例谈选函数图像常用的方法

■北京市第十九中学 公衍录(特级教师)

选择符合题意的函数图像一直是高考考查的热点问题之一，下面结合实例介绍选函数图像常用的几种方法，供同学们参考。

一、根据函数表达式选择函数图像

先根据题意和物理规律，推导出图像纵、横坐标轴代表的物理量满足的关系式——函数表达式，再依据“函数表达式与函数图像相对应”选出符合题意的图像。例如，若函数表达式形如y=kx+b，则对应的函数图像为直线;若函数表达式形如y=ax2+bx+c(a≠0)，则对应的函数图像为抛物线。

例1在t=0时刻，将一物体(可视为质点)竖直向上抛出，忽略空气阻力。以抛出点为坐标原点、竖直向上为正方向，如图1所示的四个选项中能正确反映该物体的动量p随时间t变化、动能Ek随位移x变化的图像是( )。

图1

解析:设物体的初速度为v0，则t时刻物体的速度v=v0-gt，动量p=mv，解得p=mv0-mgt，因此物体的动量p与时间t是一次函数关系，对应的函数图像是一条直线，且直线的斜率k=-mg，选项A 正确，B 错误。根据速度与位移的关系式，动能，解得，因此物体的动能Ek与位移x是一次函数关系，对应的函数图像是一条直线，且直线的斜率k=-mg，选项C、D 错误。

答案:A

例2滑沙是人们喜爱的一项游乐活动。如图2所示为滑沙场地的一段，人和滑车从斜面顶端A点由静止下滑，斜面的倾角为θ，取沿斜面向下为正方向，如图3 所示的四个选项分别是人和滑车沿斜面向下运动过程中的加速度a与时间t、速度v与位移x、重力的瞬时功率P重与时间t、动能Ek与位移x的关系图像，其中正确的是( )。

图2

图3

解析:选由人和滑车组成的整体为研究对象，在整体沿斜面下滑的过程中，根据牛顿第二定律得mgsinθ-f=ma，解得，因此a-t图像是一条平行于t轴的直线，选项A 错误。根据速度与位移的关系式v2=2ax，解得，因此v-x图像是一条过原点且开口向右的抛物线的一部分，选项B 错误。整体在t时刻的瞬时速度v=at，重力的瞬时功率P重=mgvsinθ，解得P重=mgasinθ·t，因此P重-t图像是一条过原点的倾斜直线，选项C 错误。在整体沿斜面下滑位移x的过程中，根据动能定理得Ek=(mgsinθ-μmgcosθ)x，因此Ek-x图像是一条过原点的倾斜直线，选项D 正确。

答案:D

例3如图4 所示，足够长光滑斜面倾角为θ，在沿斜面向上的恒力F作用下，物体从斜面底端由静止开始向上运动，当物体滑动到某一高度处时撤去恒力F。以地面为零势能面，设物体的重力势能为Ep，机械能为E，则在物体沿斜面向上运动的整个过程中，如图5所示的Ep和E随时间t变化的图像正确的是( )。

图4

图5

图6

解析:撤去恒力F前，设物体做匀加速运动的加速度大小为a1，末速度为v，位移为x1，根据运动学公式得F-mgsinθ=ma1，;撤去恒力F后，设物体做匀减速运动的加速度大小为a2，位移为x2，根据运动学公式得mgsinθ=ma2，。撤去恒力F前，t时刻物体的重力势能，其中a1为定值，因此Ep-t图像为过原点且开口向上的抛物线的一部分。撤去恒力F时，设物体沿斜面方向的位移为x0，撤去恒力F后，t时刻物体的重力势能，其中a2、v均为定值，因此Ep-t图像为开口向下的抛物线的一部分，选项A 正确，B 错误。根据除重力、弹力以外的其他力做功等于物体机械能的增加量可知，撤去恒力F前，物体的机械能，因此E-t图像为过原点且开口向上的抛物线的一部分。撤去恒力F后，只有重力做功，物体的机械能保持不变，因此E-t图像是一条平行于t轴的直线，选项C、D 错误。

答案:A

二、利用图像斜率的情况选择函数图像

先分析图像斜率表示的物理量，例如v-t图像的斜率表示加速度，x-t图像的斜率表示速度，再利用已知条件判断该物理量是否变化及如何变化，从而选出相应的函数图像。

例4“ETC”是不停车电子收费系统的简称。若某汽车以额定功率P额在平直高速公路上匀速行驶，为合理通过收费处，司机在t1时刻使汽车功率减半，并保持该功率行驶至t2时刻又做匀速运动;通过收费处后，司机逐渐增大汽车功率，使汽车做匀加速运动直到恢复原来的额定功率，以后保持该功率行驶。设汽车所受阻力大小不变，则在该过程中，汽车的速度v随时间t变化的图像可能正确的是( )。

解析:0～t1时间内，汽车以额定功率P额匀速行驶，汽车的牵引力等于阻力，则F=f，P额=Fv1，解得，因此v-t图像是一条平行于t轴的直线。t1时刻汽车功率减半，则，f-F1=ma，解得，即t1时刻汽车的牵引力F1减半，汽车做减速运动。t1～t2时间内，汽车的速度v减小，汽车保持减半的功率不变，根据，v减小，可知汽车的牵引力F增大，根据f-F=ma可知，汽车的加速度由逐渐减小，因此汽车做加速度逐渐减小的减速运动，即v-t图像斜率的绝对值逐渐减小。t2～t3时间内，汽车做匀速运动，速度保持不变，因此v-t图像是一条平行于t轴的直线。t3～t4时间内，汽车先做匀加速运动，根据F-f=ma可知，汽车的牵引力F不变，根据汽车的实际功率P实=Fv，v增大，可知P实增大，当P实增大到P额时，保持P额不变，则汽车继续做加速运动，根据P额=Fv，v增大，可知汽车的牵引力F减小，根据F-f=ma可知，汽车的加速度逐渐减小至0，汽车做加速度逐渐减小的加速运动，因此v-t图像的斜率先保持不变，再逐渐减小。当汽车的加速度减小为0时，汽车做匀速运动，速度达到最大值，且最大值等于v1，以后汽车以速度v1做匀速运动，因此v-t图像是一条平行于t轴的直线。

答案:C

例5如图7所示，均匀带正电的金属圆环竖直放置，A、B两点是其轴线上关于圆心对称的两点。某时刻一个电子仅在静电力作用下从A点沿轴线向右运动至B点，在此运动过程中，电子的v-t图像可能是( )。

图7

图8

解析:均匀带正电的金属圆环圆心处场强为0，轴线上无穷远处场强也为0，故在圆心与无穷远之间轴线上某点的场强存在最大值。若A点在场强最大点左侧，根据eE=ma可知，电子仅在静电力作用下由A点沿轴线运动至B点的过程中，电子的加速度先增大，后减小到0，再反向增大，然后反向减小。根据v-t图像的斜率表示加速度可知，图像斜率先正的增大，后正的减小到0，再负的绝对值增大，然后负的绝对值减小，选项A正确。若A点在场强最大点右侧，则电子仅在静电力作用下由A点沿轴线运动至B点的过程中，电子的加速度先减小到0 再反向增大，因此v-t图像的斜率先正的减小到0，后负的绝对值增大，选项B、C正确，D 错误。

答案:ABC

三、通过分析函数图像特殊点的情况选择函数图像

先分析函数图像上的某些特殊点，再根据这些特殊点的情况可选出符合题意的图像。例如，选质点做简谐运动时的图像，如果能够判断出做简谐运动的质点在t=0时刻的振动情况，那么就能选出该质点的振动图像。

例6如图9甲所示，一列简谐横波以速度v=1 m/s沿绳子由A点向B点传播，质点A、B间的水平距离x=3 m。若t=0时刻，质点A正从平衡位置向上振动，其振动图像如图9乙所示，规定向上为正方向，则t=0时刻质点B的振动图像是如图10所示四个选项中的( )。

图9

图10

解析:根据图9 乙可知，质点A做简谐运动的周期T=4 s，则波长λ=vT=4 m，A、B两质点间的水平距离。t=0时刻，质点A正从平衡位置向上振动，波由A点向B点(向右)传播，因此可画出如图11 所示t=0 时刻的波形图。t=0 时刻，x=3 m 处的质点B正好位于波峰，与图10中选项D 的图像相对应。

图11

答案:D

四、通过定性或半定量分析选择函数图像

定性或半定量分析法是一种粗略地确定研究对象是否具有某种性质，或确定某一物理量变化范围的研究方法。遇到不好找出函数表达式的选函数图像问题，合理应用这种方法能避免陷入对细枝末节的过度分析。

例7如图12所示，ACB是一段竖直放置的光滑圆弧轨道，A、B两点等高，相距为0.62 m，距轨道最低点C的竖直高度为0.01 m。一小滑块(可视为质点)从A点由静止释放并开始计时，其速率v随时间t变化的图像可能是如图13所示四个选项中的( )。

图12

图13

解析:设圆弧轨道AC对应的圆心角为θ，圆弧轨道半径为R，根据几何关系得，其中h=0.01 m，x=0.62 m，解得R=4.81 m，则。因此圆弧轨道AC(或CB)对应的圆心角很小，小滑块在圆弧轨道上的往复运动可视为简谐运动(属于单摆模型)，其周期，小滑块从A点由静止释放后，在0～2.2 s(前半个周期)内，小滑块的速率先增大后减小，在2.2 s～4.4 s(后半个周期)内，小滑块的速率仍然是先增大后减小，与图13中选项A 的图像相对应。

答案:A

总之，求解选函数图像问题，可以根据函数表达式与函数图像相对应选择，也可以根据函数图像斜率表示的物理量，结合图像斜率的变化选择，还可以根据函数图像特殊点的情况或利用定性与半定量分析法选择。