一道高校创新班招生试题的探究

山东省宁阳县复圣中学 (271400) 张志刚

解题教学在高中数学教学中具有不可替代的作用.对于典型问题,教师要引导学生挖掘本质,捕捉信息,抓住关键,寻求联系,触发灵感,构建方案.让学生在感知确认、抽象概括、合情推理、操作运算等思维活动中,全方位、多角度、多层次地思考问题,逐步学会有逻辑地思考数学问题.同时,教师追根溯源可以洞悉命题意图,横跨纵联利于培养学生的发散思维.

1 试题呈现

本题是2023年中国科学技术大学创新班初试第4题,为函数与数列的综合问题.试题结构精炼,情境新颖,突出对数学抽象、逻辑推理、数学运算等核心素养的考查,呈现出更强的综合性与选拔性,具有较高的研究价值.

2 解法探究

第(1)问本小问要求证明不等式恒成立,可考虑构造函数,通过导数讨论其单调性证明.

首先证明:当x>0时,sinx

设f(x)=sinx-x(x>0),f′(x)=cosx-1≤0,所以f(x)在(0,+∞)上单调递减,所以当x>0时,f(x)

第(2)问本小问是数列不等式的证明问题,综合性较强.解答时应注重借助第(1)问的结论,结合数学归纳法与放缩进行证明.

3 命制背景

本题第(1)问不等式的高等数学背景是正弦函数的泰勒(Taylor)展开式.

图1

诸多高考题和模拟题以泰勒公式为科学背景;或是直接应用泰勒公式,或是研究泰勒公式,考查数学抽象、逻辑推理、直观想象、数学建模等核心素养.下面列举两例,体会泰勒公式在比较大小、不等式恒成立等问题中的功用.

A.a

C.c

本题以分数,指数式和对数式为载体,考查比较大小的问题,属于探索创新情境.常见解法是构造函数f(x)=(1-x)ex-1,g(x)=xex+ln(1-x),利用导数讨论其单调性,进而判定代数式的大小.下面利用泰勒展开式给出两种解法.

点评：上述两种解法借助泰勒公式近似计算或放缩,论证简洁高效,彰显了泰勒展开式在函数拟合与近似计算中的独特价值.

例2 (2020年新高考Ⅰ卷第21题)已知函数f(x)=aex-1-lnx+lna.(1) 当a=e时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积;(2) 若f(x)≥1,求a的取值范围.

本题第(1)问变为利用导数的几何意义解决曲线的切线问题,较为容易.第(2)问为考查不等式恒成立求参数范围问题,常见的解答思路有同构变形、虚设零点等.下面利用分类讨论思想尝试作答.

综上,a的取值范围是[1,+∞).

4 延伸思考

欧拉将方程与巴塞尔问题,创造性地把有限多项式的因式乘积形式类比至无限项多项式中,成功地把无穷级数和数字π联系起来,彰显了独特的原创性和简洁性,也成为近年高考模拟考试的热点命题素材,下面再举一例.

例3 (2023年湖南省永州市第三次适应性测试第22题)已知函数f(x)=xe-x·lna,g(x)=sinx.

(1)若x=0是函数h(x)=f(x)+ag(x)的极小值点,讨论h(x)在区间(-∞,π)上的零点个数;