K［Z（n），σ］上的分次扩张

王苗苗 梁婕

摘 要：设V是除环K的全赋值环，Aut（K）是K的自同构群，Z是整数加群，σ：Z（n）→Aut（K）是一个群同态。K［Z（n），σ］是Z（n）在K上的斜群环，K（Z（n），σ）是K［Z（n），σ］的商除环.设单同态i：Z（n-1）→Z（n），将Z（n-1）自然地嵌入Z（n）的前n-1个分量，则τ=σ°i：Z（n-1）→Aut（K）是一个群同态，此时斜群环K［Z（n-1），τ］可以自然地看作是KZ（n），σ的子环.令D=K（Z（n-1），τ），则D是K［Z（n-1），τ］的商除环.令Y=X（0，0，…，0，1），θ=σ（0，0，…，0，1）.假设A是V在KZ（n），σ上的分次扩张，Jg（A）是A的分次Jacobson根，则AJg（A）是V在K（Z（n），σ）上的高斯扩张.假设AJg（A）∩D=S0，AJg（A）∩DY，Y-1；θ=B，可以得出B是S0在DY，Y-1；θ上的分次扩张.

关键词：全赋值环；分次扩张；高斯扩张；商除环

中图分类号：O153.3  文献标识码：A AMS（2000）主题分类号：16W50

Abstract：Let V be a total valuation ring of a division ring K，Aut（K） be the group of automorphisms of K，Z be the additive group of integers，and σ：Z（n）→Aut（K） be a group homomorphism.Let KZ（n），σ be the skew group ring of Z（n） over K，K（Z（n），σ） be the quotient division ring of KZ（n），σ.Let the injective i：Z（n-1）→Z（n） embed Z（n-1） naturally into the front n-1 components of Z（n），then τ=σ°i：Z（n-1）→Aut（K） is a group homomorphism，and the skew group ring K［Z（n-1），τ］ can be naturally regarded as a subring of KZ（n），σ.Let D=K（Z（n-1），τ），then D is the quotient division ring of K［Z（n-1），τ］.Let Y=X（0，0，…，0，1），θ=σ（0，0，…，0，1）.Suppose that A is a graded extension of V in KZ（n），σ and Jg（A） is the graded Jacobson radical of A，then AJg（A） is a Gauss extension of V in K（Z（n），σ）.Assuming AJg（A）∩D=S0，AJg（A）∩DY，Y-1；θ=B，it follows that B is a graded extension of S0 in D［Y，Y-1；θ］.

Keywords：total valuation ring；graded extension；gauss extension；quotient division ring

1 概述

设V是除环K的全赋值环，σ：Z（n）→Aut（K）是一个群同态.本文将研究K［Z（n），σ］上的分次扩张。2007年，Brungs等人在文献［1］中提出了张量积中全赋值环的分次扩张问题，并证明了分次扩张的集合与高斯扩张的集合之间有一个一一对应的关系，故为了研究高斯扩张，可以研究与其对应的分次扩张.另外，分次扩张是一类重要的分次代数，其本身也具有重要的研究价值.他们研究了分次扩张A与之对应的高斯扩张的性質，之后出现了许多相关问题的研究.2007年，谢光明和Marubayashi在文献［2］中详细地研究了K（X，σ）上的高斯扩张.斜罗朗多项式环是一类重要的环，谢光明和Marubayashi对斜罗朗多项式环K［X，X-1；σ］上分次扩张的完全分类进行了研究，得到了很多有价值的研究成果.在文献［3］和［4］中，他们根据A1和A-1的性质，把斜罗朗多项式环K［X，X-1；σ］上的分次扩张，分成了8种不同的类型，分别是（a）类，（b）类，（c）类，（d）类，（e）类，（f）类，（g）类和（h）类分次扩张，并对每一类分次扩张的结构进行了详细的刻画.2010年，谢光明等人在文献［5］中对分次扩张的性质进行了详细的讨论，他们把K［X，X-1；σ］上的分次扩张分为类型（Ⅰ）和类型（Ⅱ），并证明了：A是类型（Ⅰ）的分次扩张当且仅当A是（a）类，（b）类，（c）类，（d）类，（f）类或（g）类分次扩张，A是类型（Ⅱ）的分次扩张当且仅当A是（e）类或（h）类分次扩张.2010—2012年之间，谢光明等人在文献［67］中对K（X，σ）上高斯扩张的商除环等问题进行了探讨.2009年，谢光明等人在文献［8］中对K［Z（2），σ］上的平凡分次扩张进行了完全的刻画，但对KZ（2），σ上一般类型的分次扩张，现在的研究还相对较少.2017年，李海贺在文献［9］中研究了域上群环KZ（n）上分次扩张问题，并完全刻画了KZ（n）上的分次扩张.2021年，罗鑫鑫在文献［10］中对斜群环K［Z（n），σ］上的平凡分次扩张进行了刻画.但对K［Z（n），σ］上一般类型的分次扩张，目前研究的非常少，本文将探索相关问题.

2 预备知识

本小节，将介绍一些相关的重要概念.

定义1［3］：设K是一个除环，若对k∈K，k≠0，有k∈V或k-1∈V，则称V是K的一个全赋值环.

定义2［3］：设A是K［Z（n），σ］的子环，若对0≠α∈A，设α=a1Xk1+…+anXkn，有ajXkj∈A（1SymbolcB@

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n），则称A是K［Z（n），σ］上的分次子环.

定义3［3］：设A=μ∈Z（n）AμXμ是K［Z（n），σ］上的分次子环，若对aXμ∈K［Z（n），σ］，有aXμ∈A或（aXμ）-1∈A，则称A是K［Z（n），σ］上的分次全赋值环.

定义4［3］：设A=μ∈Z（n）AμXμ是K［Z（n），σ］上的分次全赋值环，若A0=V，则称A是V在K［Z（n），σ］上的分次扩张.

定义5［11］：设A=μ∈Z（n）AμXμ是V在K［Z（n），σ］上的分次扩张，则称A的分次极大左理想的交Jg（A）是A的分次Jacobson根.

定义6［1］：设R是K（Z（n），σ）上的一个全赋值环，R∩K=V.如果R满足下述条件：对α=a1Xμ1+a2Xμ2+…+amXμm∈K［Z（n），σ］，当aiXμiRajXμjR（1SymbolcB@

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m）时，必定有αR=aiXμiR.则称R是V在K（Z（n），σ）上的一个高斯扩张.

定义7［11］：设R是整环，若对任意的a，b∈R，b≠0，存在c，d∈R，d≠0.使得da=cb，则称R满足左Ore条件或称R是一个左Ore集.

3 K［Z（n），σ］上的分次扩张

设V是除环K的全赋值环，σ：Z（n）→Aut（K）是一个群同态，KZ（n），σ=∑mi=1aiXui|ai∈K，ui∈Z（n）是Z（n）在K上的斜群环，则对任意的a∈K，u∈Z（n），Xua=σ（u）（a）Xu.KZ（n），σ有一个商环K（Z（n），σ）.设l：Z（n-1）→Z（n）自然地将Z（n-1）嵌入Z（n）的前n-1个分量.令τ=σ°l：Z（n-1）→Aut（K），则有环的单同态：

f：K［Z（n-1），τ］→KZ（n），σ；

∑aiXμi→∑aiXl（μi）.

所以我们可以将K［Z（n-1），τ］看作KZ（n），σ的一个子环.设D=K（Z（n-1），τ），则D可自然地看作K（Z（n），σ）的一个子除环.在本文中，令Y=X（0，0，…，0，1），θ=σ（0，0，…，0，1），则KZ（n），σ可看作是D上的斜罗朗多项式环，即KZ（n），σ=D［Y，Y-1；θ］.在本文中，我们将研究KZ（n），σ上的分次扩张与D［Y，Y-1；θ］上分次扩张的密切联系.

引理1［11］：设R是一个整环且R是一个左Ore集.则对任意的δ1，δ2，…，δn∈R且δ1≠0，δ2≠0，…，δn≠0，存在η1，η2，…，ηn∈R且η1≠0，η2≠0，…，ηn≠0，使得η1δ1=η2δ2=…=ηnδn.

引理2［1］：设A=μ∈Z（n）AμXμ是V在KZ（n），σ上的分次扩张，A0=V，Jg（A）是A的分次Jacobson根，那么Jg（A）是可局部化的，并且R=AJg（A）是V在K（Z（n），σ）上的高斯扩张.

引理3［1］：设R是V在K（Z（n），σ）上的高斯扩张，那么A=R∩KZ（n），σ是V在KZ（n），σ上的一个分次扩张，并且Jg（A）=J（R）∩KZ（n），σ，R=AJg（A）.

引理4［1］：V在KZ（n），σ上的所有分次扩张组成的集合与V在K（Z（n），σ）上的所有高斯扩张组成的集合之间存在一个双射φ，且具体的映射方式为φ：A→φ（A）=AJg（A），φ-1：R→φ-1（R）=R∩KZ（n），σ.

其中A是V在KZ（n），σ上的一个分次扩张，R是V在K（Z（n），σ）上的一个高斯扩张.

引理5：设A是V在KZ（n），σ上的分次扩张，R=AJg（A），将D=K（Z（n-1），τ）看作K（Z（n），σ）的子除环.则对λ∈D，λ≠0，有（λR）∩D=λ（R∩D）.

证明：对λ∈D，λ≠0.显然（λR）∩Dλ（R∩D）成立.另一方面，对α∈（λR）∩D，存在β∈R，使得α=λβ，则β=λ-1α∈D，故α=λβ∈λ（R∩D），从而（λR）∩Dλ（R∩D）.因此对λ∈D，λ≠0，有（λR）∩D=λ（R∩D）.

類似于参考文献［3］中引理1.1的证明，我们可得下面的引理6和引理7.

引理6：B=j∈ZSjYj是D［Y，Y-1；θ］上的一个子集，S0是D的全赋值环，则B是S0在D［Y，Y-1；θ］上的一个分次扩张当且仅当

（1）对任意的j∈Z，Sj是D的一个加法子群；

（2）对任意的j1，j2∈Z，都有Sj1θj1（Sj2）Sj1+j2；

（3）对任意的j∈Z，都有Sj∪θj（S--j）=D.

引理7：设A=μ∈Z（n）AμXμ是KZ（n），σ的一个子集，A（0，0，…，0）=V，则A是V在KZ（n），σ的一个分次扩张当且仅当

（1）对任意的μ∈Z（n），Aμ是K的一个加法子群；

（2）对任意的μ1，μ2∈Z（n），Aμ1σ（μ1）（Aμ2）Aμ1+μ2；

（3）对任意的μ∈Z（n），Aμ∪σ（μ）（A--μ）=K.

定理1：设A是V在KZ（n），σ上的分次扩张，R=AJg（A），将K［Z（n-1），τ］看作KZ（n），σ的一个子环，将D=K（Z（n-1），τ）看作K（Z（n），σ）的子除环.令R∩DYj=SjYj，则：

（1）S0是V在D上的高斯扩张；

（2）B=j∈ZSjYj是S0在D［Y，Y-1；θ］上的分次扩张.

证明（1）当j=0时，R∩D=S0.由引理2可得，R是V在K（Z（n），σ）上的高斯扩张，则R是K（Z（n），σ）上的一个全赋值环.对λ∈D，有λ∈R或λ-1∈R，从而λ∈S0或λ-1∈S0，故S0是D的全赋值环.并且S0∩K=（R∩D）∩K=R∩（D∩K）=R∩K=V.对0≠λ′∈KZ（n-1），τ，设λ′=a1Xk1+…+asXks，则存在t，使得atXktRajXkjR（1SymbolcB@

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s）.因R是V在K（Z（n），σ）的高斯扩张，则λ′R=atXktR，由引理5可得λ′S0=λ′（R∩D）=（λ′R）∩D=（atXktR）∩D=atXkt（R∩D）=atXktS0.

因此S0是V在D上的高斯扩张.

（2）由题设条件可知，B=R∩DY，Y-1；θ，B=∑ajYj|aj∈D，∑ajYj∈R.对0≠α∈B，设α=δ-11γ1Yl1+…+δ-1sγsYls，其中δ1，…，δs，γ1，…γs∈K［Z（n-1），τ］且δ1≠0，…，δs≠0.由引理1可得，存在η1，η2，…，ηs∈KZ（n-1），τ且η1≠0，η2≠0，…，ηs≠0，使得η1δ1=η2δ2=…=ηsδs.则

（η1δ1）α=（η1δ1）（δ-11γ1Yl1+…+δ-1sγsYls）

=η1γ1Yl1+…+ηsγsYls

α′∈KZ（n-1），τY，Y-1；θ=KZ（n），σ.

从而存在m，使得ηmγmYlmRηjγjYljR（1SymbolcB@

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s）.因R是V在K（Z（n），σ）上的高斯擴张，则α′R=ηmγmYlmR.因αR=（η1δ1）-1α′R=（η1δ1）-1ηmγmYlmR=δ-1mγmYlmR，并且δ-1jγjYljRδ-1mγmYlmR=αRR.则δ-1jγjYlj∈R，故δ-1jγjYlj∈B，因此B是D［Y，Y-1；θ］的一个分次子环.

因DY，Y-1；θ=KZ（n），σK（Z（n），σ），则对βYj∈D［Y，Y-1；θ］，有βYj∈R或（βYj）-1∈R，从而βYj∈B或（βYj）-1∈B，因此B是D［Y，Y-1；θ］的一个分次全赋值环.故B=j∈ZSjYj是S0在D［Y，Y-1；θ］上的分次扩张.

根据引理4和定理1可得，R=AJg（A）且R=BJg（B），所以AJg（A）=BJg（B）.

上述定理的逆命题也成立.

定理2：将K［Z（n-1），τ］看作K［Z（n），σ］的子环.设S0是V在D=K（Z（n-1），τ）上的高斯扩张，B=j∈ZSjYj是S0在D［Y，Y-1；θ］上的分次扩张.令Sj∩KXυ=A（υ，j）Xυ，υ∈Z（n-1）.则A=μ∈Z（n）AμXμ=υ∈Z（n-1），j∈ZA（υ，j）X（υ，j）是V在KZ（n），σ上的分次扩张，并且AJg（A）=BJg（B）.

证明：因B=j∈ZSjYj是S0在D［Y，Y-1；θ］上的分次扩张.由引理6可得，则对j∈Z，都有Sj∪θj（S--j）=D，且对j1，j2∈Z，都有Sj1θj1（Sj2）Sj1+j2.因Sj∩KXυ=A（υ，j）Xυ，则A（0，0，…，0）=S0∩K=V，且对υ1，υ2∈Z（n-1），j1，j2∈Z，都有

A（υ1，j1）σ（υ1，j1）（A（υ2，j2））Xυ1+υ2=（A（υ1，j1）Xυ1）θj1（A（υ2，j2）Xυ2）

=（Sj1∩KXυ1）θj1（Sj2∩KXυ2）

Sj1θj1（Sj2）∩KXυ1+υ2

Sj1+j2∩KXυ1+υ2

=A（υ1+υ2，j1+j2）Xυ1+υ2.

则对υ1，υ2∈Z（n-1），j1，j2∈Z，都有A（υ1，j1）σ（υ1，j1）（A（υ2，j2））A（υ1+υ2，j1+j2）.

对υ∈Z（n-1），j∈Z，0≠a∈K.假设aA（υ，j），则aXυA（υ，j）Xυ=Sj∩KXυ，故aXυSj.因j∈Z，都有Sj∪θj（S--j）=D，则aXυ∈θj（S--j），故（θ-j（aXυ））-1=θ-j（X-υa-1）=θ-j（τ（-υ）（a-1）X-υ）=σ（-υ，-j）（a-1）X-υ∈S-j.

从而σ（-υ，-j）（a-1）X-υ∈S-j∩KX-υ=A（-υ，-j）X-υ，则a∈σ（υ，j）（A-（-υ，-j））.因此对υ∈Z（n-1），j∈Z，都有A（υ，j）∪σ（υ，j）（A-（-υ，-j））=K.

由引理7可得，A=μ∈Z（n）AμXμ=υ∈Z（n-1），j∈ZA（υ，j）X（υ，j）是V在KZ（n），σ上的分次扩张.由引理4和定理1可知，AJg（A）=BJg（B）.

结语

本文主要讨论了KZ（n），σ上的分次扩张与D［Y，Y-1；θ］上分次扩张的密切联系.通过定理1可得，已知KZ（n），σ上的一个分次扩张A，可以构造出D［Y，Y-1；θ］上的一个分次扩张B，通过定理2可得，已知D［Y，Y-1；θ］上的一个分次扩张B，可以构造出KZ（n），σ上的一个分次扩张A.并且满足性质AJg（A）=BJg（B）.比较定理1与定理2可得，定理1与定理2互为逆命题.

参考文献：

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［10］罗鑫鑫.纯锥与平凡分次扩张［D］.广西：广西师范大学，2021：6.

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作者简介：王苗苗（1995— ），女，汉族，河南周口人，硕士，现就读于广西师范大学数学与统计学院，研究方向：代数及其应用。