高带宽压电片变形镜的动力学仿真与优化方法研究

杨开科， 罗俊鹏， 马文静， 耿远超， 王德恩， 袁 强

（中国工程物理研究院 激光聚变研究中心， 四川 绵阳 621900）

复杂时变的大气环境易对精密光机系统探测光、发射激光的空间传输产生高频的随机扰动，导致传感图像清晰度下降及激光聚焦形状溃散，极大地降低了作用效果[1-3]。利用波前校正器可对空间光束的波前畸变进行自适应动态补偿，从而显著提高图像探测精度和激光传输性能。典型的波前校正器包括液晶空间相位调制器、机械式变形镜和压电变形镜（压电陶瓷驱动的可变形反射镜）等。其中，压电变形镜的工作响应频率最高，可达数千赫兹，且能够承载高功率密度激光，其具有广阔的应用前景。根据锆钛酸铅（PZT）或钛酸钡等陶瓷作动器的结构形式和驱动方式，压电变形镜可以进一步分为压电叠堆变形镜、压电片变形镜和MEMS（microelectro mechanical systems，微机电系统）压电微变形镜等。其中，压电叠堆变形镜的制作工艺复杂且成本高昂。目前，压电叠堆变形镜的核心器件——压电叠堆作动器的成熟供应商主要为德国物理仪器（Physik Ⅰnstrumente）集团、日本东京电气化学工业株式会社（Tokyo Denki Kagaku）等。在国内，中国科学院光电技术研究所、上海硅酸盐研究所和南京航空航天大学等针对自主可控的压电叠堆作动器的制备技术等进行了深入研究[4-5]。压电片变形镜以单层或双层的薄片状压电陶瓷作动器作为驱动单元，具有极致轻量化、集成度高、制作工艺简单和成本较低的优点，其已成为自适应光学波前校正器领域的研究热点。王德恩等[6]对方口径压电薄膜变形镜的响应函数进行了计算并对其电极尺寸参数进行了优化。张晋弘等[7]基于有限元方法研究了结构设计参数对MEMS 压电微变形镜校正性能的影响。朱衡[8]对压电倾斜镜的结构进行了仿真分析，并提出了针对大口径、大角行程、高速压电倾斜镜的优化设计措施。程罡[9]利用压电双晶片执行器响应带宽高、质量小的特点，对其在高旋飞行器姿态调整中的应用进行了研究。然而，目前针对压电片变形镜的研究主要关注其在较低频率下（百赫兹以下）的工作性能，仍缺乏面向高工作频率下压电片变形镜的高效动力学仿真分析与优化设计方法[10]。压电片变形镜具有多层复合薄壳结构，其在较高频率的控制电压激励下工作时易受到机械共振、位移-电压相位迟滞等动力学效应的影响，难以获得较高的形状控制精度[11]。

为此，笔者基于压电片变形镜的参数化有限元模型，提出了一种高效、高精度的电-力耦合动力学仿真分析方法，通过正交遍历搜索含光学反射镜材料、压电陶瓷材料、复合材料层厚度和固定方式等参数的全设计空间，探索多维设计参数对压电片变形镜的固有频率与镜面驱动位移的影响规律，以优化得到具有预期高带宽的压电片变形镜设计方案。最后，基于所制备的压电片变形镜原理样件，开展动态形状控制特性验证实验。

1 压电片变形镜动力学分析方法

压电片变形镜主要由压电陶瓷作动器、光学反射镜和电压控制通道等组成，其工作原理如图1所示：利用逆向压电效应将控制电压转换为压电陶瓷材料的输出位移。压电片变形镜借助不同电压控制通道的分立作动单元实现对光学反射镜形状的精确控制[12]。

图1 压电片变形镜工作原理示意Fig.1 Schematic of working principle of unimorph piezoelectric deformable mirror

本文结合电-力耦合的压电陶瓷材料本构方程，基于模态加速度法提出了适用于压电片变形镜的高效、高精度动力学分析方法，涉及公式如下：

式中：σ、c和ε分别为机械应力张量、弹性张量和机械应变张量，e、E、D和κ分别为压电应力常数张量、电场向量、电位移向量和介电常数张量[13-15]，M为结构质量矩阵，C为结构阻尼矩阵，Kuu为结构刚度矩阵，u(t)、Fpzt(t)分别为结构位移向量和压电驱动力向量，KuV为压电陶瓷材料的电-力耦合矩阵，V为所有控制通道的电压向量，j、ω和t分别为虚数单位、角频率和时间，φi、wi和yi(t)分别为第i阶结构模态振型向量、第i阶谐振频率和第i阶模态振型的参与因子，l为低阶模态的数量，n为所有模态的数量。

根据结构动力学理论，由多层材料组成的压电片变形镜的动态形状控制性能受到光学反射镜材料、压电陶瓷材料、光学反射镜几何尺寸、压电陶瓷几何尺寸、变形镜固定方式和驱动电压等设计参数的共同影响[16-17]。压电片变形镜的几何模型和电极布局如图2所示。为满足45°入射角下50 mm有效口径的通光尺寸，选定压电陶瓷和光学反射镜的平面尺寸分别为65 mm×90 mm和86.8 mm×124 mm，则几何设计参数主要为复合材料层的厚度。同时，假设驱动电场强度为500 V/mm，19 个电极均可加载满幅度的驱动电压。

图2 压电片变形镜的几何模型和电极布局Fig.2 Geometric model and electrode layout of unimorph piezoelectric deformable mirror

2 压电片变形镜多维设计参数的优化方法

图3所示为压电片变形镜的多维设计参数优化流程，主要由设计参数正交遍历取样、电-力耦合动力学仿真分析和基于仿真性能的设计参数优选三个步骤组成。压电片变形镜的多维设计参数包括：1）光学反射镜的材料（K9 玻璃、熔石英、碳化硅）；2） 压电陶瓷材料（PZT-5H、PZT-5X）；3）固定方式（三点夹持、周圈多点夹持）；4）复合材料层厚度（光学反射镜厚度为1～5 mm、压电陶瓷厚度为0.1～1 mm）。构建图4(a)所示的压电片变形镜有限元模型[18-19]，在19 个控制通道同时加载静态驱动电压的情况下，开展电-力耦合仿真求解，得到变形镜的典型驱动位移云图，如图4(b)所示。需要注意的是，在设计参数正交遍历取样及电-力耦合仿真阶段，为了减少计算量，采用静态驱动位移和固有频率来描述压电片变形镜的动态形状控制性能。

图3 压电片变形镜多维设计参数优化流程Fig.3 Optimization flow for multi-dimensional design parameters of unimorph piezoelectric deformable mirror

图4 压电片变形镜有限元模型及其驱动位移云图Fig.4 Finite element model of unimorph piezoelectric deformable mirror and its actuation displacement nephogram

遍历取样生成器将全设计空间离散成10 920个设计参数取样点。随后，基于压电片变形镜的参数化有限元模型，求解变形镜在不同设计参数取样点处的电-力耦合动力学响应，得到所有设计方案下压电片变形镜的仿真性能（包含固有频率和镜面驱动位移），结果如图5所示（鉴于散点图无法呈现压电片变形镜性能随复合材料层厚度的变化趋势，故图5(e)采用折线图形式）。由图5可知，从整体上看，在电场强度恒定的情况下，压电片变形镜的固有频率与镜面驱动位移幅值成反比关系。为满足压电片变形镜在较高频率下工作的要求，须保证其固有频率和镜面驱动位移均较大。结合图5(b)至图5(d)，可采用以下原则对压电片变形镜的设计方案进行优化：1）匹配增大光学反射镜和压电陶瓷的厚度；2）选择具有高压电应变系数的压电陶瓷材料；3）选择周圈多点夹持的固定方式。考虑到在实际情况下压电陶瓷材料的工作电场强度限制（500 V/mm）和使用温度范围，选用熔石英作为光学反射镜材料，PZT-5H 作为压电陶瓷材料，并采用周圈多点夹持的固定方式。基于上述条件，分析不同复合材料层厚度下压电片变形镜性能的变化趋势，结果如图5(e)所示（19个电压控制通道同时加载）。以固有频率大于4 000 Hz，单通道电压控制时镜面驱动位移大于±1 μm为优化筛选条件，根据图5(e)结果，可得到光学反射镜厚度为5 mm、压电陶瓷厚度为1 mm的设计方案。此时，压电片变形镜的固有频率w0=4 129 Hz。在1 号、3 号和4 号电极处分别施加500 V的控制电压，通过仿真得到最优设计方案下压电片变形镜的驱动位移云图，结果如图6所示，对应的驱动位移最大值分别为1.74，1.72，1.65 μm。

图5 多维设计参数对应的压电片变形镜仿真性能Fig.5 Simulated performance of unimorph piezoelectric deformable mirror corresponding to multi-dimensional design parameters

图6 单通道电压控制时压电片变形镜的驱动位移云图Fig.6 Actuation displacement nephogram of unimorph piezoelectric deformable mirror under single channel voltage control

为了研究不同频率电压激励下压电片变形镜的动力学响应，在1号电极处施加不同频率的电压激励，并基于式(1)至式(5)计算得到压电片变形镜的镜面驱动位移，结果如图7所示。

图7 不同激励频率下压电片变形镜的驱动位移幅值Fig.7 Actuation displacement amplitude of unimorph piezoelectric deformable mirror under different excitation frequencies

由图7可以看出，当电压激励频率低于结构固有频率w0（4 129 Hz）时，压电片变形镜的驱动位移响应主要集中在1号电极控制区域。当电压激励频率接近固有频率w0时，变形镜的驱动位移响应区域扩大，并产生第一阶本征变形模式。当电压激励频率超过固有频率w0时，变形镜的驱动位移幅值与电压激励区域发生分离，其驱动位移云图呈高阶振动模式，产生了不可控的动态变形。因此，在实际应用中，应避免压电片变形镜在接近或超过结构一阶固有频率的条件下工作。

3 压电片变形镜面形控制实验验证

为了验证所提出的面向压电片变形镜的电-力耦合动力学仿真分析方法的有效性，根据上文得到的优化设计方案，研制了图8所示的压电片变形镜原理样件。

图8 压电片变形镜原理样件Fig.8 Principle prototype of unimorph piezoelectric deformable mirror

在所研制的压电片变形镜原理样件的1号、3号和4号电极处分别施加500 V的控制电压，如图9所示，将光纤激光准直后变为平行光束，采用哈特曼波前传感器测量在单通道电压控制时压电片变形镜的镜面驱动位移，结果如图10所示。对比图6和图10发现，通过实际测量得到的压电片变形镜的位移云图与对应的仿真位移云图具有相似的分布形式，3 个电极分别施加控制电压时对应的最大驱动位移分别为1.47，1.86，1.46 μm，实测驱动位移与仿真驱动位移的最大值的比值分别为84.6%，107.86%和88.6%，两者的最大相对误差为15.4%。所得结果验证了压电片变形镜电-力耦合仿真模型在预测驱动位移幅值及形状控制效果方面的有效性。

图9 压电片变形镜表面形状测量光路Fig.9 Optical path for measuring surface shape of unimorph piezoelectric deformable mirror

图10 单通道电压控制时压电片变形镜的实测驱动位移Fig.10 Measured actuation displacement of unimorph piezoelectric deformable mirror under single channel voltage control

为进一步验证压电片变形镜的动态响应特性，在1号电极处施加扫频式电压激励，开展变形镜的镜面驱动位移响应速度测量实验[20]。如图11 所示，采用信号发生器产生不同频率的正弦电压控制信号，电压控制信号经过高压放大器后直接加载于压电片变形镜的1号电极处。激励电压幅值固定为±50 V，频率为0～5 000 Hz。使用激光测振仪测量1 号电极区域对应的镜面驱动位移响应速度，结果如图12所示。实验结果表明，当电压激励频率为3 378 Hz时，压电片变形镜的镜面驱动位移响应速度迅速提高，第一阶机械共振频率的实测值为仿真值4 129 Hz的82%。仿真计算得到的固有频率偏高的主要原因是有限元模型中固定边界条件为理想的刚性位移约束，而在实际实验中，压电片变形镜的固定夹持结构具有一定的柔度，不可避免地会造成实际固有频率下降。

图11 压电片变形镜驱动位移响应速度测量方案Fig.11 Measurement scheme for actuation displacement response speed of unimorph piezoelectric deformable mirror

图12 压电片变形镜1号电极处的驱动位移响应速度Fig.12 Actuation displacement response speed at the electrode 1 of unimorph piezoelectric deformable mirror

4 结 论

1）本文基于压电片变形镜的参数化有限元模型，提出了高效、高精度的压电片变形镜电-力耦合动力学仿真分析方法。同时，通过正交遍历多维设计参数，探索了不同参数对压电片变形镜动态形状控制性能的影响规律。研究发现，匹配增大压电陶瓷与光学反射镜的厚度、选择高压电应变系数的压电陶瓷材料和采用周圈多点夹持的固定方式能够同时提升压电片变形镜的固有频率和驱动位移性能。

2）根据符合预期工作带宽的压电片变形镜优化设计方案，制备原理样件并开展面形控制实验验证。实验结果验证了所提出的压电片变形镜动力学仿真与优化方法的有效性。