fi=wi-Ni，并构造偏差函数F(w) =显然，F(w)越小越好，因此应该找到合理的排序向量w，使得偏差函数取最小值。由此求出的排序向量方法也称为模糊判断矩阵排序向量的递推方法。

定理3设R=(rij)nn为模糊判断矩阵，A=(aij)nn为R的上三角矩阵，则由排序向量递推方法得到的排序向量w=(w1,w2,…,wn)T满足

证明：建立规划模型

为了求解上述规划模型，构造Lagrange函数

将上述方程组中的前n个方程相加，可得联合方程组中第n+ 1 个方程可得考虑到则得到λ= 0。将λ= 0 分别代入方程组的前n个方程，得wj=Nj-λ=Nj，j= 1,2,…,n。即证明该定理。

注4事实上，在定理3证明中建立的规划模型的目标函数以及Nj是常数可知，使目标函数达到最小的解一定是wj=Nj，即该规划模型的解直接通过观察也可以得到。

注5定理3 说明，无论乘型模糊判断矩阵是一致性的还是非一致性的，利用递推方法得到的排序向量公式在形式上都是一样的。这是一个非常有意思的结论。

注6由于模糊判断矩阵的上下三角元素可以相互确定，因此使用下三角元素也可以得到乘型一致性模糊判断矩阵排序向量的递推方法，这里不再讨论。

4 计算实例

例1[2]某多属性决策问题有4 个属性ui,i=1,2,3,4。为了确定它们的权重，专家对ui(i=1,2,3,4)利用0.1—0.9 五标度进行两两比较，并给出下列模糊判断矩阵

可以验证，模糊判断矩阵R不满足乘型一致性。为此，使用文中提出的排序向量递推方法，计算如下：

即得到模糊判断矩阵R的排序向量为w=(0.4248,0.1820,0.2800,0.1132)T，于是方案排序为：u1≻u3≻u2≻u4。

为了比较不同的排序向量求解方法，现将文献[9-12,27]中的方法应用于该例，计算出的排序向量以及方案排序如表1所示。

表1 不同方法下模糊判断矩阵R的排序向量

由表1可以发现，尽管由递推方法得到的权重向量与上述5方法得到的排序向量不一样，但大小次序是一致的，从而方案排序也是一致的，均为u1≻u3≻u2≻u4。

例2[22]假设一个决策者对决策方案集X={x1,x2,x3,x4}提供的模糊互补判断矩阵为

可以验证，模糊互补判断矩阵B不满足乘型一致性。通过使用文中的排序向量的递推方法，计算得到w4= 0.0769,w3= 0.1420,w2= 0.7030,w1= 0.0781。

于是得到模糊判断矩阵R的排序向量为w=(0.0781,0.7030,0.1420,0.0769)T，从而方案排序为：x2≻x3≻x1≻x4。

同样，为了比较不同的排序向量求解方法，现将文献[13,22-24,26,28]中的方法应用于该例，计算出的排序向量以及方案排序如表2所示。

表2 不同方法下模糊判断矩阵B的排序向量

由表2 发现，尽管由递推方法得到的权重向量与上述6种方法得到的排序向量完全不同，但是分量值大小次序是一致的，从而方案排序也是一致的，均为x2≻x3≻x1≻x4。

上述两个应用实例以及与相关排序向量方法的对比表明，文中提出的排序向量的递推方法是可行和有效的。

5 结 语

根据模糊判断矩阵的上、下三角元素互相确定的特征，利用模糊判断矩阵的上三角元素以及乘型一致性模糊判断矩阵元素和排序向量的关系，使用递推的方法得到了排序向量的计算公式，并从理论上加以证明。然后，通过引入偏差项和偏差函数，并建立和求解优化模型，求出了非乘型一致性模糊判断矩阵的排序向量计算公式，结果发现此公式竟然与乘型一致性模糊判断矩阵的排序向量计算公式形式上完全相同。最后的计算实例和方法对比也说明了模糊判断矩阵排序向量的递推方法是可行有效的。本文的研究结果丰富了乘型一致性模糊判断矩阵的排序方法，丰富和发展了模糊判断矩阵的排序理论和方法。